Zakres zagadnień
Algebra
Wartości i wektory własne oraz wartości szczególne macierzy
1 Ostatni wykład
Adam Dąbrowski
2 Układ liniowych równań różniczkowych
Politechnika Poznańska
Wydział Informatyki i Zarządzania
3 Wartości i wektory własne macierzy
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
4 Stabilność układu liniowych równań różniczkowych
31 stycznia 2009
5 Macierze podobne
6 Ostatni wykład
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 1 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 2 / 14
Ostatni wykład Układ liniowych równań różniczkowych
To już ...
ostatni wykład z algebry w tym semestrze! Adla wielu:
Rozważmy następujący układ n liniowych równań różniczkowych o stałych
ostatni wykład z algebry na makrokierunku Automatyka i Zarządzanie, współczynnikach i n niewiadomych funkcjach x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
ostatni wykład z algebry na studiach,
dx1
= a11x1 + a12x2 + � � � + a1nxn
ostatni wykład z algebry w życiu
dt
... i stąd smutne miny!!!
dx2
= a21x1 + a22x2 + � � � + a2nxn
Ale głowy do góry  jest przecież jeszcze ten wykład!
dt
. . . .
. . . .
. . . .
dxn
= an1x1 + an2x2 + � � � + annxn
dt
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 3 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 4 / 14
Postać macierzowa układu liniowych równań różniczkowych Rozwiązanie układu liniowych równań różniczkowych
Zastosujemy zwarty zapis macierzowy Podstawiając rozwiązanie
x(t) =f (t)v
dx
= Ax
do równania
dt
dx
= Ax
przy czym
dt
Ą# ń# Ą# ń#
otrzymuje się
a11 a12 � � � a1n x1

ó# ó# Ą# f (t)v = f (t)Av
a21 a22 � � � a2n Ą# x2
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
A = oraz x =
. . . .
ó# Ą# ó# Ą#
. . . . lub równoważnie
Ł# . . . Ś# Ł# . Ś#

f (t)
an1 an2 � � � ann xn v = Av
f (t)
Poszukajmy rozwiązania o postaci
Ponieważ v i Av są stałymi wektorami wielkość

f (t)
x(t) =f (t)v
= 
f (t)
przy czym f (t) jest pewną skalarną funkcją zmiennej t a v jest niezerowym
musi być stałą (być może zespoloną) liczbą.
stałym wektorem.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 5 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 6 / 14
Wartości i wektory własne macierzy Równanie charakterystyczne macierzy
Rozwiązanie układu liniowych równań różniczkowych
Równanie
dx
= Ax
Av = v
dt
sprowadziliśmy do rozwiązania równania
można zapisać jako

I - A v = 0
Av = v
Definicja
Stąd wynika
Każdy niezerowy wektor v nazywamy wektorem własnym macierzy A, a
Twierdzenie
liczbę  nazywamy wartością własną macierzy A przypisaną do wektora
Liczba  jest wartością własną macierzy kwadratowej A wtedy i tylko
własnego v.
wtedy, gdy jest rozwiązaniem tzw. równania charakterystycznego
Zauważmy jeszcze, że funkcją f (t) spełniającą równanie
det I - A = 0

f (t)
= 
f (t)
macierzy A.
jest
f (t) =c � et
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 7 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 8 / 14
Rozwiązanie ogólne układu liniowych równań Przyład rozwiązania układu równań różniczkowych
różniczkowych
Należy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych

�1 = 2x1 + 3x2
Wyrażenie
,
�2 = x1 + 4x2
det I - A

2 3
wktórymA jest macierzą stopnia n, jest wielomianem stopnia n zmiennej
Macierz współczynników A = ma równanie charakterystyczne
1 4
. Wielomian ten ma zatem n pierwiastków, uwzględniając ewentualne
pierwiastki wielokrotne.
det(I - A) =2 - 6 + 5 =( - 1)( - 5) =0 .
Załóżmy, że istnieje n różnych pierwiastków 1, 2, . . . , n tego
Wartości własne są zatem równe 1 = 1 i 2 = 5. Rozwiązując równanie
wielomianu, wówczas funkcja
(I - A)v = 0 przy  = 1 i  = 2 znajdujemy (niejednoznaczne)
rozwiazania

x(t) =c1e1tv1 + c2e2tv2 + � � � + cnentvn
3 1
v1 = oraz v2 = .
-1 1
jest tzw. rozwiązaniem ogólnym równania
Stąd ogólne rozwiązanie rozważanego układu równań ma postać
dx

= Ax
3 1
dt
x(t) =c1et + c2e5t .
-1 1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 9 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 10 / 14
Stabilność układu liniowych równań różniczkowych Macierze podobne
Definicja
Dwie macierze A, B "Cn�n sa nazywane podobnymi, jeśli istnieje
Twierdzenie transformująca macierz nieosobliwa P "Cn�n taka, że B = P-1AP.
Rozwiązanie ogólne rozpatrywanego układu liniowych równań
Twierdzenie
różniczkowych dąży do zera wtedy i tylko wtedy, gdy części rzeczywiste
Macierze podobne mają te same wartości własne.
wszystkich wartości własnych macierzy współczynników tego układu są
Niech macierz A "Cn�n ma n liniowo niezależnych wektorów
ujemne.
własnych v1, v2, . . . , vn i wartości własne 1, 2, . . . , n.
Taki układ równań różniczkowych nazywamy stablinym (asymptotycznie).
Ą# ń#
1
Jeśli istnieją wartości własne o dodatnich częściach rzeczywistych lub
ó#

2 Ą#
wielokrotne o zerowych częściach rzeczywistych, to układ jest niestabilny. ó# Ą#
ó# Ą#
Niech D = oraz V = v1, v2, . . . , vn ,
.
ó# Ą#
Jeśli wartości własne o zerowych częściach rzeczywistych są jednokrotne, a .
.
Ł# Ś#
ewentualne pozostałe mają ujemne części rzeczywiste, to mówi się, że
n
układ jest słabo stabilny lub, że jest na granicy stabilności.
wówczas
V-1AV = D .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 11 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 12 / 14
Ostatni wykład Miłych snów!
życzę wszystkim, którzy smacznie zasną podczas nauki do
egzaminu z algebry.
Życzenie
Życzę wszystkim, którzy po
Może pomarzą sobie o specjalności MULTIMEDIA!!!
pomyślnym zdaniu egzaminu jeszcze
... a ich życzenia kiedyś się spełnią.
kiedyś bedą mieli szczęście wrócić do
algebry, aby było to nie tylko dla ich
dobra, ale także i dla dobra
ALGEBRY!
... i aby mieli przy tymzupełnie inną
minę.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 13 / 14 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 31 stycznia 2009 14 / 14