Prof. P. Domański
Poznań, 09.06.2004
Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311  grupa A
Prosze si¸ koniecznie podpisać. Prosz¸ pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie
e e
w zadaniach zamkni¸ prosz¸ napisać drukowanymi literami TAK lub NIE
etych e
(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si¸ od 0 do 3). Zadania otwarte prosz¸
e e
rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Å»ycz¸
¸ e
Państwu sukcesu.
ZADANIA:
1. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w c0, który d¸Å¼y do
¸ a
zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm¸ Uzasadnij zbieżność do zera.
¸ a.
2. 1 punkt Podaj definicj¸ ciagloÅ›ci (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes-
e ¸
trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych.
1
3. 1 punkt Niech X b¸ przestrzenia Banacha. Wówczas:
edzie ¸
a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;

b) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0;
c) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0.
4. 1 punkt Prosz¸ podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego h :
e
R2 R2,
h(x, y) =
5. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm¸ w R2:
a
a) p(x, y) = |x + y|;
b) p(x, y) = 2|x| + |y|;
c) p(x, y) = |x| - |y|.
6. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y (X, Y przestrzenie Banacha) jest
ciagle. Wówczas zachodzi:
¸
a) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x ;
b) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ;
c) Ax = cx dla każdego x i pewnego skalara c.
7. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R6 tak aby ta przestrzeń ze
zdefiniowan¸ norm¸ byla przestrzenia Banacha.
a a ¸
2
8. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji f, f(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w
przestrzeni C[0, 1] z jej zwykla norm¸
¸ a.
9. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb rzeczywistych, który tworzy
¸
zbiór II kategorii  uzasadnij.
10. 3 punkty Niech V b¸ otwartym wieloÅ›cianem wypuklym w R3 nie zaw-
edzie
ieraj¸ punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie,
acym ¸
że dla każdego (x, y, z) " V zachodzi:
ax + by + cz > 0.
3
11. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem:
(x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b)
i utwórzmy w ten sposób przestrzeÅ„ Hilberta. Który wektor należ¸ do pod-
acy
przestrzeni liniowej
Y := {(x, y, 0) : x, y " R}
jest najbliższy punktowi (1, 1, 1) w zdefiniowanej przestrzeni:
a) (1, 1, 0);
b) (0, 0, 0);
c) (2, 2, 0).
12. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad¸ jednostajnej ograniczonoÅ›ci.
e
13. 2 punkty Niech x = (xn)n" " c0. Udowodnij, że istnieje f " (c0) , f d"
1, taki, że f(x) = supn" |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z
tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni¸
etym
wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności,
ogólnej postaci funkcjonalów na c0.
14. 5 punktów Niech (aij) b¸ nieskoÅ„czon¸ macierz¸ trójk¸ a, tj. aij " R
edzie a a atn¸
dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak¸
a
macierz:
i
Ax := aijxj dla x " l1.
j=0
i"
Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly.
¸
4
Prof. P. Domański
Poznań, 09.06.2004
Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 - grupa B
Prosze si¸ koniecznie podpisać. Prosz¸ pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie
e e
w zadaniach zamkni¸ prosz¸ napisać drukowanymi literami TAK lub NIE
etych e
(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si¸ od 0 do 3). Zadania otwarte prosz¸
e e
rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Å»ycz¸
¸ e
Państwu sukcesu.
ZADANIA:
1. 2 punkty Niech x = (xn)n" " l1. Udowodnij, że istnieje f " (l1) , f d"
"
1, taki, że f(x) = |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z
n=0
tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni¸
etym
wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności,
ogólnej postaci funkcjonalów na l1.
2. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb zespolonych, który tworzy
¸
zbiór II kategorii  uzasadnij.
3. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad¸ jednostajnej ograniczonoÅ›ci.
e
5
4. 3 punkty Niech W b¸ otwartym wieloÅ›cianem wypuklym w R3 nie zaw-
edzie
ieraj¸ punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie,
acym ¸
że dla każdego (x, y, z) " W zachodzi:
ax + by + cz > 0.
5. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem:
(x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b)
i utwórzmy w ten sposób przestrzeÅ„ Hilberta. Który wektor należ¸ do pod-
acy
przestrzeni liniowej
Z := {(x, y, 0) : x, y " R}
jest najbliższy punktowi (3, 3, 3) w zdefiniowanej przestrzeni:
a) (5, 4, 0);
b) (3, 3, 0);
c) (0, 0, 0).
6. 1 punkt Prosz¸ podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego p :
e
R2 R2,
p(x, y) =
7. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm¸ w R2:
a
a) p(x, y) = |x + y|;
b) p(x, y) = |x| - |y|;
c) p(x, y) = 2|x| + 3|y|;
6
8. 1 punkt Podaj definicj¸ ciagloÅ›ci (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes-
e ¸
trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych.
9. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y 9X, Y przestrzenie Banacha)
jest ciagle. Wówczas zachodzi:
¸
a) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ;
b) Ax = dx dla każdego x i pewnego skalara d;
c) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x .
10. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R5 tak aby ta przestrzeń
ze zdefiniowan¸ norm¸ byla przestrzenia Banacha.
a a ¸
11. 1 punkt Niech X b¸ przestrzenia Banacha. Wówczas:
edzie ¸
a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;

b) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0;
c) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0.
7
12. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w l1, który d¸Å¼y do
¸ a
zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm¸ Uzasadnij zbieżność do zera.
¸ a.
13. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji h, h(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w
przestrzeni L1[0, 1] z jej zwykla norm¸
¸ a.
14. 5 punktów Niech (aij) b¸ nieskoÅ„czon¸ macierz¸ trójk¸ a, tj. aij " R
edzie a a atn¸
dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak¸
a
macierz:
i
Ax := aijxj dla x " l1.
j=0
i"
Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly.
¸
8