dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 21.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 14
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
XIV. Wartości i wektory własne.
Zadanie 14.1. (Wartości i wektory własne)
Dla poniższych macierzy wyznacz ich wartości własne wraz z ich krotnościami algebraicznymi i geome-
trycznymi oraz wektory wÅ‚asne im odpowiadaj¸
ace.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 0 5 -4 -4 10 -19 6 0 -7 10
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A1 = -6 1 -6 , A2 = 2 -1 -2 , A3 = 5 -10 4 , A4 = 1 -6 6 ,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-3 -1 -1 1 -1 0 3 -7 4 1 -4 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-5 8 0 4 2 -2 1 -2 2 -2 -6 6
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A5 = -2 3 0 , A6 = -5 -2 4 , A7 = -1 5 -6 , A8 = -1 -2 4 ,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-1 2 -1 0 0 2 -2 2 -3 -4 -6 8
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-10 1 8 11 -1 4 2 -1 -5 4 6 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-3 -2 1 7 -3 -2 1 7 -3 -2 1 7
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
B1 = ïÅ‚ śł , B2 = ïÅ‚ śł , B3 = ïÅ‚ śł ,
ðÅ‚ -6 2 6 4 0 4 2 -4
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -4 4 6 0
ûÅ‚
-5 -1 3 8 -2 0 1 4 -3 0 2 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 -11 2 9 6 -4 -12 9 5 -13 -12 -7
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-2 0 4 -1 1 -1 -3 3 1 -1 -3 -3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
B4 = ïÅ‚ śł , B5 = ïÅ‚ śł , B6 = ïÅ‚ śł ,
ðÅ‚ -8 -1 8 4
ûÅ‚ ðÅ‚ -4 -9 8
ûÅ‚ ðÅ‚ -1 1 4 4
ûÅ‚
0
-1 -4 1 4 3 -4 -8 8 2 -5 -6 -4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 6 2 -6 -10 9 -13
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 -1 -3 0 2 3 -2 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
B7 = ïÅ‚ śł , B8 = ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ -1 1 4 1 1 1 -2 3
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 -5 -8 2 2 3 -4 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-21 -30 -6 -28 -1 -2 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
8 11 4 10 4 4 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
B9 = ïÅ‚ śł , B10 = ïÅ‚ śł .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ -4 -1 -2 -2
ûÅ‚
4 4 3 6
8 12 0 11 8 6 6 3
Zadanie 14.2. (Zastosowanie twierdzenia Cayley a-Hamiltona)
Stosując twierdzenie Cayley a-Hamiltona wyzanczyć macierze odwrotne, drugie oraz trzecie potęgi macie-
rzy z zadania poprzedniego.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 21.01.2014
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 14
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
Odpowiedz
:
wielom. charakt. wart. wł. krotności wektory własne
A1 -3 + 22 +  - 2 -1 1 [1, -3, -2]
1 1 [-1, 1, 1]
2 1 [-1, 0, 1]
A2 -3 + 42 - 5 + 2 1 1 + 1 [1, 1, 0], [1, 0, 1]
2 1 [4, 2, 1]
A3 -3 + 42 - 5 + 2 1 2 [5, 3, 2]
2 1 [4, 2, 1]
A4 -3 - 32 - 3 - 1 -1 3 [4, 2, 1]
A5 -3 - 32 - 3 - 1 -1 1 + 2 [0, 0, 1], [2, 1, 0]
A6 -3 + 42 - 6 + 4 2 1 [0, 1, 1]
i
1 + i 1 [-3 - , 1, 0]
5 5
i
1 - i 1 [-3 + , 1, 0]
5 5
3 i
A7 -3 + 32 -  - 5 2 + i 1 [-1, + , 1]
2 2
3 i
2 - i 1 [-1, - , 1]
2 2
-1 1 [0, 1, 1]
1 i
A8 -3 + 42 - 14 + 20 1 + 3i 1 [1, - , 1]
2 2
1 i
1 - 3i 1 [1, + , 1]
2 2
2 1 [0, 1, 1]
B1 4 - 23 - 2 + 2 -1 1 [3, 0, 2, 1]
0 1 [2, 1, 1, 1]
1 1 [5, 1, 4, 2]
2 1 [1, 1, 0, 1]
B2 4 - 33 + 22 0 2 [3, 0, 2, 1]
1 1 [5, 1, 4, 2]
2 1 [1, 1, 0, 1]
B3 4 - 43 + 42 0 2 [3, 0, 2, 1]
2 2 [1, 1, 0, 1]
B4 4 - 23 + 2 - 1 -1 1 [2, 1, 1, 1]
1 3 [-1, 1, 0, 1]
B5 4 - 43 + 62 - 4 + 1 1 2 + 2 [-4, 1, -2, 0], [3, 0, 2, 1]
B6 4 - 43 + 62 - 4 + 1 1 3 + 1 [5, 1, 0, 1], [3, 0, 1, 0]
B7 4 - 43 + 62 - 4 + 1 1 4 [-4, 1, -2, 1]
B8 4 + 22 + 1 i 2 [-4 - i, 1 + i, 0, 1], [2 + 3i, -2i, 1, 0]
-i 2 [-4 + i, 1 - i, 0, 1], [2 - 3i, 2i, 1, 0]
i 1 i 3i
B9 4 - 43 + 142 - 20 + 25 1 + 2i 2 [-2 - , + , 0, 1], [-3 + , 1 - i, 1, 0]
2 2 2 2 2
i 1 i 3i
1 - 2i 2 [-2 + , - , 0, 1], [-3 - , 1 + i, 1, 0]
2 2 2 2 2
i 1
B10 4 - 43 + 142 - 20 + 25 1 + 2i 1 [-1 + , , -1, 1]
4 4 2 2
i 1
1 - 2i 1 [-1 - , , -1, 1]
4 4 2 2