dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 16.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 3
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
III. Liczby zespolone: pierwiastkowanie, postać wykładnicza.
Zadanie 3.1. ([2, 41/3.1], [1, 15/V.D.1; 19/IX.A.4])
Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej z rozwiązać podane równania:
4
(a) z7 = z; (b) z4 = z2|z2|; (c) z2|z2| = ; (d) |z|3 = iz3; (e) z6 = z6; (f) |z8| = z4 ;
z2
(g) |z|6 = iz6; (h) z4 = -z4.
Zadanie 3.2. ([2, 41/3.2])
Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotności kąta x:
(a) sin3 x; (b) cos2 x; (c) sin5 x; (d) sin4 x + cos4 x.
Zadanie 3.3. ([2, 41/3.4], [1, 11/II.C.4; 12/III.D.2; 14/V.A.1, V.B.2; 16/VI.D.4, VII.A.2;
19/IX.B.1])
Obliczyć i narysować na płaszczyz
nie zespolonej podane pierwiastki:
"
"
" " " " "
5
3 4 6 3
(a) -1 + i 3; (b) -27i; (c) -4; (d) -64; (e) 32i; (f) -1 + i;
"
" " " " " "
4
3
4 3 3
(g) -16; (h) -8 + 8i 3; (i) i; (j) 1 + 2i; (k) -i; (l) -8i;
"
3
(m) -64i.
Zadanie 3.4. ([2, 41/3.5])
Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć ich pozostałe elementy:
" " " "
4 3 3
(a) (5 - 4i)4; (b) (-2 + 3i)4; (c) (2 - i)6; (d) (2 - 2i)9.
Zadanie 3.5. ([2, 41/3.7], [1, 9/I.A.3, I.B.3; 10/I.C.3, I.D.3, II.A.1; 11/III.A.2; 12/III.B.4;
13/IV.A.3; 14/IV.D.3; 15/V.C.3; 18/VIII.D.1])
Rozwiązać równania:
(a) z4 = (1 - i)4; (b) (z - 1)6 = (i - z)6; (c) z3 = (iz + 1)3; (d) z6 = (1 3i)12;
"+
(e) z6 = (1 - 3i)12; (f) z6 = (3 - i)12; (g) z6 = (3 + i)12; (h) z8 - ( 3 + i)8 = 0;
-18
"
(i) z3 = (1 - 3i)6; (j) z4 = (1 + 2i)8; (k) z4 = ; (l) z8 = (1 + i)8;
1 + i 3
(m) (z + 1)3 = (z - 1)3; (n) z3 = 8(1 + i)3.
Zadanie 3.6. ([1, 10/II.B.3; 11/II.C.1; 17/VII.D.2; 19/IX.C.4; 21/X.D.3])
Rozwiązać równania:
(a) z7 + 2z4 + z = 0; (b) z4 - iz2 + 2 = 0; (c) z2 - 3z + 3 - i = 0;
(d) 2z3 - 3z2 + 2z - 1 = 0; (e) z4 + z3 + 2z2 + z + 1 = 0.
Zadanie 3.7. ([1, 12/III.D.1; 15/VI.A.1; 17/VII.B.2, VIII.A.2; 20/X.A.1, X.B.1, X.C.1; 21/X.D.1])
Rozwiązać równania:
(a) |z|2 + (1 + i)z = 0; (b) |z|z = iz2; (c) z3 = -4z; (d) z3 = 2zz; (e) zz4 = 32;
(f) z2 = z2; (g) z3 = (1 - i)2; (h) z3 - iz = 0.
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.