dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 9.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 2
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
II. Liczby zespolone: moduł, argument, postać trygonometryczna.
Zadanie 2.1. ([2, 29/2.4], [1, 17/VII.B.1])
Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej:
" "
(1) 7 + 7i; (2) 3 - i; (3) -5 + 5 3i;
Ą Ą Ą
(4) sin ą + i cos ą (0 < ą < ); (5) -cosą + i sin ą (0 < ą < ); (6) 1 + itg ą (0 < ą < );
2 2 2
"
(7) ( 3 + i)9(1 - i)5.
Zadanie 2.2. ([2, 29/2.6], [1, 9/I.A.1, I.B.1, I.C.1; 10/I.D.1; 13/IV.C.2; 14/V.B.1; 19/IX.A.3,
IX.B.3, IX.C.3; 20/IX.D.2, X.A.4, X.B.4])
Obliczyć wartość wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej):
( )10
" "
Ą Ą
(1) (1 - i)12; (2) (1 + i 3)8; (3) (2 3 - 2i)30; (4) cos - i sin ;
4 4
( )24
" "
(1 + i)22 Ą Ą
"
(5) ; (6) sin + i cos ; (7) ( 3 - i)32; (8) ( 3 + i)32;
6 6
(1 - i 3)6
"
" "
(1 + 3i)8 (1 - i)11
"
(9) (- 3 + i)32; (10) (- 3 - i)32; (11) ; (12) ;
(i - 1)6
( 3 + i)6
( " )77
" "
1 3
(13) (i - 3)15; (14) (1 - i)26; (15) - i ; (16) ( 3 - i)5;
2 2
( " )15
1 - i 3
(17) (2 - 2i)20; (18) .
2
Zadanie 2.3. ([2, 29/2.2e, 2.5; 30/2.8], [1, 9/I.A.2, I.B.2, II.C.2; 10/I.D.2, II.A.2, II.B.2;
11/II.C.3, II.D.1; 13/IV.A.4; 17/VII.C.1, VII.D.1, VIII.A.1; 18/VIII.C.1, VIII.D.2; 20/X.A.2,
X.B.2, X.C.2; 21/X.D.2])
Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory:
{ } { }

z + i 5Ą

(1) A = z " C : 1 ; (2) B = z " C : arg z = ;

z2 + 1 4
{ }
Ą Ą
(3) C = z " C : < arg(z + 3i) < ; (4) D = {z " C : Ą arg(iz) < 2Ą};
6 3
{ }
{ }
Ą Ą
(5) E = z " C : arg(z6) = Ą ; (6) F = z " C : arg(-z) ;
3 2
{ } { }
(7) G = z " C : Im (z3) < 0 ; (8) H = z " C : Re (z4) 0 ;
{ }
{ }
(1 + i)z
(9) I = z " C : Im (z2) Re [(z)2] ; (10) J = z " C : Im 0 ;
(1 - i)z
{ } { }
Ą Ą
(11) K = z " C : 0 < arg(z3) < ; (12) L = z " C : < arg(z3) < Ą ;
2 2
{ } { }
3Ą 3Ą
(13) M = z " C : Ą < arg(z3) < ; (14) N = z " C : < arg(z3) < 2Ą ;
2 2
{ }
{ }
Ą
(15) O = z " C : Im (z3) > Re (z3) ; (16) P = z " C : |z3| 8, 0 arg(z3) ;
4
{ }
{ }
Ą
(17) Q = z " C : arg(iz) = ; (18) R = z " C : arg(iz5) = 0 ;
3
{ } { }
- 1

Ą z

(19) S = z " C : 0 < arg(z3) < ; (20) T = z " C : > 1, arg z < Ą ;

4 z - i
{ }
(21) U = z " C : 0 < arg(z4) < Ą ; (22) W = {z " C : sin(Ą|z - 1|) > 0};
{ }
{ }
7 z3
(23) X = z " C : |z - 1 + i| 1, arg z Ą ; (24) Y = z " C : |z|3 = ;
4 i
{ } { }
- 1

4 z 3

(25) Z = z " C : |2iz + 4| < 6, arg z Ą ; (26) A = z " C : 1, arg z > Ą ;

3 z - 1 2
{ }
7
(27) B = {z " C : 2 < |z + 4| 6, arg z > Ą}; (28) C = z " C : |iz - 2| 6, arg z < Ą .
6
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 9.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 2
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
Zadanie 2.4. ([2, 29/2.7], [1, 14/IV.D.2, V.C.2])
Korzystając ze wzorów de Moivre a wyrazić:
(1) sin 3x za pomocą funkcji sin x; (2) cos 4x za pomocą funkcji sin x i cos x;
(3) sin 5x za pomocą funkcji sin x i cos x; (4) cos 5x za pomocą funkcji sin x i cos x.
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.