29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa A,
Prosimy rozwi� każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach� do
azywać ecamy
rozwi� 4 zadań ale można rozwi� ich wi� - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz� 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s� za 1 lub dwa punkty
a
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l1 d�ż� do zera i
lad � a acego
sk acego si� z elementów niezerowych.
ladaj� e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm� odwzorowania liniowego T : (R2, � ) (R3, � )
e
" 1
T ((x, y)) = (x, x + y, x - y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast� ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj� � le
"
xn
T : l" R, T (x) = ?
(2n)2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast� acy zbiór ma niepuste wn�
epuj� etrze
A �" l1, A = {x = (xn) : x2005 = 0 } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni� wykresie, gdzie
� lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
� ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s� w norm� supremaln� Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni� wykresie?
etym
n n
Zad.6 (2 pt) Oblicz norm� operatora M: l" l", gdzie
e
�ł �ł
1 12 � � � 1n �ł
x1 �ł
1 1 1
�ł �ł
� � �
�ł x2 �ł
2 22 2n
�ł �ł
�ł �ł
M((x1, . . . , xn)) =
�ł �ł .
. . .
.
�ł łł
.
. . . .
�ł łł
. .
. . .
1 1 1
xn
. . .
n n2 nn
Zad.7 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
�
zero jest g� w c0.
esty
Zad.8 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm� � , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa B,
Prosimy rozwi� każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach� do
azywać ecamy
rozwi� 4 zadań ale można rozwi� ich wi� - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz� 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s� za 1 lub dwa punkty
a
Zadania
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l2 d�ż� do zera i
lad � a acego
sk acego si� z elementów niezerowych.
ladaj� e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm� odwzorowania liniowego T : (R2, � ) (R3, � )
e
" 1
T ((x, y)) = (x - y, x + y, y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast� ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj� � le
"
xn
T : l" R, T (x) = (-1)n ?
n2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast� acy zbiór ma niepuste wn�
epuj� etrze
A �" c0, A = {x = (xn) : x2n = 0, n " N } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm� � , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
Zad.6 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni� wykresie, gdzie
� lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
� ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s� w norm� supremaln� Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni� wykresie?
etym
n n
Zad.7 (2 pt) Oblicz norm� operatora M: l" l", gdzie
e
�ł �ł �ł
x1 �ł
1 12 � � � 1n
�ł �ł �ł x2 �ł
2 22 � � � 2n �ł �ł
�ł �ł
M((x1, . . . , xn)) = . . . .
. .
�ł . . . . łł �ł łł
.
.
. . .
.
n n2 . . . nn
xn
Zad.8 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
�
zero jest g� w l1.
esty
2