SNM - sem. VI WM - 1
Elementy analizy wektorowej
Całki krzywoliniowe
Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej)
" Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie : I R3 , gdzie I ozna-
r
cza przedział na prostej, co zapisujemy
= [x(t), y(t), z(t)] ,
r(t)
gdzie t " I.
" Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wek-
torowa jest różniczkowalna w sposób ciągły na I, a pochodna określona jest wzorem
r

(t) = [x (t), y (t), z (t)] .
r
Równania parametryczne ważniejszych łuków
" Odcinek w przestrzeni o końcach A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ma przedstawienie parame-
tryczne
ńł
�ł x(t) = x1 + (x2 - x1) t ,
�ł
� : y(t) = y1 + (y2 - y1) t , t "< 0, 1 > .
�ł
ół
z(t) = z1 + (z2 - z1) t ,
" Okrąg o środku S(x0, y0) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne

x(t) = x0 + R cos t ,
� :
y(t) = y0 + R sin t , t "< 0, 2Ą > .
" Elipsa o środku S(x0, y0) i półosiach a, b ma przedstawienie parametryczne

x(t) = x0 + a cos t ,
� :
y(t) = y0 + b sin t , t "< 0, 2Ą > .
" Linia śrubowa o skoku h, nawinięta na walec (x-x0)2 +(y -y0)2 = R2 ma przedstawienie
parametryczne
ńł
�ł
x(t) = x0 + R cos t ,
�ł
�ł
�ł
y(t) = y0 + R sin t , t " R .
� :
�ł
h
�ł
�ł
ół
z(t) = t
2Ą
SNM - sem. VI WM - 2
Twierdzenie (długość łuku)
Niech � = {(x(t), y(t), z(t)) : ą t �} będzie łukiem zwykłym, gładkim w przestrzeni.
Wtedy jego długość wyraża się wzorem
�

|�| = [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
ą
Całka krzywoliniowa niezorientowana.
Definicja (całka krzywoliniowa niezorientowana)
Niech � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >} będzie łukiem gładkim na płaszczyz
nie. Wprowadz
my
oznaczenia:
" P = {t0, t1, . . . , tn} - podział odcinka < ą, � > na n " N odcinków;
" �(P ) = max{"tk : 1 k n} - średnica podziału P ;
" "lk - długość łuku Ak-1Ak, gdzie 1 k n.
Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim �.
Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku � definiujemy wzorem

n

def
"
f(x, y) dl = lim f(x", yk)"lk ,
k
�(P )0
k=1
�
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P
"
odcinka < ą, � > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x", yk).
k
SNM - sem. VI WM - 3
Uwaga
Całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji łuku.
Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą
Niech f będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim �. Wtedy gdy
" � = {y = y(x) : a x b} mamy wzór
b

f(x, y) dl = f(x, y(x)) 1 + [y (x)]2 dx ;
a
�
" � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >} mamy wzór
�

f(x, y) dl = f(x(t), y(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 dt ;
ą
�
" � = {(x(t), y(t), z(t)) : t "< ą, � >} mamy wzór
�

f(x, y, z) dl = f(x(t), y(t), z(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
ą
�
Zastosowania
" Długość łuku.
" Pole płata powierzchni bocznej walca.
" Masa łuku.
" Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego.
" Momenty statyczne względem płaszczyzn układu łuku materialnego.
" Współrzędne środka masy łuku materialnego.
" Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku material-
nego.
" Natężenie pola elektrycznego,
" Siła przyciągania grawitacyjnego,
" Energia kinetycznej łuku.
SNM - sem. VI WM - 4
Całka krzywoliniowa zorientowana.
Definicja (łuk zorientowany)
A
uk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem
zorientowanym.
A
uk zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk: �. A
uk o orientacji przeciwnej do
orientacji łuku � oznaczamy przez -�. Jeżeli wraz ze wzrostem parametru łuku zorientowanego
poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z
jego orientacją.
Definicja (całka krzywoliniowa zorientowana)

Niech F = [P, Q] będzie polem wektorem na łuku zorientowanym � �" R2. Całkę krzywoliniową

zorientowaną z pola wektorowego F po łuku � definiujemy wzorem

n

def
" "
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = lim ( P (x", yk)"xk + Q(x", yk)"yk ) ,
k k
�(P )0
k=1
�
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P
"
przedziału < ą, � > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x", yk).
k
Oznaczenia:
Ak - punkty podziału łuku � indukowane przez podział P ; - punkty pośrednie na łuku
rk "
Ak-1Ak; " = [ "xk, "yk ] dla 1 k n.
rk
Powyższą całkę oznaczamy

P dx + Q dy
�
lub

F ć% d ,
r
�
gdzie d = [ dx, dy ].
r

Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F = [P, Q, R] po łuku � położonym w przestrzeni
definiujemy analogicznie i oznaczamy symbolem

P dx + Q dy + R dz
�
SNM - sem. VI WM - 5
lub

F ć% d ,
r
�
gdzie d = [ dx, dy, dz ].
r
Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x, y) : y = y(x), x "< a, b >}, którego orientacja jest

zgodna ze wzrostem zmiennej x, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to
b
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx.
a
�
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >}, którego orientacja jest zgodna z

parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to
�
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt.
ą
�
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x(t), y(t), z(t)) : t "< ą, � >}, którego orientacja jest

zgodna z parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q, R] jest ciągłe, to

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
�
�
= [P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt.
ą
W formie wektorowej powyższe dwa wzory mają postać:



F ( ) ć% d = [F ( ) ć% (t)] dt .
r r r r
� �
Wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz jest różniczką zupełną funkcji U(x, y, z) w
obszarze D, jeżeli w tym obszarze
Ux(x, y, z) = P (x, y, z), Uy(x, y, z) = Q(x, y, z), Uz(x, y, z) = R(x, y, z).
Równość
Py(x, y, z) = Qx(x, y, z), Qz(x, y, z) = Ry(x, y, z), Rx(x, y, z) = Pz(x, y, z)
jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby
I) wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz było różniczką zupełną;

II) całka krzywoliniowa P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz wzdłuż krzywej AB nie

AB
zależała od drogi całkowania, a tylko od położenia punktów A i B.
SNM - sem. VI WM - 6
W tym przypadku

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = dU(x, y, z) = U(B) - U(A).

AB AB
W formie wektorowej powyższe twierdzenie można zapisać następująco

grad U ć% d = U(B) - U(A) .
r

AB
Zastosowania całki krzywoliniowej zorientowanej
" Pole obszaru ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim.
" Praca w polu wektorowym wykonana wzdłuż łuku zorientowanego.
SNM - sem. VI WM - 7
Całki powierzchniowe
Definicja (funkcja wektorowa dwóch zmiennych)
Niech D będzie obszarem na płaszczyz
nie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni
nazywamy odwzorowanie : D R3:
r
= [ x(u, v), y(u, v), z(u, v) ] ,
r
gdzie (u, v) " D.
Funkcja wektorowa jest:
r
" ciągła na obszarze D, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na tym obszarze;
" różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na tym obszarze.
Definicja (płat powierzchniowy)
Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa v) będzie ciągła i
r(u,
różnowartościowa na tym prostokącie. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór war-
tości funkcji wektorowej
r:
Ł = { v) : (u, v) " D} .
r(u,
Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem pro-
stym, nazywamy płatem powierzchniowym.
Definicja (płat powierzchniowy gładki)
Płat powierzchniowy Ł, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a
funkcja wektorowa jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D,
r
nazywamy płatem gładkim, gdy na bszarze D spełniony jest warunek

� = 0 ,
ru rv
gdzie
= [ xu, yu, zu ] , = [ xv, yv, zv ] .
ru rv
Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami
gładkim.
Równania parametryczne ważniejszych powierzchni
" Sfera o środku w (0, 0, 0) i promieniu r:
ńł
�ł x = r cos u cos v ,
�ł
Ł : y = r sin u cos v ,
�ł
ół
z = r sin v ,
Ą
gdzie u " [0, 2Ą], v " [-Ą , ].
2 2
" Powierzchnia walcowa x2 + y2 = r2, gdzie 0 z H:
ńł
�ł x = r cos u ,
�ł
Ł : y = r sin u ,
�ł
ół
z = v ,
gdzie u " [0, 2Ą], v " [0, H].
SNM - sem. VI WM - 8
"
" Powierzchnia stożka z = k x2 + y2, gdzie x2 + y2 r2:
ńł
�ł x = v cos u ,
�ł
Ł : y = v sin u ,
�ł
ół
z = kv ,
gdzie u " [0, 2Ą], v " [0, r].
" Powierzchnia paraboloidy obrotowej z = k(x2 + y2), dla x2 + y2 r2:
ńł
�ł x = v cos u ,
�ł
Ł : y = v sin u ,
�ł
ół
z = kv2 ,
gdzie u " [0, 2Ą], v " [0, r].
Całka powierzchniowa niezorientowana
Definicja (całka powierzchniowa niezorientowana)
Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie Ł. Całkę powierzchniową niezorientowaną
z funkcji f po płacie Ł definiujemy wzorem

n

def
" "
f(x, y, z) dS = lim f(x", yk, zk)|"Łk| ,
k
�(P )0
k=1
Ł
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P
obszaru D ani od sposobu wyboru punktów pośrednich.
Oznaczenia:
- "Łk - część płata Ł odpowiadająca obszarowi "Dk w parametryzacji gdzie 1 k n;
r,
- |"Łk| - pole płata "Łk, gdzie 1 k n;
" "
- (x", yk, zk) - punkt płata "Łk, gdzie 1 k n.
k
Uwaga
Wartość całki powierzchniowej niezorientowanej nie zależy od parametryzacji płata.
Definicja (całka po płacie kawałkami gładkim)
Niech Ł będzie płatem złożonym z płatów gładkich Ł1, Ł2, . . . Łm oraz niech f będzie funk-
cją ograniczoną na płacie Ł. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Ł
definiujemy wzorem

f dS = f dS + f dS + � � � + f dS ,
Ł Ł1 Ł2 Łm
o ile całki po prawej stronie równości istnieją.
Twierdzenie (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie Ł, to

" (f + g) dS = f dS + g dS;
Ł Ł Ł
SNM - sem. VI WM - 9

" (cf) dS = c f dS , gdzie c " R.
Ł Ł
Definicja (całka powierzchniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)
Niech Ł będzie płatem kawałkami gładkim oraz niech funkcje P , Q, R będą całkowalne na Ł.

Całkę powierzchniową niezorientowaną po płacie Ł z funkcji F = [P, Q, R] określamy wzorem

def

F dS = [ P dS, Q dS, R dS ] .
Ł Ł Ł Ł
Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną
" Jeżeli: f - funkcja ciągła na płacie gładkim Ł, D1 - rzut płata Ł na płaszczyznę XoY ,
z = g(x, y) - równanie płata powierzchniowego Ł

f(x, y, z)dS =
Ł


= f(x, y, g(x, y)) 1 + [gx(x, y)]2 + [gy(x, y)]2dxdy.
D1
" Jeżeli: f - funkcja ciągła na płacie gładkim Ł, D2 - rzut płata Ł na płaszczyznę XoZ,
y = h(x, z) - równanie płata powierzchniowego Ł

f(x, y, z)dS =
Ł


= f(x, h(x, z), z) 1 + [hx(x, z)]2 + [hz(x, z)]2dxdz.
D2
" Jeżeli: f - funkcja ciągła na płacie gładkim Ł, gdzie Ł = { v) : (u, v) " D}, gdzie
r(u,
D �" R2 jest regularny, to

f(x, y, z)dS = f( v))| � .
r(u, ru rv|
Ł D
Zapisując inaczej (przy użyciu wprowadzonych wcześniej oznaczeń) mamy

"
f(x, y, z)dS = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B2 + C2dudv ,
Ł D
gdzie


yu zu zu xu xu yu

A = , B = , C = .

yv zv zv xv xv yv
Zastosowania całki powierzchniowej niezorientowanej
" Pole płata.
Pole kawałkami gładkiego płata Ł wyraża się wzorem

|Ł| = dS .
Ł
SNM - sem. VI WM - 10
" Masa płata.
Masa płata materialnego Ł o gęstości powierzchniowej � wyraża się wzorem

M = �(x, y, z) dS .
Ł
" Momenty statyczne.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu płata materialnego Ł o gęstości po-
wierzchniowej masy � wyrażają się wzorami

MSxy = z�(x, y, z)dS ;
Ł

MSxz = y�(x, y, z)dS ;
Ł

MSyz = x�(x, y, z)dS .
Ł
" Współrzędne środka masy.
Współrzędne środka masy płata materialnego Ł o gęstości powierzchniowej masy � wy-
rażają się wzorami
MSyz MSxz MSxy
xc = ; yc = ; zc = .
M M M
" Momenty bezwładności.
Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych płata mate-
rialnego Ł o gęstości powierzchniowej masy � wyrażają się wzorami

Ix = (y2 + z2) �(x, y, z)dS ;
Ł

Iy = (x2 + z2) �(x, y, z)dS ;
Ł

Iz = (x2 + y2) �(x, y, z)dS ;
Ł

IO = (x2 + y2 + z2) �(x, y, z)dS .
Ł
" Natężenie pola elektrycznego.
" Siła przyciągania grawitacyjnego.
Całka powierzchniowa zorientowana
Definicja (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem
zorientowanym. Wyróżnioną stronę płata nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany ozna-
czamy symbolem Ł, a zorientowany przeciwnie do niego -Ł.
SNM - sem. VI WM - 11
Dla płatów zamkniętych za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego zawnętrzną stronę.
Uwaga
Niech płat gładki zorientowany Ł ma przedstawienie parametryczne
Ł = { v) : (u, v " D)} .
r(u,
Wtedy wersor normalny płata Ł wystawiony w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, odpowiadają-
n
cym punktowi (u0, v0) obszaru D, wyraża się wzorem
�
ru rv
= ą ,
n
| �
ru rv|
gdzie wektory są obliczone w punkcie (u0, v0). Znak stojący przed wersorem ustala się
ru, rv n
na podstawie orientacji płata Ł. Przyjmujemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest
skierowany od jego strony ujemnej do dodatniej.
Definicja (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech F = [P, Q, R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym Ł.

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie Ł definiujemy wzorem

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
Ł


= (F (x, y, z) ć% y, z)) dS ,
n(x,
Ł
gdzie = [cos ą, cos �, cos ł] oznacza wersor normalny płata zorientowanego Ł wystawiony z
n
punkcie (x, y, z) tego płata.
Całkę powierzchniową oznaczmy jako


P dydz + Q dzdx + R dxdy , F ć% dS ,
Ł Ł

gdzie dS = [dydz, dzdx, dxdy].
Definicja (całka powierzchniowa zorientowana po płacie kawałkami gładkim)
Niech Ł będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich Ł1,

Ł2, . . ., Łm, o orientacjach pokrywających się z orientacją płata Ł. Niech F będzie polem
wektorowym na płacie Ł. Wtedy całkę powierzchniową zorientowaną definiujemy wzorem


F ć% dS = F ć% dS + F ć% dS + . . . + F ć% dS ,
Ł Ł1 Ł2 Łm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
SNM - sem. VI WM - 12
Twierdzenie (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)

Jeżeli istnieją całki z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym
zorientowanym Ł, to


" (F + G) ć% dS = F ć% dS + G ć% dS;
Ł Ł Ł


" (cF ) ć% dS = c F ć% dS , gdzie c " R;
Ł Ł


" F ć% dS = - F ć% dS
-Ł Ł
Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną
Twierdzenie
Jeżeli funkcje P , Q, R są ciągłe na zorientowanym płacie regularnym Ł o równaniu z = f(x, y),
(x, y) " D, to

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
Ł

= � [-P (x, y, f(x, y))fx(x, y) - Q(x, y, f(x, y))fy(x, y)+
D
+R(x, y, f(x, y))] dxdy ,
gdzie przyjmujemy
" � = 1, gdy orientacja płata Ł jest tak dobrana, że cos ł > 0,
" � = -1, gdy cos ł < 0,
przy czym cos ł jest współrzędną wzdłuż osi Oz wektora normalnego do tej powierzchni, o
n
zwrocie zgodnym z wybraną orientacją Ł.
Jeżeli funkcje P , Q, R są ciągłe na zorientowanym płacie regularnym Ł = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) :
(u, v) " D}, gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie, to

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
Ł



yu yv

= � P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) +

zu zv
D


zu zv

+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) +

xu xv


xu xv

+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dudv.

yu yv
Definicja (strumień pola wektorowego)

Strumień pola wektorowego F przez powierzchnię zorientowaną Ł (ze strony ujemnej na do-
datnią) określamy wzorem


Ś = F ć% dS .
Ł
SNM - sem. VI WM - 13
Twierdzenie (wzór Gaussa)
Jeżeli
" Ł jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem ob-
szaru domkniętego V �" R3.

" pole wektorowe F = [P, Q, R] jest różniczkowalne w sposób ciągły na V
to

F ć% dS = divF dV .
Ł V
Czyli

P dydz + Q dzdx + R dxdy = (Px + Qy + Rz) dxdydz .
Ł V
Twierdzenie (wzór Stokesa)
Jeżeli
" Ł jest płatem kawałkami gładkim, którego brzeg � jest łukiem kawałkami gładkim zo-
rientowanym zgodnie z orientacją płata Ł.

" pole wektorowe F = [P, Q, R] jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Ł (łącznie z
brzegiem �),
to

F ć% d = (rotF ) ć% dS .
r
� Ł
Czyli

P dx + Qdy + Rdz =
�

= (Ry - Qz)dydz + (Pz - Rx)dzdx + (Qx - Py)dxdy .
Ł
Uwaga
Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa.
Zastosowania całki powierzchniowej zorientowanej
" Objętość obszaru.
Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Ł zorientowanym na zewnątrz
wyraża się wzorami

1
|V | = x dydz + y dzdx + z dxdy =
3
Ł

= z dxdy = x dydz = y dzdx .
Ł Ł Ł
SNM - sem. VI WM - 14
" Ilość cieczy przepływającej przez płat.
Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany Ł (ze strony ujem-
nej do dodatniej) wyraża się wzorem


A = y, z) ć% dS ,
v(x,
Ł
gdzie oznacza prędkość cieczy w punkcie (x, y, z) tego płata.
v
" Parcie cieczy.
Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego Ł, który
jest zanurzony w tej cieczy, wyraża się wzorem



P = C z dydz, z dzdx, z dxdy .
Ł Ł Ł