dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 15.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 13
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
XIII. Odległości, kąty, rzuty.
Zadanie 13.1. (Odległości; [2, 156/13.1], [1, 29/V.B.4])
Obliczyć odległość:
(a) punktu P = (1, -2, 3) od płaszczyzny Ą : x + y - 3z + 5 = 0;
(b) płaszczyzn równoległych Ą1 : 2x + y - 2z = 0, Ą2 : 2x + y - 2z - 3 = 0;
(c) płaszczyzn Ą1 : x - 2y + 2z + 5 = 0, Ą2 : 3x - 6y + 6z - 3 = 0;
x y z
(d) punktu P = (0, 1, -1) od prostej l : = = ;
2 -1 3
x - 1 y + 1 z x y - 1 z - 3
(e) prostych równoległych l1 : = = , l2 : = = ;
1 2 -1 -2 -4 2
{ {
x = 0, x = 1,
(f) prostych skośnych l1 : , l1 : ;
y = 0 y = 1
x - 9 y - 2 z x y + 7 z - 2
(g) prostych l1 : = = , l2 : = = ;
4 -3 1 -2 9 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2 + t,
òÅ‚
(h) prostej l : y = -3 + 2t gdzie t " R, od płaszczyzny Ą : 2x + y + 4z = 0;
ôÅ‚
ół
z = 2 - t
(i) prostych l1 : (x, y, z) = (2, -3, 0) + (3, 2, -1)t gdzie t " R oraz l2 : (x, y, z) = (4, 2, -2) + (-6, -4, 2)s
gdzie s " R.
Zadanie 13.2. (Miara kÄ…ta; [2, 140/13.2], [1, 21/I.A.4, 31/VI.D.4])
Obliczyć miarę kąta między:
x - 3 y - 1 z + 2
(a) prostą l : = = oraz płaszczyzną Ą : x - z = 0;
2 0 -3
(b) płaszczyznami Ą1 : x - 2y + 3z - 5 = 0, Ą2 : 2x + y - z + 3 = 0;
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ - t, ôÅ‚ - 2t,
x = 1 x = 3
òÅ‚ òÅ‚
(c) prostymi l1 : y = -2 + t gdzie t " R, l2 : y = 4 - t gdzie t " R;
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 3t z = 1 + 3t
{
x - 1 y + 3 z - 2
x - 4y + 3 = 0,
(d) prostymi l1 : , l2 : = = ;
x + y - z + 2 = 0
1 2 3
- -

(e) wektorami AB i AC, jeśli A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 3) i C = (3, 3, 2).
Zadanie 13.3. (Rzut prostokÄ…tny; [2, 140/13.3], [1, 21/I.A.3, 27/IV.A.4, IV.B.4])
Znalez
ć rzut prostokątny:
(a) punktu P = (-3, 2, 0) na płaszczyznę Ą : x + y + z = 0;
(b) punktu P = (-1, 2, 0) na prostÄ… l : x = y = z;
x - 3 y - 5 z + 1
(c) prostej l : = = na płaszczyznę Ą : x + 3y - z - 6 = 0;
1 2 0
×
(d) wektora × = (2, 2, 1) na kierunek wektora b = (3, 4, 0);
a
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + t,
òÅ‚
(e) punktu P = (1, 1, 1) na prostÄ… l : y = 2 - t gdzie t " R;
ôÅ‚
ół
z = 3 + t
(f) punktu P = (1, 1, 1) na płaszczyznę Ą : x + 2y - z + 3 = 0.
Zadanie 13.4. (Symetria; [2, 140/13.4])
Znalez
ć punkt symetryczny do punktu P = (2, 3, -1) względem:
(a) punktu S = (1, -1, 2);
{
x + y = 0,
(b) prostej l : ;
y + z = 0
(c) płaszczyzny Ą : 2x - y + z - 6 = 0.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 15.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 13
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
Zadanie 13.5. (Rzut ukośny; [2, 140/13.5])
Znalez
ć rzut ukoÅ›ny w kierunku wektora × = (2, 3, -1):
v
(a) punktu O = (0, 0, 0) na płaszczyznę Ą : x - 2z + 8 = 0;
(b) prostej l : x - 1 = y + 1 = z - 2 na płaszczyzny Ą : x - y + z - 1 = 0.
Zadanie 13.6. (Objętości i pola powierzchni; [2, 141/13.6])
Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:
(a) x = 1, y = -1, z = 3, x + y + z = 5;
(b) x - y = 1, x - y = 5, x + 2z = 0, x + 2z = 3, z = -1, z = 4.
Zadanie 13.7. (Pole trójkąta; [2, 141/13.7])
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ -2 + 2t, ôÅ‚ x = 0, ôÅ‚ -2p,
x = x =
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez proste: l1 : y = 0 , l2 : y = 3 + 3s , l3 : y = 3 - 2p ,
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół
z = 4t z = -4s z = 0
gdzie t, s, p " R
Zadanie 13.8. (Pola figur; [1, 29/V.D.3])
Punkty A = (2, 3, 2), B = (0, 1, 1) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD, którego dłuższa przekątna
AC jest równoległa do prostej l : x = 2y = z. Obliczyć pole tego rombu.
Zadanie 13.9. (Objętości brył; [1, 33/VIII.A.4, 34/VIII.C.4])
Obliczyć objętość oraz wysokość czworościanu ABCD przyjmując trójkąt ABC za podstawę, jeśli:
(a) A = (0, -3, -1), B = (4, 4, 1), C = (-2, 1, 3), D = (6, 8, -1);
(b) A = (6, 4, -1), B = (-4, 4, 1), C = (-2, 1, 5), D = (2, 3, -1).
Zadanie 13.10. (Pole trójkąta; [1, 34/VIII.B.4])
Obliczyć pole trójkąta ABC i jego wysokość opuszczoną na podstawę AB, jeśli wierzchołkami tego trójkąta
są punkty przecięcia osi układu współrzędnych z płaszczyzną Ą : 8x + 4y - 3z - 24 = 0.
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.