Zagadnienia do egzaminu z analizy funkcjonalnej (2007/8)
1. Kryteria ciagłości odwzorowania liniowego w przestrzeniach unormowanych i semiunormowanych.
Norma operatora.
2. Izomorficzność skończenie-wymiarowych przestrzeni wektorowych topologicznych Hausdorffa z prze-
strzenią euklidesową i automatyczna ciągłość odwzorowań liniowych (dowód może być dla norm)
3. Domkniętość podprzestrzeni skończenie wymiarowych, wymiar algebraiczny przestrzeni Banacha.
4. Twierdzenie o funkcjonale Minkowskiego dla zbioru wypukłego, pochłaniającego.
5. WÅ‚asnoÅ›ci normy ilorazowej, definicja Lp(µ) dla 1 p < ".
6. Szeregi w (X, ): rodzaje zbieżności, kryterium  szeregowe zupełności.
7. Twierdzenie o zupełności przestrzeni B(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych.
8. Szereg Carla Neumanna i otwartość zbioru operatorów odwracalnych w algebrze B(X).
.
Przestrzenie Hilberta
9. Nierówność Cauchy ego - Buniakowskiego - Schwarza i zastosowanie do nierówności trójkąta
10. Twierdzenie o rzucie na zbiór wypukły domknięty w przestrzeni Hilberta (istnienie i jednoznaczność)
11. Twierdzenie charakteryzujące rzut przez nierówności dla iloczynów skalarnych (odp. -ortogonalność)
12. Rozkład ortogonalny w przestrzeni Hilberta i własności rzutu ortogonalnego jako operatora
13. Tw. Riesza -Frécheta o postaci funkcjonaÅ‚u
"
14. Definicja i elementarne własności operatora sprzężonego T
15. Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala, bazy ortonormalne, układ trygonometryczny.
.
Przestrzenie funkcji całkowalnych, szeregi Fouriera
16. Własności seminormy ilorazowej, wzór na odległość wektora od ker Ć
17. Kryteria ciągłości funkcjonału liniowego.
18. Definicje przestrzeni Lebesgue a Lp(µ) NierównoÅ›ci: Höldera i Minkowskiego.
19. ZupeÅ‚ność Lp(µ).
20. Regularność miar, gÄ™stość funkcji ciÄ…gÅ‚ych w Lp(µ) w przypadku zwykÅ‚ej miary Lebesgue a.
21. Układ trygonometryczny w postaci rzeczywistej i zespolonej, lemat Riemanna - Lebesgue a
22. Sformułowanie 2-3 twierdzeń o sumowaniu szeregu Fouriera, wybrany dow. (poza przyp. 2)
23. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, zastosowanie do szeregów Fouriera
.
 Klasyka
24. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorfizmie i o wykresie domkniętym
25. Tw. Hahna-Banacha. Wzór dualny na normę wektora, zanurzenie kanoniczne j : X X
26. Zastosowanie tw. Hahna-Banacha: rozdzielanie zbiorów wypukłych.