Elementy analizy funkcjonalnej 2
Spis treści
Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Przestrzenie liniowe unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Przestrzenie unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Ortogonalność w przestrzeni unitarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Rozdział 2. Ciągi i szeregi ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Ortogonalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Szereg trygonometryczny Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Rozdział 3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dodatek A. Zaliczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A.2. Znalez
ć ekstremalę funkcjonału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Dodatek B. Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Rozdział 1
Pojęcia wstępne
1.1. Przestrzenie metryczne
Niech X  zbiór dowolny
Definicja 1.1. Metryką nazywamy funkcję d : X � X R+ *" {0} spełniającą warunki
m1) d(x, y) = 0 �!�! x = y dla każdego x, y " X
m2) d(x, y) = d(y, x) dla każdego x, y " X
m3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) dla każdego x, y, z " X (Aksjomat trójkąta)
d(x, y)  uogólniona odległość x od y
Definicja 1.2. Przestrzenią metryczną nazywamy strukturę (X, d), gdzie X jest niepustym zbiorem, a d jest
metryką określoną na zbiorze X
Przykłady przestrzeni metrycznych
1) (R, | |)
d(x, y) = |x - y|

m1) d(x, y) = 0 �! |x - y| = 0 �! x - y = 0 �! x = y
x,y"R

m2) d(x, y) = |x - y| = |-1| � |x - y| = |(-1)(x - y)| = |y - x| = d(y, x)
x,y"R

m3) d(x, y) = |x - z| = |(x - y) + (y - z)| |x - y| + |y - z| = d(x, y) + d(y, z)
x,y,z"R
|a + b| |a| + |b|

y
y2
x
x2

x1 y1
Rys. 1.1: Punkty w przestrzeni R2
2) (R2, d) x = (x1, x2) y = (y1, y2)

d(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2
metryka pitagorejska
3) (R2, dm)
d(x, y) = |x1 - y1| + |x2 - y2|
metryka manhattańska
1. Pojęcia wstępne 2
4) (R2, dmax)
dmax(x, y) = max{|x1 - y1| , |x2 - y2|}
metryka maximum
5) (Rn, d) x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn)


n


d(x, y) = (xi - yi)2
i=1
uogólniona metryka pitagorejska

n n

m1) d(x, y) = 0 �! (xi - yi)2 = 0 �! (xi - yi)2 = 0 �! (xi - yi)2 = 0 �! xi - yi = 0 �!
i=1 i=1 i i

�! xi = yi �! x = y
i

n n n n

m2) d(x, y) = (xi - yi)2 = [(-1)(yi - xi)]2 = (-1)2(yi - xi)2 == (yi - xi)2 = d(y, x)
i=1 i=1 i=1
i=1
m3) Ponieważ d(x, y) 0 to wystarczy pokazać, że
x,y
[ d(x, y) + d(y, z)]2 [ d(x, z)]2
n n n

[ d(x, z)]2 = (xi - zi)2 = [(xi - yi) + (yi - zi)]2 = [(xi - yi)2 + 2(xi - yi)(yi - zi) +
i=1 i=1 i=1
n n
n

+ (yi - zi)2] = (xi - yi)2 +2 (xi - yi)(yi - zi) + (yi - zi)2
i=1
i=1 i=1

[ d(x,y)]2 [ d(y,z)]2
2
n n n

2
Z nierówności Schwarza Cauchy ego, która mówi, że: uivi u2 vi
i
i=1 i=1 i=1

n n n

2
a w szczególności uivi u2 vi mamy:
i
i=1 i=1 i=1


n n n



(xi - yi)(yi - zi) (xi - yi)2 (yi - zi)2
i=1 i=1 i=1
Zatem:
[ d(x, y)]2 [ d(x, y)]2 + 2[ d(x, y) d(y, z)] + [ d(y, z)]2 = [ d(x, y) + d(y, z)]2

6) {0, 1}n = (b1, . . . , bn) : bi " {0, 1}


{i
d(x, y) = : xi = yi}

x,y"X
x=(x1,...,xn) xi"{0,1}
y=(y1,...,yn) yi"{0,1}
=liczba pozycji na których x i y się różnią=liczba jedynek (waga) w ciągu x ą y
odległość Haminga
1.2. Przestrzenie liniowe
Definicja 1.3. Przestrzenią liniową (wektorową) nad zbiorem K (K = R lub K = C) nazywamy dowolny zbiór
X, w którym określone są działania:

(x, y) x + y " X
x,y"X

(, x)  � x " X
"K x,y"X
spełniające następujące aksjomaty przestrzeni liniowej:
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 3

A1) x + y = y + x
x,y"X

A2) (x + y) + z = x + (y + z)
x,y,z"X


A3) x + 0 = x
x"X
0"X

A4) x + (-x) = 0
x"X -x"X

A5) (x + y) = x + y
"K x,y"X

A6) ( + �)x = x + �x
,�"K x"X

A7) (�x) = (�)x
,�"K x"X

A8) 1 � x = x
x"X
Przykłady:
1) X = R nad K = R
2) X = C nad K = R
2 ) X = R2 nad K = R a" 2)
3) X = Rn nad K = R
x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn)  " K
def
=
x + y (x1 + y1, . . . xn + yn)
def
=
x (x1, . . . , xn)
4) X  zbiór wszystkich macierzy wymiaru m � n nad K = R
A = [aij]m�n B = [bij]m�n

def
=
A + B [aij + bij]
A+B"X

A = [aij]
"R A"X
5) X = C( a, b )  zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale a, b

def
=
(f + g)(t) f(t) + g(t)
f,g"X t" a,b

def
=
(f)(t) f(t)
"R f"X
1.3. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej
Przykłady

v u
1) X = R " R
u, v
0

|| �! = c
u v u v
c"R
Dowolne dwa wektory " R są liniowo zależne
u, v
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 4
2) X " R2


u





�! = c  są liniowo zależne
u v u v u, v

c"R

v



&" �! <" = c  są liniowo niezależne
u v u v u, v
c"R
w są liniowo zależne ponieważ:
u, v,

w = a + b
v
u
a,b"R
kombinacja liniowa u i
v
Każda baza w R2 (minimalny układ liniowo niezależnych wektorów) składa się z 2 wektorów. Z tego wynika,
że wymiar tej przestrzeni wynosi 2.
3) X = R3
Jeśli w nie leżą na jednej płaszczyz
nie to dwa z nich leżą na tej samej płaszczyz
nie ale trzeci nie, więc:
u, v,

<" w = a + b
u v
a,b"R
czyli w są liniowo niezależne.
u, v,
Każda baza w R3 składa się z 3 wektorów. Czyli wymiar tej przestrzeni wynosi 3.
Definicja 1.4. Mówimy, że punkty x1, . . . , xn przestrzeni liniowej są liniowo niezależne jeżeli


ą1x1 + ą2x2 + . . . + ąnxn = 0 �! ą1 = ą2 = . . . = ąn = 0 (1.3.1)
ą1
,...,ąn
"K
nie istnieją stałe ą1, . . . , ąn, z których conajmniej jedna jest rożna od 0, takie, że

ą1x1 + ą2x2 + . . . + ąnxn = 0
nie jest możliwe zapisanie któregokolwiek z punktów jako kombinacji liniowej pozostałych
Definicja 1.5. Kombinacją liniową punktów x1, . . . , xk nazywamy punkt
ą1x1 + ą2x2 + . . . + ąkxk
gdzie ą1, . . . , ąk " K
Jeżeli punkty nie są liniowo niezależne to są liniowo zależne
Definicja 1.6. Maksymalną liczbę liniowo niezależnych punktów przestrzeni liniowej X nazywamy jej wymia-
rem i oznaczamy dim X
Definicja 1.7. Jeżeli dim X = k to każdy układ k liniowo niezależnych punktów nazywamy bazą tej przestrzeni
Przykłady:
i) W R bazę tworzy każdy punkt x " R
ii) W R2 bazę tworzą dowolne dwa wektory nie leżące na jednej prostej
iii) W R3 bazę tworzą dowolne trzy wektory, które nie leżą na jednej płaszczyz
nie
Uwaga: Jeżeli x1, . . . , xn tworzą bazę przestrzeni X to dla każdego y " X punkty x1, . . . , xn, y są liniowo zależne
a zatem y daje się zapisać jako kombinacja liniowa punktów bazy, tzn.:

y = ą1x1 + ą2x2 + . . . + ąnxn
ą1
,...,ąn
"K
Definicja 1.8. Zbiór Y �" X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni X jeśli:

ą1y1 + ą2y2 " Y (1.3.2)
y1,y2"Y
ą1
,ą2
"K
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 5
1.4. Przestrzenie liniowe unormowane
Definicja 1.9. Normą w przestrzeni liniowej X nad zbiorem skalarów K nazywamy funkcję:
X x ||x|| " R+ *" {0} (1.4.1)
taką, że:

n1) (||x|| = 0) �!�! x = 0
x"X

n2) ||x|| = || � ||x|| (jednorodność)
"K x"X

n3) ||x + y|| ||x|| + ||y|| (aksjomat trójkąta)
x,y"X
Definicja 1.10. Przestrzeń liniową z określoną na tej przestrzeni normą nazywamy przestrzenią unormo-
waną
Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną.
Definicja 1.11. Przyjmuje się następującą definicję metryki wyznaczonej przez normę:
def
=
d(x, y) ||x - y|| = ||x + (-y)|| (1.4.2)
Tak zdefiniowana funkcja spełnia aksjomaty metryki:
m1) d(x, y) = 0 �! x = y

n1
||x - y|| = 0 �!�! x - y = 0 �! x + (-y) = 0 �! -x = -y �! x = y
m2) d(x, y) = d(y, x)
n2
=
||x - y|| = ||(-1)(y - x)|| |-1| � ||y - x|| = ||y - x||
m3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
n3
||x - z|| = ||x + (y - y) - z|| = ||(x - y) + (y - z)|| ||x - y|| + ||y - z||
Przykłady

1) X = R ||x|| = |x|
x"R

n1) ||x|| = 0 �! |x| = 0 �! x = 0
x"R

n2) ||x|| = |x| = || |x| = || ||x||
"R x"R

n3) ||x + y|| = |x + y| |x| + |y| = ||x|| + ||y||
x,y"R
2) X = Rn

n

def
=
X x = (x1, . . . , xn) ||x|| x2
i
i=1
metryka wyznaczona przez tę normę:

n

d(x, y) = ||x - y|| = (xi - yi)2
i=1
3) X = C( a, b )  przestrzeń liniowa funkcji określonych na a, b

def
=
||f|| sup (|f|) metryka wyznaczona przez tę normę:
x" a,b
f"C( a,b )

d(f, g) = ||f - g|| = sup (|f(x) - g(x)|)
x" a,b
f,g"C( a,b )
nazywa się metryką Czybyszewa
" przykład
X = C( 0, 1 ), f(x) = x, g(x) = x2

1 1 1
x
d(f, g) = sup |f(x) - g(x)| = sup - x2 = sup (x - x2) = max(x - x2) = - ( )2 =
2 2 4
x" 0,1 x" 0,1 x" 0,1
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 6
1.5. Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej

Definicja 1.12. Ciąg liczbowy (an) jest zbieżny do liczby a " R �! |an - a| < �
�>0 M n>M
piszemy lim an = a
n"
Definicja 1.13. Ciąg punktów (xn)n"N przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeśli istnieje taki punkt
x " X, że
lim d(xn, x) = 0 (1.5.1)
n"
i piszemy
lim xn = x
n"
Definicja 1.14. Zbieżność ciągu (xn) punktów przestrzeni liniowej unormowanej X do punktu x " X w sensie
metryki wyznaczonej przez normę nazywamy zbieżnością według normy
lim xn = x według normy �!�! lim ||xn - x|| = 0 (1.5.2)
n" n"
Definicja 1.15. Mówimy, że ciąg (xn) przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy ego jeżeli

d(xn, xm) < � (1.5.3)
�>0 M n,m>M
Twierdzenie 1.16. Ciąg, który spełnia warunek Cauchy ego nazywamy ciągiem podstawowym
Twierdzenie 1.17. Każdy ciąg zbieżny punktów przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy ego
-
zbieżny podstawowy
�!
-
Dowód:
Niech lim xn = x
n"
Wtedy

d(xn, x) < �
�>0 M n>M
1
i niech � = � czyli
2

1
d(xn, xm) < �
2
�>0 M n,m>M
Zatem:

d(xn, xm) d(xn, x) + d(x, xm)

n,m>M
1 1
< � + � =�
2 2
skąd

d(xn, xm) < �
� >0 M n,m>M
więc ciąg (xn) jest podstawowy
Definicja 1.18. Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeżeli każdy ciąg podstawowy punktów X jest zbieżny
w tej przestrzeni.
Przykłady:
przestrzenie zupełne: Rn, a, b
przestrzenie które nie są zupełne: (a, b), a, b), (a, b , a, b \{c} gdzie a, b, c " R
Definicja 1.19. Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną
Przykłady

n

1. R2 ||x|| = x2
i
i=1
2. C( a, b ) ||f|| = sup |f|
x" a,b
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 7
1.6. Przestrzenie unitarne
Niech X  przestrzeń linowa.
Definicja 1.20. X nazywamy przestrzenią unitarną jeśli dla każdej pary uporządkowanej (x, y) punktów tej
przestrzeni przyporządkowana jest liczba (x|y) taka, że:
u1) (x|x) > 0 �!�! x = 0 dla każdego x " X oraz (x|x) = 0 �!�! x = 0


u2) (ą1x1 + ą2x2|y) = ą1(x1|y) + ą2(x2|y)
ą1
,ą2
"R x1,x2,y"X

u3) (x|y) = (y|x)
x,y"X
(x|y) nazywamy uogólnionym iloczynem skalarnym wektorów x i y
Definicja 1.21. Normę w przestrzeni unitarnej X określamy wzorem:

def
||x|| = (x|x) (1.6.1)
x"X
i nazywamy normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny
Sprawdzenie spełnialności aksjomatów normy przez normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny
n1) ||x|| = 0 �!�! x = 0


u1
(x|x) = 0 �!�! (x|x) = 0

n2) ||x|| = || � ||x||
x"X "R

"
u2
(x|x) =  � (x|x) = 2(x|x) = 2 (x|x) = || � ||x||

n3) ||x + y|| ||x|| + ||y||
x,y"X

Wykorzystamy nierówność Schwarz a |(x|y)| ||x|| � ||y||, mianowicie:
x,y"X
2
u2
||x + y|| = (x + y|x + y) = (x|x) + 2(x|y) + (y|y) = ||x||2 + 2(x|y) + ||y||2
2
nier.Schw.
||x||2 + 2 ||x|| � ||y|| + ||y||2 = ||x|| + ||y||
Uwaga: Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną
Definicja 1.22. Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną, która jest przestrzenią zupełną w sensie
normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny
Przykłady
1) X = Rn jest przestrzenią Hilberta
x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn)
n

(x|y) = xi � yi
i=1

n


||x|| = |x| = x2 = (x|x)
i
i=1
2) X = C( a, b ) nie jest przestrzenią Hilberta (choć jest przestrzenią Banacha tyle, że nie w sensie normy
wyznaczonej przez iloczyn skalarny)
b

(f|g) = f(t)g(t) dt
f,g"C( a,b )
a
Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny

b





||f|| = (f|f) = f2(t) dt
f,g"C( a,b )
a

norma kwadratowa
Grzegorz Jastrzębski
1. Pojęcia wstępne 8

u1) (f|f) > 0 jeśli f a" 0
f,g"C( a,b )
jeżeli f a" 0 to istnieje x " a, b takie, że f(x) = 0 również f2(x) = 0 stąd

b b
(f|f) = f(t)f(t) dt = f2(t) dt > 0
a a

u2) (ą1f1 + ą2f2|g) = ą1(f1|g) + ą2(f2|g)
ą1
,ą2
"R f,g"C( a,b )
b b b
(ą1f1 + ą2f2|g) = [(ą1f1(t) + ą2f2(t)]g(t) dt = ą1f1(t)g(t) dt + ą2f2(t)g(t) dt =
a a a
b b
= ą1 f1(t)g(t) dt + ą2 f2(t)g(t) dt = ą1(f1|g) + ą2(f2|g)
a a
b b

u3) (f|g) = f(t)g(t) dt = g(t)f(t) dt = (g|f)
f,g"C( a,b ) a a
Uwaga: Można udowodnić, ze dowolną przestrzeń unitarną da się rozszerzyć (przez dodanie nowych elementów)
do przestrzeni Hilberta (czyli zupełnej ze względu na normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny)
1.7. Ortogonalność w przestrzeni unitarnej
Niech X  dowolna przestrzeń unitarna
Definicja 1.23. Punkty x, y " X nazywamy ortogonalnymi �!�! (x|y) = 0
Definicja 1.24. Punkt y " nazywamy ortogonalnymi do podprzestrzeni Xo przestrzeni X jeśli jest ortogonalny
X

do każdego punktu x " X (x|y) = 0
x"X
Definicja 1.25. Punkt xo w X nazywa się rzutem ortogonalnym punktu x " X na podprzestrzeń Xo prze-
strzeni X jeśli xo " Xo oraz różnica x - xo jest ortogonalna do Xo
Twierdzenie 1.26. Każdy punkt x " X ma co najwyżej jeden rzut ortogonalny na daną podprzestrzeń Xo
przestrzeni X
Dowód:
Przypuśćmy, że x , x są rzutami ortogonalnymi pewnego punktu x na podprzestrzeń Xo wtedy z definicji 1.25:
o o

- x |y) = 0
(x
o
x , x " Xo oraz
o o
(x
y"Xo - x |y) = 0
o
u2
Odejmując stronami: L = (x - x |y) - (x - x |y) =(x - x - (x - x )|y) = (x - x )
o o o o o o
czyli

(x - x |y) = 0 - 0 =�! (x - x |y) = 0 (")
o o o
y"Xo
W szczególności, wstawiając y = x - x do (") otrzymamy, że:
o o
n1
(x - x |x - x ) = 0 �! (||x - x ||)2 = 0 �! ||x - x || = 0 �!�! x - x = 0 �! x = x
o o o o o o o o o o o o
Zatem nie istnieją dwa różne rzuty ortogonalne x na Xo
1.8. Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej
Niech X  przestrzeń unitarna o wymiarze k, skończenie wymiarowa, tzn. dim X = k " N (czyli każda baza
składa się z k wektorów)
{e1, e2, e3} jest bazą gdyż:
e2(0, 1, 0)
1) jest układem wektorów liniowo niezależnych (bo żadnego z tych wek-

torów nie da się wyrazić jako kombinację liniową pozostałych)

e3(0, 0, 1)
2) jest maksymalnym takim układem liniowo niezależnych wektorów





(ponieważ dowolny wektor = (x, y, z) " R3 da się zapisać jako
u
e1(1, 0, 0)


kombinacja liniowa e1, e2, e3 w następujący sposób:
(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe1 + ye2 + ze3
Grzegorz Jastrzębski
Definicja 1.27. Bazą ortonormalną przestrzeni X nazywamy każdy układ k wektorów tej przestrzeni (a1 . . . ak)
taki, że:

1 i = j
(ai|aj) = (1.8.1)
0 i = j

Twierdzenie 1.28. Jeżeli (a1 . . . ak) jest bazą ortonormalną przestrzeni unitarnej X, to dla każdego x " X
k

x = (x|ai) � ai (1.8.2)
i=1
(każdy wektor przestrzeni X da się zapisać jako kombinacja liniowa wektorów bazy ortonormalnej)
Dowód:
k

Niech x = iai i " R
i=1


k k k

wtedy: (x|aj) = iai aj = (iai|aj) = i (ai|aj) =

i=1 i=1 i=1
dla ustalonego j = 1 . . . k
= 1(a1|aj) + . . . + j-1(aj-1|aj) + j(aj|aj) + j+1(aj+1|aj) + . . . + k(ak|aj) =
z definicji 1.27
= j � 1 = j czyli j = (x|aj) dla j = 1 . . . k
k k

zatem x = iai = (x|ai)ai
i=1 i=1
Twierdzenie 1.29. Jeżeli baza jest ortonormalna to jest układem wektorów niezależnych
Dowód:
k

Wez
my x = 0 wtedy jeżeli 0 = iai to i = (0|ai) = 0(�|ai) = 0
i=1
Twierdzenie 1.30. Każda niepusta przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa ma bazę
ortonormalną
Każdą przestrzeń unitarną k-wymiarową można uważać za izomorficzną z przestrzenią Rk.
Definicja 1.31. Każdą przestrzeń unitarną skończenie wymiarową nazywa się przestrzenią
euklidesową
Rozdział 2
Ciągi i szeregi ortogonalne
2.1. Ortogonalność
Definicja 2.1. Ciąg funkcyjny (fn)" = (f0, . . . , fn, . . .) gdzie f0, . . . , fn, . . . są funkcjami.
n=0
"

Definicja 2.2. Szereg funkcyjny fn gdzie (f0, . . . , fn, . . .) jest ciągiem funkcyjnym.
n=0
Niech X  przestrzeń linowa złożona z funkcji rzeczywistych określonych na a, b
X: {f|f : Df R '" a, b ą" Df}
Definicja 2.3. Dla dowolnych dwóch funkcji f, g " X liczbę
b
(f|g) = f(x)g(x) dx (2.1.1)
a
nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g w przedziale a, b .
Definicja 2.4. Normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny funkcji f(x) i g(x) na a, b zdefiniujemy następująco:

b


def

||f|| = (f|f) = f2(x) dx (2.1.2)
a
nazywamy normą kwadratową.

Definicja 2.5. Ciąg funkcyjny �n(x) = �0(x), �1(x), . . . , �n(x), . . . nazywamy ortogonalnym w prze-
dziale a, b jeżeli:

1) (�m|�n) = 0
m,n"N
m =n

2) ||�n|| > 0 �!�! �n a" 0 �! �n(x) = 0

n"N x" a,b
" "
Definicja 2.6. Jeżeli �n(x) jest ortogonalny w przedziale a, b oraz łn jest dowolnym ciągiem
n=0 n=0
liczbowym, to szereg:
"

łn � �n(x) (2.1.3)
n=0
nazywamy szeregiem ortogonalnym w przedziale a, b
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą na a, b
"

Definicja 2.7. Szereg ortogonalny cn�n(x) gdzie
n=0

f(x)|�n(x)
cn = (2.1.4)
||�n(x)||2

nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego �n(x) w przedziale a, b
"

Uwaga: Szereg cn�n(x) jest zbieżny jednostajnie do f(x) na przedziale a, b
n=0
2. Ciągi i szeregi ortogonalne 11
2.2. Szereg trygonometryczny Fouriera
Definicja 2.8. Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale a, b warunku Dirichleta jeżeli:
1ć% f(x) jest przedziałami monotoniczna na a, b przy czym liczba przedziałów monotoniczności jest skończona
2ć% f(x) jest ciągła na a, b z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju1
przy czym w każdym punkcie nieciągłości wartość funkcji

1
f(x0) = lim + lim (2.2.1)
2
xx+ xx-
0 0
3ć% f(x) ma skończone granice lim , lim oraz
xa+ xb+


d
{

1

f(a) = f(b) = lim f(x) + lim f(x)
2 xa+ xb-
d
}


a
b
Twierdzenie 2.9 (Dirichleta). Jeżeli f(x) spełnia warunki Dirichleta w przedziale - , to jest rozwijalna
w szereg trygonometryczny Fouriera dla każdego x " - , , tzn.:
"

a0 nĄx nĄx
f(x) = + an cos + bn sin (2.2.2)
2
n=1
gdzie


1 nĄx
an = f(x) cos dx (2.2.3a)

-


1 nĄx
bn = f(x) sin dx (2.2.3b)

-

1
a0 = f(x) dx (2.2.3c)

-
2.2.1. Właściwości szeregów trygonometrycznych Fouriera
1. Jeżeli f(x) jest parzysta na , , to

nĄx
2 2
a0 = f(x) dx an = f(x) cos dx bn = 0 (2.2.4)

0 0


a0 "
nĄx
Wtedy f(x) = + an cos funkcja parzysta rozwija się w cosinusowy szereg Fouriera.

2
n=1
2. Jeżeli f(x) jest nieparzysta na , , to


2 nĄx
an = 0 bn = f(x) sin dx (2.2.5)

0
1
Istnieją granice funkcji w tych punktach ale nie są równe jej wartości
Grzegorz Jastrzębski
"


nĄx
Wtedy f(x) = bn sin funkcja nieparzysta rozwija się w sinusowy szereg Fouriera.

n=1
3. Funkcję f(x), o ile spełnia warunki Dirichleta (Def. 2.8), można przedstawić w przedziale 0, za pomocą
szeregu Fouriera sinusowego lub cosinusowego przedłużając ją na przedział - , , do funkcji parzystej albo
nieparzystej. Mamy wtedy
" "


nĄx a0 nĄx
f(x) = bn sin albo f(x) = + an cos (2.2.6)
2
n=1 n=1
4. jeżeli f(x) ma okres 2 to rozwinięcie w szereg trygonometryczny Fouriera jest prawdziwe dla każdego x.
2.3. Przykład
ńł

�ł2x dla - Ą < x < 0
�ł
2x dla - Ą < x 0
f(x) = 0 dla x = 0 jest równoważne f(x) =
�ł
6x dla 0 < x < Ą
ół
6x dla 0 < x < Ą
Funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta (Def. 2.8). Nie spełnia trzeciego ale to nic, bo przedział
jest otwarty i nie interesują nas wartości na granicach.
0 Ą
Ą
1 x2 3x2

a0 = f(x) dx = + = -Ą + 3Ą = 2Ą (2.3.1)

Ą Ą Ą
-Ą 0
-Ą
Ą 0 Ą
1 1 1
an = f(x) cos(nx) dx = 2x cos(nx) dx + 6x cos(nx) dx =
Ą Ą Ą
-Ą -Ą 0
0 Ą
2 x 1 6 x 1 4 4
= sin(nx) + cos(nx) + sin(nx) + cos(nx) = - + cos(nĄ) =
Ą n n2 Ą n n2 Ąn2 Ąn2
-Ą 0
4
= [(-1)n - 1] (2.3.2)
Ąn2
Ą 0 Ą
1 1 1
bn = f(x) sin(nx) dx = 2x sin(nx) dx + 6x sin(nx) dx =
Ą Ą Ą
-Ą -Ą 0
0 Ą
2 x 1 6 x 1 8 8
= - cos(nx) + sin(nx) + - cos(nx) + sin(nx) = - cos(nĄ) = (-1)n+1 (2.3.3)
Ą n n2 Ą n n2 n n
-Ą 0

"


1
f(x) = Ą + 4 1 + (-1)n+1 cos(nx) + 8nĄ(-1)n+1 sin(nx) (2.3.4)
Ąn2
n=1
Rozdział 3
Wyznaczanie ekstremali funkcjonału
3.1. Pojęcia wstępne
Definicja 3.1. Funkcjonałem nazywamy dowolne przekształcenie I: X R, X f I(f) gdzie X jest
dowolnym zbiorem funkcji.
x2

Poszukujemy funkcji (krzywej) y = y(x), dla której funkcjonał postaci I(y) = F (x, y, y ) dx osiąga ekstre-
x1
mum przy danych warunkach początkowych y(x1) = y1; y(x2) = y2.
Twierdzenie 3.2 (Eulera  warunek konieczny na istnienie ekstremali funkcjonału). Jeśli funkcjonał I(y) =
x2

F (x, y, y ) dx osiąga ekstremum dla pewnej funkcji y = y(x), to spełnia równanie Eulera:
x1

d

Fy(x, y, y ) - Fy (x, y, y ) = 0 (3.1.1)
dx
lub jemu równoważne

Fy(x, y, y ) - Fxy (x, y, y ) - Fyy (x, y, y )y - Fy y (x, y, y )y = 0 (3.1.2)
Definicja 3.3. Każde rozwiązanie równania (3.1.1) nazywa się funkcją ekstremalną lub ekstremalą.
3.2. Zadania
Zadanie a)
Ą

I(y) = (y )2 - y2 + 4y cos x dx
0
F = y 2 - y2 + 4y cos x; y(0) = 0; y(Ą) = 0 (3.2.1)
Fy = -2y + 4 cos x (3.2.2a)

Fy = 2y (3.2.2b)
d

Fy = 2y (3.2.2c)
dx
Równanie Eulera przyjmuje postać
y + y = 2 cos x (3.2.3)
całka ogólna tego równania
yo = C1 cos x + C2 sin x (3.2.4)
Przewidujemy całkę szczególną postaci

ys = A cos x + B sin x x (3.2.5a)


ys = - A sin x + B cos x x + A cos x + B sin x (3.2.5b)


ys = - A cos x - B sin x x + - A sin x + B cos x + - A sin x + B cos x (3.2.5c)
3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału 14
Wstawiamy obliczone pochodne do równania (3.2.3) i otrzymujemy
-A x cos x - Bx sin x - 2A sin x + 2B cos x + A x cos x + Bx sin x = 2 cos x
skąd
A = 0 B = 1
W rozwiązaniu otrzymujemy rodzinę funkcji
y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x
po wstawieniu warunków początkowych
y(0) = C1 = 0 (3.2.6a)
y(Ą) = -C1 = 0 (3.2.6b)
Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci rodziny funkcji
y = (x + C2) sin x C2 " R (3.2.7)
Zadanie d)
Ą
4


Ą
I(y) = y2 - 2y tg x - (y )2 dx; y(0) = 0; y( ) = 1
4
0
F = y2 - 2y tg x - y 2 (3.2.8)
Fy = 2y - 2 tg x (3.2.9a)

Fy = -2y (3.2.9b)
d

Fy = -2y (3.2.9c)
dx
Równanie Eulera przyjmuje postać
y + y = tg x (3.2.10)
całka ogólna tego równania
yo = C1 cos x + C2 sin x (3.2.11)
Rozwiązujemy metodą uzmienniania stałej
całki szczególne: y1 = cos x; y2 = - sin x

C cos x + C sin x = 0
1 2
(3.2.12)
-C sin x + C cos x = tg x
1 2
Wyznacznik główny układu


cos x sin x

W =
- sin x cos x = cos2 x + sin2 x = 1

y2q(x)
C1 = dx = - sin x tg x dx (3.2.13)
W

y1q(x)
C2 = dx = cos x tg x dx = sin x dx = - cos x + D1 (3.2.14)
W
Mógłbym napisać: dokonując elementarnych przekształceń otrzymuję C1 = . . . ale tego nie zrobię. Zatem do
dzieła


1

tg x 1 1
cos2 x
- sin x tg x dx = dx
sin x - cos x = cos x tg x + cos x dx = sin x -
cos2 x cos x
teraz oddzielnie obliczamy

x

t = tg

2
1 1

1 1 1 -1
2 dt 1
2 2
dx =
dx = = 2 dt = = dt - dt =
1+t2
cos x 1 - t2 1 - t2 = + 1 + t 1 + t 1 - t
1 - t
1-t2

cos x =
1+t2
Grzegorz Jastrzębski
3. Wyznaczanie ekstremali funkcjonału 15

Ą x

sin +
4 2



x Ą x Ą x Ą x

1 + tg tg + tg cos cos sin +
1 + t

2 4 2

4 2 4 2
= ln |1 + t| - ln |1 - t| = ln = ln = ln = ln =
= ln
x Ą x
Ą x Ą x
1 - t 1 - tg tg - tg - -
cos cos
2 4 2
4 2 4 2

Ą x

cos cos
4 2


Ą x Ą x
sin + sin +
tg Ą x
4 2
4 2
= ln
= ln = ln +
Ą x Ą Ą x
- - 4 2
cos cos +
4 2 2 4 2
więc

tg Ą x
C1 = sin x - ln + + D1

4 2
Rozwiązanie ogólne:

tg Ą x
y = sin x - ln + + D1 cos x + (D2 - cos x) sin x (3.2.15)

4 2
Uwzględniając warunki brzegowe
0


tg Ą
y(0) = - ln +D1 = 0 �! D1 = 0 (3.2.16a)

4
1


Ą
tg Ą � 0 + (D2 - 0) = 1 �! D2 = 1
y = 1 - ln (3.2.16b)
2 2
Ą
(w zadaniu jest ale wtedy nie bardzo daje się rozwiązać)
4
Ostatecznie otrzymujemy ekstremalę w postaci


tg Ą x
y = sin x - ln + cos x + (1 - cos x) sin x (3.2.17)

4 2
Zadania c) i h)
1

I(y) = y 1 + y 2 dx
0
c) y(0) = cosh(1), y(1) = 1
h) y(0) = 1, y(1) = cosh(1)

F = y 1 + y 2 ci co chodzili na wykłady wiedzą że prowadzi to do równania:
yy - y 2 = 1
ktorego rozwiązaniem jest
1
y = cosh[C(x - D)]
C
c) warunki brzegowe
1 1
y(0) = cosh[C(0 - D)] = cosh(CD) = cosh(1)
C C
1
y(1) = cosh[C(1 - D)] = 1 = cosh(0)
C
z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:
1
= 1 i C(1 - D) = 0 i CD = 1 �!�! C = 1 D = 1
C
y = cosh(x - 1)
h) warunki brzegowe
1 1
y(0) = cosh[C(0 - D)] = cosh(CD) = cosh(0)
C C
1
y(1) = cosh[C(1 - D)] = cosh(1)
C
z tego wynika, że muszą być spełnione warunki:
1
= 1 i C(1 - D) = 1 i CD = 0 �!�! C = 1 D = 0
C
y = cosh(x)
Grzegorz Jastrzębski
Zadanie g) - Bonus noworoczny
2

1
I(y) = 1 + (y )2 dx; y(1) = 1; y(2) = 2
y
1

1
F = 1 + y 2 (3.2.18)
y

1
Fy = - 1 + y 2 (3.2.19a)
y2
y
"
Fy = (3.2.19b)
y 1 + y 2
d y y(1 + y 2) - y 2(1 + y 2) - yy 2y

Fy = (3.2.19c)
3
dx 2
y2 (1 + y 2)
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i redukcji wyrazów podobnych równanie Eulera przyjmuje postać:
yy + y 2 + 1 = 0 (3.2.20)
du
Wykonujemy podstawienie u = u(y) = y i y = u i otrzymujemy
dy
du
yu = -(u2 + 1)
dy
rozdzielamy zmienne
u 1
du = - dy
u2 + 1 y
i po scałkowaniu otrzymujemy

1
u2 + 1 =
Cy
wracamy do y nieco porządkujemy
1 - C2y2
y 2 =
C2y2
Rozdzielamy zmienne

y2C2
dy = dx
1 - y2C2
1
podstawiamy yC = sin t wtedy dy = cos t dt i mamy
C

sin2 t 1
� cos t dt = dx
C
1 - sin2 t
Upraszczamy i otrzymujemy
1
sin t dt = dx
C

1
Po scałkowaniu mamy - cos t = x + D wracamy do y podstawiając cos t = 1 - y2C2, podnosimy obie strony
C
1
do kwadratu i podstawiamy = C2 otrzymujemy rozwiązanie ogólne
C2
C2 - y2 = (x + D)2 (3.2.21)
Po wstawieniu warunków brzegowych y(1) = 1 i y(2) = 2 otrzymamy ekstremalę będącą okręgiem o środku
"
w punkcie (3, 0) i promieniu r = 5
(x - 3) + y2 = 5 (3.2.22)
Dodatek A
Zaliczenie
A.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
a) f(x) = x3 w przedziale -Ą, Ą
ńł
�ł2x dla - Ą < x < 0
�ł
b) f(x) = 0 dla x = 0
�ł
ół
6x dla 0 < x < Ą

- cos x dla - Ą x < 0
c) f(x) =
cos x dla 0 x Ą

0 dla - Ą x 0
d) f(x) =
sin x dla 0 < x Ą
e) f(x) = x cos x w przedziale -Ą, Ą
1 1
f) f(x) = Ą - x w przedziale (0, Ą) w szereg sinusów
2 2
g) cos x w przedziale (0, Ą) w szereg cosinusów

-1 dla - Ą x < 0
h) f(x) =
1 dla 0 x Ą
i) f(x) = sin x w przedziale -Ą, Ą
j) f(x) = |sin x| dla dowolnego x
odpowiedzi:

"

2Ą2 12
a) f(x) = (-1)n+1 + (-1)n sin(nx)
n n3
n=1

"


1
b) f(x) = Ą + 4 1 + (-1)n+1 cos(nx) + 8nĄ(-1)n+1 sin(nx)
Ąn2
n=1
"


2n
c) f(x) = (-1)n + 1 sin(nx) n = 1

Ą(n2 - 1)
n=2
"

1 sin(x) 1 1 + (-1)n
d) f(x) = + - cos(nx)
Ą 2 Ą n2 - 1
n=2
"

sin(x) n
e) f(x) = + 2 (-1)n sin(nx)
2 n2 - 1
n=2
"

sin(nx)
f) f(x) =
n
n=1
"

g) f(x) = 0 � cos(nx) + cos(x) =�! f(x) = cos(x)
n=1
"


2 sin(nx)
h) f(x) = 1 + (-1)n+1
Ą n
n=1
i) an = 0; b1 = 1; bn = 0 (n = 2, . . .) =�! f(x) = sin(x)
"

2 (-1)n+1 - 1
j) f(x) = + cos(nx)
Ą n2 - 1
n=2
A. Zaliczenie 18
A.2. Znalez
ć ekstremalę funkcjonału
Ą

a) I(y) = (y )2 - y2 + 4y cos x dx; y(0) = 0; y(Ą) = 0
0
Ą
2


Ą
b) I(y) = - y2 + (y )2 + 2y sin x dx; y(0) = 0; y( ) = 1
2
0
1

c) I(y) = y 1 + (y )2 dx; y(0) = cosh(1); y(1) = 0
0
Ą
4


Ą
d) I(y) = y2 - 2y tg x - (y )2 dx; y(0) = 0; y( ) = 1
4
0
1

e) I(y) = y2 + xy - 2y2y dx; y(0) = 0; y(1) = 1
0
1

f) I(y) = yy + x2 + y2 dx; y(-1) = 0; y(1) = 0
-1

2

1
g) I(y) = 1 + (y )2 dx; y(1) = 1; y(2) = 2
y
1
1


h) I(y) = y 1 + (y )2 dx; y(0) = 1; y(1) = cosh(1)
0
1

i) I(y) = - (y )2 - y2 + x2 + yex dx; y(0) = 0; y(1) = 0
0
2

j) I(y) = y cos(Ąy) + (x - y)2 dx; y(0) = 0; y(2) = 0
0
Odpowiedzi:
a) y = (x + C2) sin x
1
b) y = sin x - x cos x
2
c) y = cosh(x - 1)

tg( Ą x
d) y = sin x - ln + ) cos x + (1 - cos x) sin x
4 2
1
e) y = - x
2
f) y = 0
g) (x - 3)2 + y2 = 5
h) y = cosh x
e2 e2 1
i) y = ex - e-x - xex
4(e2 - 1) 4(e2 - 1) 4
j) y = x
A.3. Krzywizna, ewoluta, ewolwenta
a) Obliczyć promień krzywizny krzywej o równaniu
Ą
x = t - sin t; y = 1 - cos t dla t = odpowiedz
: R = 2
3
b) r = 2 cos t dla dowolnego t odpowiedz
: R = 1
wskazówka: x = r cos t; y = r sin t
1
c) y = (ex + e-x) dla x = 0 odpowiedz
: R = 1
2
Grzegorz Jastrzębski

t
d) Obliczyć ekstremalne wartości promienia krzywizny krzywej o równaniu: r = cos3
3
w przedziale 0 t 3Ą
3 3
Odpowiedz
: t = 0 (" t = 3Ą �! Rmax = , t = Ą �! Rmin = 0
4 2
e) Znalez
ć równanie okręgu krzywiznowego krzywej
y2 = 12x w punkcie P (3, -6), odpowiedz
: (x - 15)2 + (y - 6)2 = 288
f) y = cos x dla x = 0 odpowiedz
: x2 + y2 = 1
g) Znalez
ć równanie ewoluty krzywej o równaniu:
y2 = 2x odpowiedz
: 27y2 = 8(x - 1)3
"
3 3
3
2 2
h) xy = 1 odpowiedz
: (x + y) + (x - y) = 16
i) x = t - sin t, y = 1 - cos t odpowiedz
: x = t - sin t + Ą, y = 1 - cos t - 2
3
j) x = 3t2, y = 3t - t3 odpowiedz
: x = (1 + 2t2 - t4), y = -4t3
2
Dodatek B
Wzory
Całkowanie przez części
u(x) u (x)
u(x)v (x) dx = = u(x)v(x) - u (x)v(x) dx
v (x) v(x)
"
a0 nĄx nĄx
Szereg Fouriera f(x) = + an cos + bn sin
2
n=1

1 1 nĄx 1 nĄx
a0 = f(x) dx an = f(x) cos dx bn = f(x) sin dx

- - -

2 2 nĄx
funkcja parzysta bn = 0 a0 = f(x) dx an = f(x) cos dx

0 0

2 nĄx
funkcja nieparzysta an = 0 bn = f(x) sin dx

0
Całki
1 1
x sin(nx) dx = - x cos(xn) + sin(nx) + C (B.1.1)
n n2
1 1
x cos(nx) dx = x sin(xn) + cos(nx) + C (B.1.2)
n n2
1 2 2
x2 sin(nx) dx = - x2 cos(xn) + x sin(nx) + cos(nx) + C (B.1.3)
n n2 n3
1 2 2
x2 cos(nx) dx = x2 sin(xn) + x cos(nx) - sin(nx) + C (B.1.4)
n n2 n3
1 3 6 6
x3 sin(nx) dx = - x3 cos(nx) + x2 sin(nx) + x cos(nx) - sin(nx) + C (B.1.5)
n n2 n3 n4
1
sin(x) cos(nx) dx = sin(x - nx) + sin(x + nx) dx (B.1.6)
2
1
sin(x) sin(nx) dx = cos(x - nx) - cos(x + nx) dx (B.1.7)
2
1
cos(x) sin(nx) dx = sin(nx - x) + sin(nx + x) dx (B.1.8)
2
1 - cos(2x)
sin2(x) dx = dx (B.1.9)
2
1
sin(x) cos(x) dx = sin(2x) dx (B.1.10)
2
1 1 ax Ą
dx = ln tg + (B.1.11)
cos(ax) a 2 4
1
sin(ax) dx = - cos(ax) (B.1.12)
a
1
cos(ax) dx = sin(ax) (B.1.13)
a
Podstawienie uniwersalne dla całek funkcji trygonometrycznych
x 2 dt 2t 1 - t2
t = tg , skąd dx = , sin x = , cos x =
2 1 + t2 1 + t2 1 + t2
B. Wzory 21
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
sin2 ą + cos2 ą = 1 (B.1.14)
sin 2ą = 2 sin ą cos ą (B.1.15)
cos 2ą = cos2 ą - sin2 ą = 2 cos2 ą - 1 = 1 - 2 sin2 ą (B.1.16)
tg ą ą tg �
tg(ą ą �) = (B.1.17)
1 " tg ą tg �
sin(ą ą �) = sin ą cos � ą cos ą sin � (B.1.18)
cos(ą ą �) = cos ą cos � " sin ą sin � (B.1.19)
cosh2 x - sin2 x = 1 (B.1.20)
ex - e-x
sinh x = (B.1.21)
2
ex + e-x
cosh x = (B.1.22)
2
Krzywizna, promień krzywizny, ewoluta i ewolwenta
krzywizna �
krzywa postaci y = f(x)
|y | |y |
� = =
3
(1 + y 2)3 2
(1 + y 2)
krzywa postaci parametrycznej
|x y - x y |
� =
3
2
(x 2 + y 2)
promień krzywizny R
krzywa postaci y = f(x)
3
2
1 (1 + y 2)
R = =
� |y |
krzywa postaci parametrycznej
3
2
1 (x 2 + y 2)
R = =
� |x y - x y |
Środek krzywizny S(xs, ys)
krzywa postaci y = f(x)
1 + y 2 1 + y 2
xs = x - y ys = y +
y y
krzywa postaci parametrycznej
x 2 + y 2 x 2 + y 2
xs = x - y ys = y + x
x y - x y x y - x y
okrąg krzywiznowy: (x - xs)2 + (y - ys)2 = R2
Środek krzywizny w punkcie (x0, y0)
krzywa postaci y = f(x)
1 + (y (x0))2 1 + (y (x0))2
xs = x0 - y (x0) ys = y0 +
y (x0) y (x0)
krzywa postaci parametrycznej dla t = t0
(x (t0))2 + (y (t0))2 (x (t0))2 + (y (t0))2
xs = x(t0) - y (t0) ys = y(t0) + x (t0)
x (t0)y (t0) - x (t0)y (t0) x (t0)y (t0) - x (t0)y (t0)
Ewoluta
Ewolutą nazywamy zbiór środków krzywizny danej krzywej ys = f(xs)
Grzegorz Jastrzębski