29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa A,
Prosimy rozwi¸ każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ do
azywać ecamy
rozwi¸ 4 zadaÅ„ ale można rozwi¸ ich wi¸ - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz¸ 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s¸ za 1 lub dwa punkty
a
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l1 d¸Å¼¸ do zera i
lad ¸ a acego
sk acego si¸ z elementów niezerowych.
ladaj¸ e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸ odwzorowania liniowego T : (R2, · ) (R3, · )
e
" 1
T ((x, y)) = (x, x + y, x - y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast¸ ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj¸ ¸ le
"
xn
T : l" R, T (x) = ?
(2n)2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast¸ acy zbiór ma niepuste wn¸
epuj¸ etrze
A ‚" l1, A = {x = (xn) : x2005 = 0 } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni¸ wykresie, gdzie
¸ lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
¸ ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s¸ w norm¸ supremaln¸ Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni¸ wykresie?
etym
n n
Zad.6 (2 pt) Oblicz norm¸ operatora M: l" l", gdzie
e
ëÅ‚ öÅ‚
1 12 · · · 1n ëÅ‚
x1 öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
· · ·
ìÅ‚ x2 ÷Å‚
2 22 2n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M((x1, . . . , xn)) =
ìÅ‚ ÷Å‚ .
. . .
.
íÅ‚ Å‚Å‚
.
. . . .
íÅ‚ Å‚Å‚
. .
. . .
1 1 1
xn
. . .
n n2 nn
Zad.7 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
¸
zero jest g¸ w c0.
esty
Zad.8 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm¸ · , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa B,
Prosimy rozwi¸ każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ do
azywać ecamy
rozwi¸ 4 zadaÅ„ ale można rozwi¸ ich wi¸ - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz¸ 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s¸ za 1 lub dwa punkty
a
Zadania
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l2 d¸Å¼¸ do zera i
lad ¸ a acego
sk acego si¸ z elementów niezerowych.
ladaj¸ e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸ odwzorowania liniowego T : (R2, · ) (R3, · )
e
" 1
T ((x, y)) = (x - y, x + y, y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast¸ ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj¸ ¸ le
"
xn
T : l" R, T (x) = (-1)n ?
n2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast¸ acy zbiór ma niepuste wn¸
epuj¸ etrze
A ‚" c0, A = {x = (xn) : x2n = 0, n " N } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm¸ · , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
Zad.6 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni¸ wykresie, gdzie
¸ lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
¸ ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s¸ w norm¸ supremaln¸ Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni¸ wykresie?
etym
n n
Zad.7 (2 pt) Oblicz norm¸ operatora M: l" l", gdzie
e
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
x1 öÅ‚
1 12 · · · 1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ x2 ÷Å‚
2 22 · · · 2n ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M((x1, . . . , xn)) = . . . .
. .
íÅ‚ . . . . Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
.
.
. . .
.
n n2 . . . nn
xn
Zad.8 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
¸
zero jest g¸ w l1.
esty
2