dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 2.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 1
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
I. Liczby zespolone: podstawowe własności, postać algebraiczna, sprzężenie.
Zadanie 1.1. ([2, 16/1.2])
Znalez
ć liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania:
1 + yi
(1) x(2 + 3i) + y(5 - 2i) = -8 + 7i; (2) (2 + yi)(x - 3i) = 7 - i; (3) = 3i - 1;
x - 2i
x + yi 9 - 2i
(4) = .
x - yi 9 + 2i
Zadanie 1.2. ([1, 13/IV.A.2; 21/X.C.4])
Znalez
ć postać algebraiczną liczby zespolonej:
" " "
(1 + 3i)2(1 - i)3 ( 3i + 1)(-1 - i 3)
"
(1) i3; (2) .
1 - i
3 + i
Zadanie 1.3. ([2, 17/1.3],[1, 12/III.C.3])
W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:
1 + i 2 - 3i
(1) z2 = 4z; (2) = ; (3) (z + 2)2 = (z + 2)2; (4) 2z + z = 6 - 5i;
z z
2 + i 1 - i |z|2
(5) (1 + i)z + 3(z - i) = 0; (6) = ; (7) z + i - z + i = 0; (8) |z|2 = .
z - i + 4i 2z + i z - i
Zadanie 1.4. ([2, 17/1.5, 1.6], [1, 13/IV.B.4, 14/V.C.1, 15/V.D.4, 16/VII.A.4, 18/VIII.B.4,
19/IX.A.2, IX.B.4, IX.C.1, 20/IX.D.3], [2, 29/2.2])
Na płaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory:
{ }
(1) A = {z " C : Re (iz + 2) 0}; (2) B = z " C : Im z2 < 0 ;
{ }
{ }
4
(3) C = z " C : z - i = z - 1 ; (4) D = z " C : = z ;
z
{ }
1 + iz
(5) E = {z " C : zz + (5 + i)z + (5 - i)z + 1 = 0}; (6) F = z " C : Im = 1 ;
1 - iz
{ } { }
z + 4 z + 4
(7) G = z " C : " R ; (8) H = z " C : Re = 0 ;
z - 2i z - 2i
{ } { }
z z
(9) I = z " C : Im = 0 ; (10) J = z " C : Re = 0 ;
iz + 4 iz + 4
{ }
{ }
|z - i|
(11) K = z " C : Re [(z + 1)2] > 0 ; (12) L = z " C : < 1, |z| 2 ;
|z + i|
{ }
(13) M = z " C : Im [(z + 1)2] < 0 ; (14) N = {z " C : |z + 1| = |i - z|};
{

4 + 3i }

(15) O = {z " C : 1 < |z + 1 - i| < 2, 0 Im (iz)}; (16) P = z " C : 5 ;

2i - z
{ { }

z + 4i } z

(17) Q = z " C : > 1 ; (18) R = z " C : + 5 > 3 ;

-z i
(19) S = {z " C : 0 < |3i + z| < 3}; (20) T = {z " C : |z - 3 + 4i| = 1};
{
- 2i }

z

(21) U = z " C : = 1 ; (22) V = {z " C : 2 |iz - 5| < 3};

z + 1
(23) W = {z " C : |z + 1 - 2i| 3, |z - 3| < 4}; (24) X = {z " C : sin(Ą|z + 2i|) > 0};
(25) Y = {z " C : |z - 1 + 3i| 5}.
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.