Z45: Algebra liniowa
Zagadnienie: wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych ma-
cierzy
Zadanie: wartości własne, wyznaczanie i interpretacja.
Wektory i wartości własne
Wartości własne i wektory własne odgrywają zasadniczą rolę w rozwiązywa-
niu równań różniczkowych liniowych, w badaniu ich stabilności, w wyzna-
czaniu stanów stacjonarnych w zagadnieniach mechaniki kwantowej oraz w
równaniach cząstkowych.
Dobrym punktem wyjścia do wprowadzenia pojęcia wartości własnej i
wektora własnego są układy równań różniczkowych liniowych
x = Ax,
gdzie A jest macierzÄ… kwadratowÄ… o wymiarach n × n. Szukamy rozwiÄ…zaÅ„
postaci
x(t) = vet,  " C, v " Cn.
Ponieważ (et) = et, więc

d
x (t) = vet = vet.
dt
Podstawiając wyliczoną wartość x (t) do naszego układu otrzymujemy
vet = A(vet) = etAv.
Zatem funkcja x(t) = vet jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy,
gdy stała  " C i wektor v " Cn spełniają równanie
Av = v.
Jeżeli liczba  " C i niezerowy wektor v " Cn spełniają powyższe
równanie, to  nazywamy wartością własną, a wektor v wektorem własnym
macierzy (odwzorowania) A. Jeżeli  jest wartością własną, a v wektorem
własnym macierzy A odpowiadającym , to spełniają one równanie
(A - I)v = 0.
W istocie jest to jednorodny układ n równań liniowych o n niewiadomych i
ma on niezerowe rozwiÄ…zanie v wtedy i tylko wtedy, gdy
det(A - I) = 0.
1
Ostatnie równanie nazywamy równaniem charakterystycznym. Układ zło-
żony z wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym
jest liniowo niezależny. W szczególności, jeżeli macierz kwadratowa wymiaru
n×n ma n różnych wartoÅ›ci wÅ‚asnych, to odpowiadajÄ…ce im wektory wÅ‚asne
tworzÄ… bazÄ™ w Cn.
2