ALGEBRA LINIOWA
WEKTORY i WARTOŚCI WA
ASNE
Jacek Jędrzejewski
Spis treści
1 Podprzestrzenie niezmiennicze 2
2 Wektory i wartości własne 3
3 Wielomian charakterystyczny 5
4 Dalsze własności wartości i wektorów własnych 8
1
1 Podprzestrzenie niezmiennicze
W tym rozdziale V oznaczać będzie pewną ustaloną przestrzeń liniową nad
ciałem K. Rozważać będziemy przekształcenia liniowe przestrzeni V w siebie,
czyli endomorfizmy tej przestrzeni zwane też operatorami liniowymi prze-
strzeni V .
Definicja 1 Podprzestrzeń liniową W przestrzeni V nazywamy podprzestrze-
nią niezmienniczą endomorfizmu A : V - V , jeśli
A(W ) �" W .
Oczywiście, dla każdego endomorfizmu A podprzestrzenie Ker A i Im A
są podprzestrzeniami niezmienniczymi tego endomorfizmu, jak również pod-
przestrzeń zerowa oraz cała przestrzeń V .
Przykład 2 Niech A będzie obrotem przestrzeni R3 wokół trzeciej osi współ-
rzędnych. Podprzestrzeniami niezmienniczymi tego przekształcenia są (jak
łatwo zauważyć) podprzestrzeń zerowa oraz płaszczyzna wyznaczona przez
pierwsze dwie osie współrzędnych.
Przykład 3 Niech przekształcenie A : R2 - R2 będzie określone następu-
jąco:
A(x1, x2) = (x1, 0) .
Podprzestrzeniami niezmienniczymi tego endomorfizmu są: podprzestrzeń
zerowa, przestrzeń R2 oraz podprzestrzenie W1 i W2, gdzie
W1 = {(x1, 0) : x1 " R} , W2 = {(0, x2) : x2 " R} .
Przykład 4 Niech przekształcenie A : R2 - R2 będzie określone następu-
jąco:
A(x1, x2) = (ąx1, �x2) ,
gdzie ą i � są dwoma ustalonymi elementami ciała R. Podprzestrzeniami
niezmienniczymi tego endomorfizmu są: podprzestrzeń zerowa, przestrzeń R2
oraz podprzestrzenie W1 i W2, gdzie
W1 = {(x1, 0) : x1 " R} , W2 = {(0, x2) : x2 " R} .
Jeśli ą = �, to każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni V jest też podprze-
strzenią niezmienniczą endomorfizmu A. Jaki jest sens geometryczny tego
przekształcenia?
2
2 Wektory i wartości własne
Definicja 5 Jeśli podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu A ma wymiar
równy 1, to nazywamy ją podprzestrzenią własną tego endomorfizmu.
Twierdzenie 6 Dla każdego wektora x z podprzestrzeni własnej W endo-
morfizmu A spełniony jest warunek
A(x) =  � x. (1)
D o w ó d. Załóżmy, że W jest podprzestrzenią własną endomorfizmu A.
Niech x0 będzie jakimkolwiek niezerowym wektorem tej podprzestrzeni. Po-
nieważ W jest podprzestrzenią własną, więc istnieje element  w ciele K taki,
że
A (x0) =  � x0.
Wektor x0 stanowi bazę podprzestrzeni W , zatem każdy wektor x tej pod-
przestrzeni można przedstawić w postaci x = ąx � x0.
Wtedy
A (x) = A (ąx � x0) = ąx � A (x0) = ąx � ( � x0) =
=  � (ąx � x0) =  � x.
Zatem każdy wektor x z podprzestrzeni W spełnia równanie
A(x) -  � x = 0. (2)
Definicja 7 Element , spełniający warunek (1) nazywamy wartością wła-
sną endomorfizmu A i każdy z niezerowych wektorów podprzestrzeni W speł-
niających ten warunek nazywamy wektorem własnym endomorfizmu A odpo-
wiadającym wartości własnej .
Definicja 8 Zbiór wszystkich wartości własnych endomorfizmu nazywamy
spektrum tego endomorfizmu. Czasami ten zbiór nazywamy też widmem endo-
morfizmu. Spektrum endomorfizmu A oznaczać będziemy symbolem spec (A).
Przykład 9 Jeśli jądro endomorfizmu A nie jest równe podprzestrzeni ze-
rowej, to każdy niezerowy wektor, należący do Ker A jest wektorem własnym
odpowiadającym wartości własnej 0.
3
Przykład 10 Niech A : R2 - R2 będzie przekształceniem określonym jak
w przykładzie 4.
Wartościami własnymi endomorfizmu A są ą i �, jeśli ą = �; natomiast

wektorami odpowiadającymi tym wartościom są wektory np. (1, 0) (dla war-
tości własnej ą) i (0, 1) (dla wartości �).
4
3 Wielomian charakterystyczny
Zajmiemy się teraz problemem znajdowania wartości własnych danego endo-
morfizmu.
Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą przestrzeni liniowej V , A 
endomorfizmem przestrzeni V oraz niech A, gdzie
�ł łł
a11 � � � a1n
�ł śł
A = � � � � � � � � � ,
�ł �ł
an1 � � � ann
będzie macierzą endomorfizmu A względem bazy B.
Przyjmijmy, że  jest wartością własną endomorfizmu A. Istnieje więc
niezerowy wektor x, spełniający warunek
A(x) =  � x.
Wtedy
A(x) -  � x = 0,
czyli
(A -  � idV ) (x) = 0.
Oznacza to, że wektor x należy do jądra endomorfizmu A -  � idV .
Macierz tego przekształcenia jest równa A -  � E, ma więc postać:
�ł łł
a11 -  a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 -  � � � a2n śł
�ł śł
�ł śł .
�ł �ł
� � � � � � � � � � � �
an1 an2 � � � ann - 
Ponieważ istnieje niezerowy wektor x, który należy do jądra tego prze-
kształcenia, więc
det(A -  � E) = 0.
Własność 11 Element  ciała K jest wartością własną endomorfizmu A
"
wtedy i tylko wtedy, gdy det(A -  E) = 0, gdzie A jest macierzą endo-
morfizmu A względem bazy B.
Te spostrzeżenia uzasadniają powód określenia wielomianu charaktery-
stycznego.
5
Definicja 12 Wielomianem charakterystycznym endomorfizmu A przestrze-
ni liniowej V , którego macierz A względem jakiejkolwiek bazy przestrzeni V

ma postać aij , nazywamy wyznacznik macierzy
�ł łł
t - a11 -a12 � � � -a1n
�ł
-a21 t - a22 � � � -a2n śł
�ł śł
�ł śł .
�ł �ł
� � � � � � � � � � � �
-an1 -an2 � � � t - ann
�A(t). Można więc zapisać
Wielomian ten będziemy oznaczali jako
�A(t) = (-1)n det(A - t � E).
�
Problem znajdowania wartości własnych polega zatem na znajdowaniu
pierwiastków wielomianu charakterystycznego.
Twierdzenie 13 Element  z ciała K jest wartością własną endomorfizmu
wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego
tego endomorfizmu.
Twierdzenie 14 Niezerowy wektor x, mający, względem pewnej bazy (e1, . . . , en)
n

przestrzeni V , przedstawienie x = xiei, jest wektorem własnym endo-
i=1
morfizmu A odpowiadającym wartości własnej  wtedy i tylko wtedy, gdy
współrzędne wektora x spełniają równanie macierzowe
�ł łł �ł łł
x1 0
�ł śł �ł śł
. .
�ł śł �ł śł
" . .
(A -  � E) = .
. .
�ł �ł �ł �ł
xn 0
Przykład 15 Niech B będzie bazą kanoniczną przestrzeni R3, złożoną z wek-
torów e1, e2, e3. Niech A będzie endomorfizmem tej przestrzeni wyznaczonym
przez zależności
A(e1) = 5e1 - e2 + e3,
A(e2) = 6e1 + 2e3,
A(e3) = -3e1 + e2 + e3.
Znajdziemy wartości własne i wektory własne tego endomorfizmu.
6
Zauważmy, że macierz A tego endomorfizmu względem bazy B ma postać
�ł łł
5 6 -3
�ł śł
�ł -1 0 1 .
�ł
1 2 1
Wobec tego wyznaczając wielomian charakterystyczny naszego endomorfizmu
mamy:
�ł łł
t - 5 -6 3
�ł śł
det 1 t -1 =
�ł �ł
-1 -2 t - 1


t -1 1 -1 1 t

= (t - 5) � + 6 � + 3 � =
-2 t - 1
-1 t - 1
-1 -2


= (t - 5) � t2 - t - 2 + 6 � (t - 1 - 1) + 3 � (-2 + t) =
= . . . = (t - 2)3.
Tak więc
�A(t) = (t - 2)3.
Jedynym pierwiastkiem tego wielomianu jest więc liczba 2, czyli jedyną
wartością własną rozważanego endomorfizmu jest 2. Zatem spec (A) = {2}.
Dla endomorfizmów A określamy:
A0 = idV , An+1 = An ć% A,
gdzie n " N.
Dla dowolnego wielomianu, mającego postać
a0 + a1 � t + . . . + an � tn
możemy w miejsce zmiennej t podstawić endomorfizm A. Otrzymujemy wte-
dy wyrażenie
a0 � idV + a1 � A + . . . + an � An.
Twierdzenie 16 (Cayley, Hamilton) Jeśli
a0 + a1 � t + . . . + an � tn
jest wielomianem charakterystycznym endomorfizmu A przestrzeni liniowej
V w siebie, to
a0 � idV + a1 � A + . . . + an � An = Ś.
7
Dla macierzy kwadratowych A określamy:
"
A0 = E, An+1 = An A,
gdzie n " N.
Dla dowolnego wielomianu, mającego postać
a0 + a1 � t + . . . + an � tn
możemy w miejsce zmiennej t podstawić macierz A. Otrzymujemy wtedy
wyrażenie
" " "
a0 E + a1 A + . . . + an An.
Twierdzenie 17 (Cayley, Hamilton) Jeśli
a0 + a1 � t + . . . + an � tn
jest wielomianem charakterystycznym endomorfizmu A przestrzeni liniowej
V w siebie i A jest macierzą tego endomorfizmu (względem jakiejkolwiek bazy
przestrzeni V ), to
" " "
a0 E + a1 A + . . . + an An = O.
4 Dalsze własności wartości i wektorów wła-
snych
Twierdzenie 18 Jeśli x1, . . . , xk są wektorami własnymi endomorfizmu A
przestrzeni liniowej V , odpowiadającymi różnym wartościom własnym 1, . . . , k
tego endomorfizmu, to wektory te są liniowo niezależne.
Definicja 19 Endomorfizm n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nazywa-
my diagonalizowalnym, jeśli istnieje baza przestrzeni V , złożona z wektorów
własnych tego endomorfizmu.
Zauważamy zatem, że endomorfizm diagonalizowalny ma względem bazy
złożonej z wektorów własnych macierz diagonalną.
Definicja 20 Mówimy, że endomorfizm A n-wymiarowej przestrzeni linio-
wej ma widmo proste, jeśli widmo to ma moc n.
8
Wniosek 21 Endomorfizm n-wymiarowej przestrzeni liniowej, mający wid-
mo proste, jest diagonalizowalny.
Twierdzenie 22 Jeśli dim V = n i A jest endomorfizmem przestrzeni li-
niowej V w siebie oraz 1, . . ., n są różnymi wartościami własnymi, to
odpowiadające im wektory własne x1, . . ., xn stanowią bazę przestrzeni V ,
względem której macierz przekształcenia A ma postać
�ł łł
1 0 � � � 0
�ł śł
0 2 � � � 0
�ł śł
�ł śł ,
�ł �ł
� � � � � � � � �
0 0 � � � n
Przykład 23 Niech B, gdzie B = (e1, e2, e3) , będzie bazą kanoniczną prze-
strzeni R3 oraz A : R3 - R3 niech będzie endomorfizmem tej przestrzeni,
określonym zależnością
A (x1e1 + x2e2 + x3e3) = (3x1) � e1 - (8x3) � e3
dla dowolnego ciągu liczb (x1, x2, x3) z przestrzeni R3.
Zauważamy, że
A(e1) = 3�e1,
A(e2) = 0�e2,
A(e3) = -8�e3,
skąd wynika, że endomorfizm A jest diagonalizowalny i macierz tego endo-
morfizmu względem bazy B ma postać
�ł łł
3 0 0
�ł śł
�ł 0 0 0 .
�ł
0 0 -8
9