1
Wartości i wektory własne macierzy
Niech A oznacza dana macierz kwadratową, rzeczywistą lub ze-
spoloną, stopnia n 2, (n " N) :
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
a11 a12 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł

a21 a22 . . . a2n
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = �ł śł = aij n�n , aij " R (C)
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
. . . . . . . . . . . .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
an1 an2 . . . ann
Definicja
" Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy
2
wielomian rzeczywisty (lub zespolony) W () zmiennej  stop-
nia n postaci:
W () = | A -  E | ,
gdzie E jest macierzą jednostkową stopnia n .
" Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równa-
nie:
W () = | A -  E | = 0.
" Wartością własną macierzy A nazywamy każdy pierwiastek
rzeczywisty (lub zespolony) wielomianu charakterystycznego tej
macierzy, czyli każdą liczbę 0 " R (C) taką, że
W (0) = 0 �!�! | A - 0 E | = 0.
3
Definicja Wektorem własnym macierzy A odpowiadającym
danej wartości własnej 0 tej macierzy nazywamy każdy niezerowy
wektor
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
x1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
x2
�ł śł
�ł śł
�ł śł
X = �ł śł ,
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
. . .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
xn
będący rozwiązaniem równania macierzowego:


( A - 0 E ) X = 0,
czyli równania postaci:

A X = 0 X.
4
Powyższe równanie macierzowe ma postać:
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
a11 - 0 a12 . . . a1n x1 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
a21 a22 - 0 . . . a2n x2 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł � �ł śł = �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
an1 an2 . . . ann - 0 xn 0
i jest ono równoważne następującemu układowi równań:
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
( a11 - 0 ) x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
a21 x1 + ( a22 - 0 ) x2 + . . . + a2n xn = 0
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
. . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ( ann - 0 ) xn = 0
�ł
ół
5
Uwaga Powyższy układ jest układem jednorodnym, a
| A -  E | = 0 . Zatem układ ten ma zawsze rozwiązanie nieze-
rowe.
Przykład Wyznaczyć wartości własne macierzy:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 + i 1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
2 2 - i
6
Fakt (Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia
n = 3 ) Niech A będzie macierzą postaci:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł a11 a12 a13 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = �ł śł
a21 a22 a23
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
a31 a32 a33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać:
W () = - 3 + p1 2 - p2  + p3,
gdzie:
" p1 = a11 + a22 + a33 = tr A jest śladem macierzy A ,
7
" p2 jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A ,
tj.






a11 a12 a11 a13 a22 a23



p2 = + + ,




a21 a22 a31 a33 a32 a33


" p3 = W (0) = det A jest wyznacznikiem macierzy A ,
Przykład Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł 0 1 0 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = �ł śł
-4 4 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
-2 1 2
8
Podstawowe własności macierzy symetrycznej i rzeczywistej
Przypomnienie Macierz A jest macierzą symetryczną wtedy i
tylko wtedy, gdy jest macierzą kwadratową oraz
AT = A.
Fakt 1 Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej i rze-
czywistej są rzeczywiste.

Fakt 2 Wektory własne X, Y macierzy symetrycznej i rzeczy-
wistej, które odpowidają różnym wartościom własnym X, Y , są
ortogonalne, tzn.
9
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
y1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
y2
�ł śł
�ł śł
�ł śł
XT ć% Y = [ x1 x2 . . . xn ] ć% �ł śł = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn = 0.
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
. . .
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
yn
Fakt 3 Kazda macierz kwadratowa stopnia n , która jest sy-
metryczna i rzeczywista, posiada n wektorów własnych liniowo
niezależnych.
10
Przykłady i ćwiczenia
1. Niech 1, 2, . . . , n będą wartościami własnymi macierzy kwa-
dratowej A stopnia n . Wykazać, że
det A = 1 � 2 � . . . � n.
2. Niech macierz A będzie macierzą kwadratową stopnia n .
Wykazać, że macierze A i AT mają te same wartości własne.
3. Niech 1, 2, . . . , n będą wartościami własnymi macierzy kwa-
1 1 1
dratowej i nieosobliwej A stopnia n . Wykazać, że , , . . . ,
1 2 n
są wartościami własnymi macierzy A-1 .
4. Niech 0 będzie wartością własną macierzy A . Wykazać, że
k będzie wartością własną macierzy Ak dla k " N .
0
11
5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy symetrycznej:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł -6 2 3 śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
A = �ł śł
2 -3 6
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
3 6 2