2008-10-01
2. Wstęp do analizy wektorowej
2.1. Pojęcia podstawowe
Wielkości wektorowe (1)
" Wektorem B(P) w punkcie P trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej
nazywamy uporządkowany zbiór trzech liczb (skalarów, składowych )
Bx(P), By(P), Bz(P) przypisanych punktowi P o współrzędnych xP, yP, zP.
" Iloczynem skalarnym dwóch wektorów, np. B(P) i H(P) w punkcie P
nazywamy wyrażenie
" Współrzędną (wersorem) przestrzeni nazywamy
wektor uk(P) (k=x, y, z) taki że
Własnośd (I):
" Zbiór wektorów uk(P) o własności (I) nazywamy ortogonalną bazą
(układem współrzędnych kartezjaoskich) przestrzeni
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 2
1
2008-10-01
Wielkości wektorowe (2)
" Miarą (modułem, długością) wektora B(P) nazywamy wyrażenie
" Składowe wektora B można obliczyd z zależności
Składowe By, Bz analogicznie
By
" Cosinusami kierunkowymi wektora B
nazywamy wyrażenia
B
uy yB
ux Bx
uz
Składowe nxB, nzB analogicznie
Bz
Własnośd (II):
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 3
Układy współrzędnych
z=z
kartezjaoski (x, y, z) z kartezjaoski (x, y, z)
cylindryczny (r, , z) sferyczny (r, )
P
r
P
uz=uz
uz u
ur
u
y u
y
ux ur uy
uy
ux
x
r x
Przeliczanie współrzędnych
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 4
2
2008-10-01
Obrót kartezjaoskiego układu współrzędnych
(na płaszczyz
nie)
TransformacjÄ™ wektora B y
z układu 0xy do układu 0vw
B
By
otrzymujemy rzutując każdą
ze składowych w osiach x, y
na osie v, w
Kąty spełniają
x
Bx
Operacja obrotu w zapisie macierzowym
WprowadzajÄ…c cosinusy kierunkowe mamy
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 5
Podstawowe operacje matematyczne na wektorach
Niech
A1
Dodawanie
A2 A
" wektor A jest sumą wektorów składowych
B
B2
u2
B1
u1
" suma wektorów A + B jest wektorem C,
którego składowe są sumą składowych dodawanych wektorów ,
" znak składowej zależy od jej położenia względem układu współrzędnych
np. A2 >0, B2 <0
u
Mnożenie przez skalar u2
u
u2
u1 u1
Rozdzielnośd iloczynu skalarnego względem dodawania
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 6
3
2008-10-01
Iloczyn wektorowy (1)
u3
Pojęcie iloczynu wektorowego jest związane
z dodatnim kierunkiem obrotu w prawoskrętnym
kartezjaoskim układzie współrzędnych
u1
u2
-u3
Przez analogiÄ™
u2
Dla wektorów u, v dowolnie usytuowanych
u1
u3
StÄ…d
reguła korkociągu
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 7
Iloczyn wektorowy (2)
Dwa dowolnie usytuowane wektory A, B zawsze możemy rozłożyd na składowe
w wybranym układzie współrzędnych. Niech A3=B3=0
A
A
B
B
u2
Pary wektorów A1, B1
= 0 = 0
oraz A2, B2 są współliniowe
A B
u1
Następstwo wektorów A1, B2 zgodne
Następstwo wektorów A2, B1 przeciwne
StÄ…d
Ogólnie
i przez analogiÄ™
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 8
4
2008-10-01
Pole wektorowe
Niech w każdym punkcie P przestrzeni jest określona wartośd każdej ze składowych
wektora B  co oznacza, że dane są funkcje B1(P), B2(P)
P P
B2
B1
|B| (P)= 0.40
P
B
B1(P)=-0.31 B2(P)=+0.25
u2
u1
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 9
Pochodna i całka wektora
(względem czasu)
Niech w danym punkcie przestrzeni składowe wektora A będą
pewnymi funkcjami czasu A1(t), A2(t)
A(t)
A(t)
A (t)
2
Pochodna wektora A wynosi
u2 A(t+ t)
A (t)
1
Całka wektora A w przedziale (0, t) wynosi
u1
Dla dostatecznie małego przedziału t
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 10
5
2008-10-01
2. Podstawy analizy wektorowej
2.2. Operatory wektorowe i tożsamości całkowe
Pojęcie operatora
Operatorem działającym na wielkości A, B, C ... nazywamy
skrócony zapis pewnych operacji matematycznych wykonywanych
na wielkościach A, B, C ...
Przykłady:
iloczyn skalarny dwóch wektorów ,
pochodna wektora względem czasu dA(t)/dt,
strumieo wektora C przez powierzchniÄ™ S
un  jednostkowy wektor normalny do S
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 12
6
2008-10-01
Gradient funkcji skalarnej (1)
Niech (x,y,z) oznacza funkcję skalarną, ciągłą i różniczkowalną w pewnej objętości V.
Gradientem tej funkcji nazywamy wektor
Operator grad jest rozdzielny względem dodawania
IzoliniÄ… (izopowierzchniÄ… w 3D) funkcji skalarnej
- 0.1
+ 0.1
nazywamy miejsce geometryczne punktów
o tej samej wartości funkcji .
- 0.2
+ 0.2
Różniczką I rzędu (elementarnym przyrostem
- 0.3
+ 0.3
funkcji nazywamy wyrażenie
- 0.4
+ 0.4
v
gdzie x, y, z są składowymi elementarnego
y
wektora przemieszczenia v = [ x, y, z]T
x
StÄ…d
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 13
Gradient funkcji skalarnej (2)
Dla danego pola skalarnego funkcji
wybieramy dostatecznie mały wektor
v
- 0.1
+ 0.1
przemieszczenia v leżący na pewnej
izopowierzchni
grad
- 0.2
+ 0.2
Różniczka (przyrost funkcji)
- 0.3
+ 0.3
- 0.4
jest w takim wypadku równa zeru + 0.4
Możliwe są dwa rozwiązania:
1. const w całym obszarze
Ò! grad (trywialne)
2. grad prostopadły do v
(konwencja: wektor grad jest skierowany w stronÄ™ wzrostu P
un
Pole funkcji skalarnej generuje pole jej gradientu
PochodnÄ… kierunkowÄ… " /"n w punkcie P funkcji P w kierunku n
nazywamy iloczyn skalarny wektorów:
un o jednostkowej długości oraz grad (P)
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 14
7
2008-10-01
Strumieo wektora
Rodzaje powierzchni:
1. zamknięta S(V)  jest powierzchnią zewnętrzną
objętości V
2. otwarta S(l)  jest powierzchniÄ… o krzywej
dS
dS
brzegowej l
Krzywizna powierzchni jest określona w każdym jej punkcie wektorem dS = un dS.
o jednostkowej długości i skierowanym normalnie zewnętrznie (dla S(V))
Strumieniem wektora B przez powierzchnię S nazywamy wyrażenie
Nazwa wyrażenia wynika z przykładowego zastosowania dla B oznaczającego
profil prędkości cieczy przepływającej przez powierzchnię S  wówczas jest
objętością cieczy przepływającej przez powierzchnię S w jednostce czasu.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 15
Dywergencja funkcji wektorowej
Definicja operatora dywergencji
(wzór niezależny od rodzaju układu
współrzędnych)
Operator div B jest rozdzielny względem dodawania
z
Dywergencja w kartezjaoskim układzie współrzędnych
z
Dla dostatecznie małej objętości V = x y z o krawędziach
usytuowanych wzdłuż osi układu współrzędnych można przyjąd
un
x Bx( )
y
un
x
Bx( x)
y
dla pozostałych powierzchni analogicznie
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 16
8
2008-10-01
Twierdzenie Gauss a
Vk
Dowolna objętośd V może byd przedstawiona
jako suma objętości składowych Vk
Na powierzchni granicznej S12 pomiędzy dowolnie
S12
wybranymi elementarnymi objętościami V1, V2
zachodzi
un1
StÄ…d
un2 V2
V1
dla wszystkich granicznych powierzchni
Ostateczna postad twierdzenia Gauss a
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 17
Rotacja funkcji wektorowej
Definicja n-tej składowej operatora rotacji
(wzór niezależny od rodzaju układu
współrzędnych)
Operator rot B jest rozdzielny względem dodawania
z
Rotacja w kartezjaoskim układzie współrzędnych
Dla dostatecznie małej powierzchni Sz = x y
o krawędziach usytuowanych wzdłuż osi układu
współrzędnych można przyjąd, że całka liniowa wzdłuż l( Sz)
wynosi
By
x
y
Bx
y
x
l( Sz )
B
Po podzieleniu przez x y otrzymuje siÄ™
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 18
9
2008-10-01
Twierdzenie Stokes a
Dowolna powierzchnia S może byd przedstawiona
Sk
jako suma powierzchni składowych Sk
z
y
x
Na linii granicznej l12 pomiędzy dowolnie
wybranymi elementarnymi powierzchniami S1, S2 ul2 S2
zachodzi
ul1
StÄ…d
S1
dla wszystkich granicznych linii
Ostateczna postad twierdzenia Stokes a
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 19
Operator nabla
Skrócenie zapisu operacji wektorowych w kartezjaoskim układzie współrzędnych
uzyskuje siÄ™ po wprowadzeniu operatora nabla zapisywanego jako
Nabla jest bezwymiarowym wektorem o jednostkowych składowych
będących operatorami różniczkowania skalarnego.
Operatory gradientu, dywergencji i rotacji zapisad można jako
2
Laplasjanem nazywamy operator równy
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 20
10
2008-10-01
Tożsamości wektorowe
Twierdzenie Helmholtz a
Dowolne pole wektorowe można przedstawid w postaci sumy
gdzie (P), B(P) sÄ… pewnymi funkcjami , odpowiednio skalarnÄ… i wektorowÄ…, w punkcie P.
Tożsamości algebraiczne
Tożsamości generujące
równania różniczkowe
cząstkowe II rzędu
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 21
Przykłady pól fizycznych
+1 V +1 A
-1 V -1 A
y
y
x
x
Potencjał elektryczny skalarny
Potencjał magnetyczny wektorowy
x,y) wokół dwóch elektrod
x,y)=uz A(x,y) wokół dwóch przewodów
wiodÄ…cych prÄ…d
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 22
11
2008-10-01
Pole z
ródłowe i pole bezz
ródłowe
V1
V1
V2
pole grad x,y) pole rot x,y)
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 23
Całkowanie numeryczne pól skalarnych (1)
Całka liniowa funkcji skalarnej
(x)
(xk)
Dana jest skalarna funkcja (x) w przedziale x [x1,xn]
+
Całka oznaczona F tej funkcji jest skalarem równym
x
x
różnicy pól powierzchni pomiędzy funkcją i osią 0x
x1 xk _ xn
nad i pod osiÄ….
Jeżeli funkcja jest dana zbiorem jej wartości
w równoodległych punktach (xk), k=1...n,
to interpolujemy jej przebieg łamaną, a całka F
(lk)
jest równa sumie pól trapezów o wysokości x
(l)
W przypadku, kiedy całkowanie odbywa się po
l
konturze zamkniętym, na którym wyznaczono
lk
n punktów l1,...ln całka F jest równa
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 24
12
2008-10-01
Całkowanie numeryczne pól skalarnych (2)
Całka liniowa iloczynu skalarnego
z
Dana jest pole wektorowe A(x, y, z) oraz kierunek
vn
uv(nx, ny, nz), na którym określono przedział v [v1,vn] v
uv v1
Skalarna funkcja (v) jest równa iloczynowi )#A,uv*#.
y
A(x,y,z)
Poszukiwana jest wartośd całki F
x
)#A,uv*#
(vk)
W pierwszym etapie wyznaczamy wektory A
w punktach vk(xk=nx vk, yk=ny vk, zk=nz vk), k=1...n
v
v
Następnie obliczamy ciąg wartości (vk)
v1 vk vn
i wyznaczamy wartośd całki F
Całkowanie po konturze zamkniętym wykonuje się analogicznie
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 25
Całkowanie numeryczne pól skalarnych (3)
Całka powierzchniowa funkcji skalarnej
Dana jest skalarna funkcja (x,y) w przedziale
x [x1,xm], y [y1,yn]. Całka oznaczona F tej funkcji
(xj,yk)
jest skalarem równym różnicy objętości pomiędzy
funkcją i płaszczyzną 0xy nad i pod płaszczyzną.
y
x
ei
y
x
Jeżeli funkcja jest dana zbiorem jej wartości
w równoodległych punktach (xj,yk), j=1...m, k=1...n,
to całka F jest w przybliżeniu równa sumie objętości prostopadłościanów ei, i=1...mn,
o podstawie x y i wysokości hi równej średniej wysokości krawędzi prostopadłościanu
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 26
13
2008-10-01
Całkowanie numeryczne pól skalarnych (4)
uz
Całka powierzchniowa iloczynu skalarnego (dla pól 2D)
uw
uz
uv
uy
Dana jest płaskie pole wektorowe B(x, y)
S
oraz kierunek uw(nxw , nyw , 0) prostopadły
ux
do powierzchni S (z,v), v [v1,vm], z [z1,zn].
Skalarna funkcja (z,v) jest równa iloczynowi )#B,uw*#.
Poszukiwana jest wartośd całki F z (z,v) nad S
- strumieo wektora B przez powierzchniÄ™ S
uy
uw
P
ux
nyv
Wektor vk określający położenie punktu Qk
uv
na powierzchni S we współrzędnych 0vz
nxv
wynosi vk = Qk _ P.
vk
StÄ…d
Qk
S
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 27
Całkowanie numeryczne pól skalarnych (5)
Transformacja pola wektorowego 2D do nowego układu współrzędnych
Składowe wektora indukcji B w punkcie Q
w układzie współrzędnych 0vw nie zależą od
wektora przesunięcia P początku tego układu xv
względem układu 0xy, a jedynie zależą od
kÄ…ta obrotu mierzonego od pierwszej
xv
współrzędnej układu globalnego (tu x) do
B
pierwszej współrzędnej układu lokalnego (tu v),
+
którego miarą jest cosinus kierunkowy
uy
uw
nxv=cos
xv
nxw
nyw
P
Wyznaczenie składowej Bw(Qk)
ux
nyv
nxv uv
Wyznaczenie strumienia wektora B przez płaszczyznę S
vk
Qk
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 28
14