Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy).
Diagonalizacja macierzy.
Def. 1
Z: (X, K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: X X  endomorfizm
"K nazywamy wartością własną endomorfizmu f :�! istnieje v " X , v `" 0
taki, że f(v)=v
Jeżeli  jest wartością własną endomorfizmu f to każdy wektor u " X , taki
że f(u)=u nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f odpowiadającym
wartości własnej .
� - zbiór wartości własnych nazywamy widmem endomorfizmu.
X := {v " X:f(x)=v}
Twierdzenie 1
Z: (X, K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: X X  endomorfizm
 - wartość własna endomorfizmu
T: (X, K,+, �")  jest podprzestrzenią przestrzeni X
Def. 2
(X, K,+, �")  nazywamy przestrzenią własną endomorfizmu f.
Wniosek: dimXe"1
Przykład 1
Z: (C", , +,�") (C" , , +,�") -zbiór funkcji różniczkowalnych

D: C" C"
D(f) = f
"
f: f(x) = a �" ex a  ustalona liczba
(D(f))(x)
f (x) = aex
(D(f))(x) = aex=�"f(x)
Np. Dla =3: X3={f: f(x) = a �" e3x, a" }
Twierdzenie 2
Z: (X, K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: X X  endomorfizm
T: Jeden niezerowy wektor własny endomorfizmu odpowiada dokładnie
jednej wartości własnej.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne
Twierdzenie 3
Z: (X, K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: X X  endomorfizm
dimX=n
B=(e1, e2,..., en ) - baza
A=Mf (B,B)
T: "K jest wartością własną endomorfizmu �! det(A - I)=0
Def. 3
Z: An�n=[aij]  macierz
 - nazywamy wartością własną macierzy A :�! det(A - I)=0.
Jeśli  jest wartością własną macierzy A to każdy wektor x: (A-I)�" x = 0
nazywamy wektorem własnym macierzy A dopowiadającym wartości
własnej  macierzy A.
Wniosek:
1. A=Mf (B, B) Np. f: KnKn
 - jest wartością własną macierzy A �! jest wartością własną
endomorfizmu f.
2. x - jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej 
macierzy A �! jest wektorem własnym odpowiadającym wartości
własnej  endomorfizmu.
Uwaga
Ze względu na ścisły związek między  endomorfizmu, a  macierzy
wszystkie twierdzenia udowodnione dla endomorfizmu są prawdziwe dla
macierzy.
Def. 4
1 0 0 a11
łł
�łłł �ł -  a12 a1n
a11 a1n �ł0
�łłł
śł �ł śł
1 0 a21 a22 - 
�łśł
�łśł) = det �ł śł
det(A-I)=det( -  =
�łśł
�łśł �ł śł
0 1 0
�łśł
ann �ł �ł0
�ł
�łan1
0 1śł �ł an1 ann-1 ann - śł
�ł�ł �ł
= ą+�n-1n-1+�n-2n-2 +...+�1+�0 = "()
"() - nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A
(endomorfizmu).
Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego
wielomianu charakterystycznego.
Uwaga
Wartości własne endomorfizmu nie zależą od wyboru bazy przestrzeni (są
niezmiennikami endomorfizmu).
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne
Przykład 2
1 2 0
�łłł
�łśł
A= 0 2 0 f: R3 R3 (baza kanoniczna)
�łśł
�ł-2 -2 -1�ł
�łśł
1- 2 0
"() = det(A-I)= 0 2- 0 = (2 - )(1- )(-1- )
-2 -2 -1-
"() = 0 �! 1 = 2 (" 2 = 1(" 3 = -1
k1=1 k2 =1 k3=1
Szukamy przestrzeni własnych.
Dla =2
�ł-1 2 0 x1 0
łł �ł łł �ł łł
�łśł �łx śł �ł0śł
0 0 0 �" =
2
�łśł �ł śł �ł śł
�ł-2 -2 -3�ł �łx3 �ł �ł0śł
�łśł �ł śł �ł �ł
Zbiór rozwiązań powyższego równania to przestrzeń własna.
ńł-x1 + 2x2 = 0
�ł
- 2x2 - 3x3 = 0
ół-2x1
ńł-x1 + 2x2 = 0
�ł
-6x2 - 3x3 = 0
ół
x1 = 2ą
x2 = ą
x3 =-2ą
Czyli: X2={(2ą,ą,-2ą)}={ą(2,1,-2) ą" R }
Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla pozostałych wartości
.
Twierdzenie 4
Z: (X,K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: X X endomorfizm
1,2,...,p: i`"j �! i`"j i  wartości własne endomorfizmu
v1, v2,..., vp : vi `" 0 -wektory własne odpowiadające wartościom własnym i
T: v1, v2,..., vp - są liniowo niezależne
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne
Diagonalizowalność
Def. 5
(X,K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: XX endomorfizm
f  nazywamy endomorfizmem diagonalizowalnym :�! istnieje B  baza
przestrzeni X, względem której macierz tego endomorfizmu jest
diagonalna,
Twierdzenie 5
Z: (X,K,+, �")  przestrzeń wektorowa
f: XX endomorfizm
T: f  jest endomorfizmem diagonalizowalnym �! w przestrzeni X istnieje
baza złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Wnioski:
(X,K,+, �")  przestrzeń wektorowa f: XX endomorfizm
1. Jeśli endomorfizm f jest diagonalizowalny to w macierzy Mf(B,B) na
przekątnej głównej znajdują się (niekoniecznie różne) wartości własne
endomorfizmu, a poza tym elementami macierzy są zera.
2. Warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym diagonalizowalności
endomorfizmu jest, aby miał w przestrzeni n  wymiarowej n 
wartości własnych.
Def. 6
An�n  o elementach z ciała K nazywamy diagonalizowalną jeżeli jest
podobna do pewnej macierzy diagonalnej ("P  nieosobliwa '" "D 
diagonalna takie, że: D=P-1 �" A �" P)
Wniosek:
A=Mf(B,B) f - endomorfizm
1. Z def. 2 wynika, że A jest diagonalizowalna �! f jest endomorfizmem
diagonalizowalnym.
2. Ze względu na ścisły związek macierzy i endomorfizmów twierdzenia
dotyczące twierdzenia dotyczące diagonalizwalności endomorfizmu są
prawdziwe dla macierzy i na odwrót.
Przykład 3
�ł-1 0 -1
łł
�łśł
A= 3 2 3 Sprawdzić, czy A  diagonalizowalna.
�łśł
�ł-3 0 1
�łśł
�ł
-1- 0 -1
-1-  -1
det(A-I)= 3 2- 3 = (2 - )(-1)2+2 = (2 - )(+2)
-3 1- 
-3 0 1-
1=2 k1=2
2=-2 k2=1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne
2=-2
�ł-1 0 -1 x1 0
łł �ł łł �ł łł
�łśł �łx śł �ł0śł
3 2 3 �" =
2
�łśł �ł śł �ł śł
�ł-3 0 1
�łśł �ł śł �ł �ł
�ł �łx3 �ł �ł0śł
x1 -x3 = 0 x1 -x3 = 0
ńł ńł
�ł 3x1 + 4x2 + 3x3 = 0 �ł
4x2 + 6x3 = 0
�ł �ł
�ł �ł
+3x2 = 0 0 = 0
ół-3x1 ół
x3 =
ńł ą
�łx =- 3 ą
�ł
2 2
�łx = ą
ół 1
3
X-2 = {ą(1,- ,1), ą " R}
2
dim X-2=1
1=2
�ł-3 0 -1 x1 0
łł �ł łł �ł łł
�łśł �łx śł �ł0śł
3 0 3 �" =
2
�łśł �ł śł �ł śł
�ł-3 0 -1�ł �łx3 �ł �ł0śł
�łśł �ł śł �ł �ł
ńł-3x1 -x3 = 0 x3 = 0
ńł
�ł �ł
�ł 3x + 3x3 = 0 �łx = 0
1 1
�ł-3x �łx = �
-x3 = 0
ół 1 ół 2
X2={�(0,1,0), �" R }
dim X2=1
Wniosek: Macierz nie jest diagonalizowalna ponieważ w R3 nie istnieje
baza wektorów własnych.
Twierdzenie 6
Z: (X,K,+, �")  przestrzeń wektorowa dim X=n
f: XX endomorfizm
p
1 2
"()=ą(-1)k (-2)k �"...�"(-p)k
i `" j �! i`"j
k1+k2+...+kp=n
T1: "i=1,2,...,p: 1d" dim X d" ki
i
T2: (WKW) f  jest diagonalizowalny �! "i=1,2,...,p: dim Xi=ki
Przykład 4
�ł-1 0 -1
łł
�łśł
A= 3 2 3
�łśł
�ł-3 0 1
�łśł
�ł
"()=det(A-I)=-(-2)2(+4)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne
Sprawdzić, czy macierz A jest diagonalizowalna.
1=2 k1=2
2=-4 k2=1
dla 1=2
�ł-3 0 -3 x1 0
łł �ł łł �ł łł
�łśł �łx śł �ł0śł
3 0 3 �" =
2
�łśł �ł śł �ł śł
�ł-3 0 -3�ł �łx3 �ł �ł0śł
�łśł �ł śł �ł �ł
ńł-3x1 -3x3 = 0
�ł
�ł 3x + 3x3 = 0
1
�ł-3x
-3x3 = 0
ół 1
ńł-3x1 -3x3 = 0 x3 =
ńł ą
�ł �łx = �
0=0
�ł �ł
2
�ł �łx = -ą
0=0
ół ół 1
X2={ą(-1,0,1)+�(0,1,0), ą,�" }
dim X2=2
B=(v1=(-1,0,1),v2=(0,1,0);u3)
2 0 0
�łłł
�ł0 śł
Wniosek: D= 2 0
�łśł
�ł -4�ł
�ł0 0 śł
Dla 2=4
3 0 -3 x1 0
�łłł �ł łł �ł łł
�łśł �łx śł �ł0śł
3 6 3 �" =
2
�łśł �ł śł �ł śł
�ł-3 0 3
�łśł �ł śł �ł �ł
�ł �łx3 �ł �ł0śł
3x1 -3x3 = 0
ńł
3x1 -3x3 = 0
ńł
�ł 3x + 6x2 +3x3 = 0
�ł
�ł
1
6x2 +6x3 = 0
�ł
�ł-3x
3x3 = 0
ół 1 �ł0 = 0
ół
x3 = ł
ńł
�ł
�łx =-ł
2
�łx = ł
ół 1
X-4={ł(1,-1,1), ł" }
u3=(1,1,1)=[1,-1,1]
B=(v1=(-1,0,1),v2=(0,1,0);u3=(1,-1,0))
�ł-1 0 1
łł
�ł
P= 0 1 -1śł
�łśł
�łśł
1 0 1
�ł�ł
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 6 Część 12  Wartości i wektory własne