Elementy analizy wektorowej
Ca ki krzywoliniowe niezorientowane
Zadanie 1.1
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ukach:
Z
dl
a p , , odcinek cz cy punkty 0; ,1 , 2; 0 ;
x2 + y2
,
Z
b xy dl, , cz okr gu x2 + y2 = R2 le ca w I wiartce uk adu;
,
Z
c* x + y dl, , wiartka okr gu x2 + y2 + z2 = R2, y = x le ca w pierwszym oktancie uk adu wsp rz dnych.
,
Zadanie 1.2
Obliczy d ugo ci podanych uk w:
a , : x = a t , sin t ; y = a 1 , cos t , gdzie 0 t 2 oraz a 0;
b , : jeden zw j linii rubowej o skoku h nawini tej na walec o promieniu r;
c , : x = e,t cos t; y = e,t sin t; z = e,t, gdzie 0 t 1.
Zadanie 1.3
Obliczy pole cz ci powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ograniczonej p aszczyznami z = ,x; z =5 + y.
Zadanie 1.4
Obliczy masy podanych uk w o wskazanych g sto ciach liniowych:
a , : x = a cos t; y = b sin t, gdzie 1 t 2 ; x; y = j yj oraz a 0, b 0;
p
t2 t3
b , : x = t; y = ; z = , gdzie 0 t 1; x; y; z = 2y;
2 3
c , : x = r cos t; y = r sin t; z = bt, gdzie 0 t 2 ; x; y; z = x2 + y2 + z2 oraz b 0.
Zadanie 1.5
Okre li wsp rz dne rodk w masy podanych uk w jednorodnych:
a
a linia a cuchowa y = ex=a + e,x=a , gdzie ,a x a;
2
b linia rubowa x = r cos t; y = r sin t; z = bt, gdzie 0 t 2 ;
c brzeg tr jk ta sferycznego x2 + y2 + z2 = 1, gdzie x 0, y 0, z 0;
Zadanie 1.6
Obliczy momenty bezw adno ci podanych uk w jednorodnych wzgl dem wskazanych osi, przyj =1:
0
a brzeg kwadratu o boku a, wzgl dem przek tnej;
b odcinek AB, gdzie A = 1; 2; 3 , B = 3; 5; 4 , wzgl dem osi Oz;
c linia rubowa x = a cos t; y = a cos t; z = bt, gdzie x t 2 :
Zadanie 1.7
Obliczy nat enie pola elektrycznego pochodz cego od adunku Q roz o onego r wnomiernie na brzegu kwadratu o boku
a: Nat enie pola obliczy w punkcie po o onym w odleg o ci d nad jednym z wierzcho k w kwadratu.
Zadanie 1.8
Obliczy si , z jak p okr g o masie M i promieniu R przyci ga mas punktow m po o on w rodku p okr gu.
1
Ca ki krzywoliniowe zorientowane
Zadanie 2.1
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych p l wektorowych po wskazanych ukach zorientowanych zgodnie
ze swoj parametryzacj :
,
~
a F x; y = x2 + y2 ; xy ; , : x = t; y = et, gdzie t 2 0; 1 ;
~
b F x; y; z = yz; xz; xy , : x = cos t; y = sin t; z = t, gdzie t 2 0; 2 ;
~
c F x; y; z = y; z; x ; , odcinek AB, gdzie A = 1; ,1; 2 , B = 0; 2; 3 :
Zadanie 2.2
Obliczy ca ki krzywoliniowe z podanych p l wektorowych po ukach okre lonych wskazanymi r wnaniami orientacja
uku jest zgodna ze wzrostem parametru x :
~
a F x; y = x , y; x + y , , : y = sin x, gdzie 0 x ;
~
b F x; y = ln x; ln y , , : y = x2, gdzie 1 x e:
Zadanie 2.3
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ukach zamkni tych:
Z
a xy dx + x2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach A = 0; 0 , B = 1; 2 , C = ,1; 4 ; zorientowany dodatnio;
,
Z
b x2y dx + xy y +1 dy, , okr g x2 + y2 +2y =0; zorientowany dodatnio;
,
Z
c 3x +5z dx + x +4y dy + 6x , z dz, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach
,
A = 2; 0; 0 , B = 0; 2; 0 , C = 0; 0; 2 ; obiegany w kolejno ci ABCA:
Zadanie 2.4
~
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych p l wektorowych F po dowolnym uku o pocz tku
A i ko cu B:
~
a F x; y = x; y , A = 1; 1 , B = ,1; ,2 ;
~
b F x; y = sin x cos y; cos x sin y , A = ; , B = ; ;
2 2
,
~
c F x; y; z = x2 , 2yz; y2 , 2xz; z2 , 2xy , A = 0; 0; 0 , B = 1; 1; 1 :
Zadanie 2.5
Sprawdzi , e podane ca ki krzywoliniowe nie zale od kszta tu krzywej ca kowania i nast pnie obliczy je:
1;
2
Z
a ex cos y dx , ex sin y dy;
0;0
1;2
Z
y 1
b dx , dy; wzd u uku nie przechodz cego przez o Oy;
x2 x
2;1
2;3;4
Z
, , ,
c x2 , 2yz dx + y2 , 2xz dy + z2 , 2xy dz:
1;1;1
Zadanie 2.6
Wykorzystuj c twierdzenie Greena obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi wynik obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
2
Z
, ,
a 1 , x2 y dx + x 1 + y2 dy, , okr g x2 + y2 = R2; zorientowany dodatnio;
,
Z
, ,
b x + y2 dx + x2 + y2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach A = 1; 1 , B = 3; 2 , C = 2; 5 ; zorientowany
,
dodatnio;
Z
c ex 1 , cos y dx , ex y , sin y dy, , brzeg obszaru 0 x , 0 y sin x; zorientowany dodatnio.
,
Zadanie 2.7
Za pomoc ca ki krzywoliniowej zorientowanej obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi ukami zamkni tymi:
a elipsa , : x = a cos t; y = b sin t, gdzie t 2 0; 2 ;
b kardioida , : x = 2 cos t , cos 2t; y = 2 sin t , sin 2t, gdzie t 2 0; 2 :
Zadanie 2.8
Obliczy prac w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ukach zorientowanych:
,
~
a F x; y = 2xy; x2 , dowolny uk , cz cy punkty A = 1; 0 ; B = 0; 3 ;
~
b F x; y; z = xy; y + z; z ; wzd u uku , : x = cos t; y = sin t; z = t od punktu A = 1; 0; 0 do punktu B = ,1; 0; ;
~
c F x; y; z = ,x; ,y; ,z wzd u dowolnego uku , cz cego punkt A = x1; y1; z1 nale cy do sfery x2 + y2 + z2 = r2
z punktem B = x2; y2; z2 nale cym do sfery x2 + y2 + z2 = R2:
Ca ki powierzchniowe niezorientowane
Zadanie 3.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych p atach:
ZZ,
a x2 + y2 dS, sfera x2 + y2 + z2 = R2;
ZZ
b x + y + z dS, cz p aszczyzny x + y + z = 1 po o ona w pierwszym oktancie uk adu wsp rz dnych;
ZZp
p
c x2 + y2 dS, powierzchnia boczna sto ka z = x2 + y2 , z 3:
Zadanie 3.2
Obliczy pola powierzchni podanych p at w:
a | cz p aszczyzny 2x +3y + z , 6 = 0 wyci ta przez walec x2 + y2 =4;
b | cz paraboloidy z = x2 + y2 odci ta przez p aszczyzn z = h, gdzie h 0;
c | powierzchnia boczna sto ka ci tego o promieniach podstaw r; R i wysoko ci h, gdzie r R;
d* | cz powierzchni Ziemi zawarta mi dzy po udnikami 45 i 60 W oraz r wnole nikami 60 i 80 N. Przyj , e
promie Ziemi jest r wny 6370 km.
Zadanie 3.3
Obliczy masy podanych p at w o wskazanych g sto ciach powierzchniowych:
a powierzchnia sze cianu 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1; x; y; z = xyz;
b powierzchnia p sfery z = R2 , x2 , y2; x; y; z = z;
pp p
c powierzchnia st ka z = x2 + y2 ; z 1; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 3.4
Znale po o enia rodk w masy podanych jednorodnych p at w materialnych:
3
a x + y + z =4; x2 + y2 1;
p
b z =2 x2 + y2; 2 z 6;
b z = x2 + y2; x 0; z 1;
d sze cienne pude ko o kraw dzi a otwarte od g ry .
Zadanie 3.5
Obliczy momenty bezw adno ci podanych jednorodnych p at w materialnych wzgl dem wskazanych osi:
a sfera o promieniu R i masie M , wzgl dem rednicy;
b paraboloida z = x2 + y2; z h; o g sto ci powierzchniowej masy = , wzgl dem osi Oz;
0
c powierzchnia o mio cianu j xj + j yj + j zj = a o masie M; wzgl dem osi Oz;
d powierzchnia boczna walca x2 + y2 = R2; ,H z H , o masie M; wzgl dem osi Ox:
Zadanie 3.6
Znale si , z jak powierzchnia boczna sto ka o promieniu podstawy r i wysoko ci h; na adowana r wnomiernie adun-
kiem Q; przyci ga adunek punktowy q umieszczony w rodku jej podstawy.
Zadanie 3.7
Obliczy nat enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej p sfery o masie M i promieniu R; w
jej rodku.
Ca ki powierzchniowe zorientowane i elementy analizy wektorowej
Zadanie 4.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
a xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , zewn trzna strona powierzchni czworo cianu ograniczonego p aszczyznami

x =0, y =0, z =0, x + y + z =1;
ZZ
b xdydz + yz dzdx + z dxdy , zewn trzna strona powierzchni sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;

ZZ
p
c x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ; g rna strona powierzchni sto ka z = x2 + y2 , z 1;
ZZ
d z2 dxdy , zewn trzna strona sfery x2 + y2 + z2 =4:

Zadanie 4.2
Niech funkcje f; g maj wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze V R3: Uzasadni wzory:
f g grad f , f grad g
a grad = ;
g g2
0
b grad h f = h f grad f, gdzie h jest funkcj r niczkowaln na pewnym przedziale.
Zadanie 4.3
Uzasadni podane wzory:
~
a rot grad U = O , gdzie U jest funkcj maj c ci g e wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du na obszarze
V R3;
b rot f~ = grad f ~ gdzie f jest funkcj maj c wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze
c c,
V R3; a ~ jest ustalonym wektorem.
c
4
 Zadanie 4.4
Uzasadni podane wzory:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
a div F G = G rot F , F rot G , gdzie pola wektorowe F i G s r niczkowalne na obszarze V R3;
~ ~
b div rot F = 0, gdzie pole wektorowe F ma sk adowe dwukrotnie r niczkowalne w spos b ci g y na obszarze
V R3:
Zadanie 4.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczy podane ca ki powierzchniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki
obliczaj c te ca ki bezpo rednio:
ZZ
a 2xy dydz , y2 dzdx +2z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru

V : x2 + y2 + z2 9, x 0, y 0, z 0;
ZZ
b x + z dydz + x + y dzdx + y + z dxdy , zewn trzna strona

brzegu obszaru V : x2 + y2 R2, x + y + z R, z 0;
ZZ
c x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , wewn trzna strona powierzchni walca V : x2 + y2 R2; 0 z H:

Zadanie 4.6
Korzystaj c z twierdzenia Stokesa obliczy podane ca ki krzywoliniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
Z
a x2y3 dx + dy + z dz, , okr g x2 + y2 = R2, z =0; zorientowany dodatnio;
,
Z
b x dx + x + y dy + x + y + z dz, , : x = sin t; y = cos t; z = sin t + cos t, gdzie t 2 0; 2 ;
,
Z
c y + z dx + z + x dy + x + y dz, , okr g x2 + y2 + z2 = R2, x = y:
,
Zadanie 4.7
Obliczy strumienie podanych p l wektorowych przez wskazane p aty:
x 2z
~
a F x; y; z = ; z2 , x2; , powierzchnia ca kowita walca z = x2 + y2 R2, 0 z H ;
3 3
!
,x ,y ,z
~
b F x; y; z = p ; p ;p ,
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
powierzchnia zewn trzna sfery x2 + y2 + z2 = R2;
~
c F x; y; z = 5x + z; x , 3y; 4y , 2z , g rna cz p aszczyzny x + y + z = 2 odci ta p aszczyznami uk adu
wsp rz dnych.
Zadanie* 4.8
Wyprowadzi prawo Archimedesa.
Zadanie 4.9
Obliczy cyrkulacje podanych p l wektorowych wzd u wskazanych uk w zamkni tych:
,
2
~
a F x; y; z = y2; x + y ; z ; , amana zamkni ta cz c punkty A = 1; 0; 0 , B = 0; 1; 0 , C = 0; 0; 1 ;
2
~
b F x; y; z = y; 1 , x; ,z ; , uk zamkni ty otrzymany w wyniku przeci cia powierzchni walca x , 1 + y2 =1 z
2
p sfer x , 2 + y2 + z2 =4, z 0:
5