dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 08.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 12
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
XII. Iloczyn mieszany. Równanie płaszczyzny i prostej.
Zadanie 12.1. (Iloczyn mieszany; [2, 140/12.1])
Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:
× × × ×
(a) × = (-3, 2, 1), b = (0, 1, -5), × = (2, 3 - 4); (b) × = i + j, × = 2× - 3× + k, w = -× + 2× - 5×
a c u v i j × i j k.
Zadanie 12.2. (Objętości brył; [2, 140/12.2])
Obliczyć objętości:
×
(a) równolegÅ‚oÅ›cianu rozpiÄ™tego na wektorach × = (0, 0, 1), b = (-1, 2, 3), × = (2, 5, -1).
a c
(b) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (2, 3, -1), D = (-1, 3, 5).
Zadanie 12.3. (Położenie punktów i wektorów; [2, 140/12.3], [1, 25/III.A.4])
Sprawdzić, czy:
×
(a) wektory × = (-1, 3, -5), b = (1, -1, 1), × = (4, -2, 0) sÄ… współpÅ‚aszczyznowe;
a c
(b) punkty P = (0, 0, 0), Q = (-1, 2, 3), R = (2, 3, -4), S = (2, -1, 5) są współpłaszczyznowe;
(c) punkty A = (3, 5, 6), B = (1, 0, 1), C = (7, 15, 16) są współliniowe. Jeśli tak, to napisać równanie para-
metryczne prostej przechodzącej przez te punkty. Jeśli nie, to napisać równanie płaszczyzny przechodzącej
przez te punkty.
Zadanie 12.4. (PÅ‚aszczyzny; [2, 140/12.4], [1, 23/II.A.4, 24/II.D.3, 27/IV.B.3, 28/IV.D.3,
37/X.A.3])
Napisać równania ogólne, normalne, odcinkowe i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:
(a) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -2, 0) i jest prostopadÅ‚a do wektora × = (0, -3, 2);
n
(b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (0, 0, 0), P2 = (1, 2, 3), P3 = (-1, -3, 5);
(c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (1, -3, 4), P2 = (2, 0, -1) oraz jest prostopadła do płasz-
czyzny xOz;
(d) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -1, 3) oraz jest równolegÅ‚a do wektorów × = (1, 1, 0),
a
×
b = (0, 1, 1);
(e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) oraz jest równoległa do płaszczyzny Ą : 3x-y +2 = 0;
(f) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 1, -3) oraz jest prostopadła do płaszczyzn Ą1 : x + y = 0,
Ä„2 : y - z = 0;
(g) płaszczyzna przechodzi przez punkty P1 = (-7, -1, -2), P2 = (1, 2, 4), P3 = (-2, 2, 5);
{
3x + 2y - z - 3 = 0,
(h) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (4, 7, 2) i jest prostopadła do prostej l : ;
x - y - 3z - 6 = 0,
(i) pÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) oraz jest równolegÅ‚a do wektorów × = (-1, 0, 2),
u
× = (2, -1, 1);
v
Å„Å‚
ôÅ‚ -3 + 2t,
x =
òÅ‚
(j) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) oraz jest równoległa do prostych l : y = 2 - 3t,
ôÅ‚
ół
z = 5,
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + s,
òÅ‚
gdzie t " R, k : y = 2 - s, gdzie s " R;
ôÅ‚
ół
z = 5s,
(k) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 2, 1) oraz jest prostopadła do płaszczyzn Ą1 : x+y+z-2 =
0, Ä„2 : x - y + z + 2 = 0.
Zadanie 12.5. (Proste; [2, 140/12.5], [1, 23/II.B.4, 30/V.D.4])
Napisać równania parametryczne, kierunkowe (kanoniczne), krawędziowe (ogólne) prostych spełniających
podane warunki:
(a) prosta przechodzi przez punkt P = (-3, 5, 2) i jest równolegÅ‚a do wektora × = (2, -1, 3);
v
(b) prosta przechodzi przez punkty P1 = (1, 0, 6), P2 = (-2, 2, 4);
(c) prosta przechodzi przez punkt P = (0, -2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny Ą : 3x - y + 2z - 6 = 0;
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 08.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 12
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
(d) prosta przechodzi przez punkt P = (7, 2, 0) i jest prostopadÅ‚a do wektorów × = (2, 0, -3), × =
v1 v2
(-1, 2, 0);
x + 2 y - 4 z x + 2
(e) prosta jest dwusiecznÄ… kÄ…ta ostrego utworzonego przez proste l1 : = = , l2 : =
3 -1 5 1
y - 4 z
= ;
-5 3
{
x + y + z - 3 = 0,
(f) prosta przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) i jest równoległa do prostej l : ;
2x + y + 5 = 0,
(g) prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest prostopadła do płaszczyzny Ą : (x, y, z) =
(1, 2, 0) + s(-1, 0, 1) + t(0, 1, 0), gdzie s, t " R.
Zadanie 12.6. (Punkt, prosta, płaszczyzna; [2, 140/12.6])
Zbadać, czy:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + t,
òÅ‚
(a) punkty A = (1, 2, 3), B = (-1, -2, 0) leżą na prostej l : y = 2 + 2t, gdzie t " R.
ôÅ‚
ół
z = 3 - t,
{
2x + y - z + 3 = 0,
(b) prosta m: jest zawarta w płaszczyz
nie Ä„ : 5y - 3z + 13 = 0.
x - 2y + z - 5 = 0,
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 + s + t,
x =
òÅ‚
(c) punkty A = (0, 1, 5), B = (1, 2, 3) należą do płaszczyzny Ą : y = 2 + 3s - t, gdzie s, t " R.
ôÅ‚
ół
z = 3 - s + 2t,
x + 1 y - 3 z + 4 x y - 1 z - 2
(d) proste l1 : = = , l2 : = = mają punkt wspólny.
-2 1 -8 1 1 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t,
òÅ‚
(e) prosta l : y = 1 + 2t, gdzie t " R, jest równoległa do płaszczyzny Ą : x + y - z + 3 = 0.
ôÅ‚
ół
z = 2 + 3t,
Zadanie 12.7. (Przecięcia prostych i płaszczyzn; [2, 141/12.7], [1, 31/VI.D.3])
Znalez
ć punkt przecięcia:
{ {
x + 2y - z + 4 = 0, 2x - y - 2z + 8 = 0,
(a) prostych l1 : , l2 : ;
y + z - 3 = 0, x + 2y + 2z - 5 = 0,
Å„Å‚
ôÅ‚ x = s + t,
òÅ‚
x - 1 y + 2 z - 4
(b) prostej l : = = oraz płaszczyzny Ą : y = 1 + s + 2t, gdzie s, t " R;
ôÅ‚
0 3 -1
ół
z = 3 + 2s + 4t,
(c) płaszczyzn Ą1 : 3x + y + z + 1 = 0, Ą2 : x + 2z + 6 = 0, Ą3 : 3y + 2z = 0;
(d) prostej przechodzącej przez punkty A = (0, 1, 3) i B = (1, 0, 0) oraz płaszczyzny prostopadłej do tej
prostej i przechodzÄ…cej przez punkt C = (1, 2, 3).
Zadanie 12.8. (Położenie punktów; [2, 141/12.8])
Zbadać, czy punkty P = (1, -2, 2) i Q = (-2, 4, 3) leżą po tej samej stronie podanych płaszczyzn:
(a) Ä„ : 2x + 3z - 7 = 0; (b) Ä„ : x - 2y + 3z + 13 = 0.
Zadanie 12.9. (PÅ‚aszczyzna lub prosta; [1, 26/III.C.4, III.D.4])
(a) Sprawdzić, czy wektory × = (1, 2, 3) i × = (0, 3, 5) rozpinajÄ… pÅ‚aszczyznÄ™. JeÅ›li tak, to napisać równanie
u v
parametryczne płaszczyzny równoległej do danej i przechodzącej przez punkt P0 = (2, 3, 0). Jeśli nie, to
napisać równanie parametryczne prostej równolegÅ‚ej do wektorów × w i przechodzÄ…cej przez punkt P0.
u, ×
(b) Sprawdzić, czy punkty A = (1, 2, 4), B = (3, 3, 3) i C = (2, 8, 3) są współliniowe. Jeśli tak, to napi-
sać równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez te punkty. Jeśli nie, to napisać równanie normalne
płaszczyzny przechodzącej przez te punkty.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 08.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
3
  
Zestaw ćwiczeń 12
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.