Analiza matematyczna i elementy analizy wektorowej
Lista pierwsza
1
Zadanie 1.1 Korzystaj c z de nicji zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych pierwszego rodzaju:
1 1 1 0
Z Z Z Z
dx dx
,x
a ; b 2 dx; c x cos xdx; d ;
x +2 2 x2 +4
1 0 ,1
1 1 1 , 1
Z Z Z Z
dx dx 3
e p ; f ; g x2e,x dx: h* , arcctg x dx:
3
3x +5 x2 , 4x +13
1 ,1 ,1 ,1
Zadanie 1.2
Korzystaj c z kryterium por wnawczego lub ilorazowego zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych pierwszego
rodzaju:
1 1 1 0 1
Z Z Z Z Z
dx x , 1 dx 1 + sin x 2x dx xdx
a p ; b ; c dx; d ; e p ;
3
x , 3 x4 + x +1 x3 x , 1
x7 +1
10 2 ,1 0
1 1 ,1 1 1
Z Z Z Z Z
x
1 xdx e2x +1 x +1 x2 dx
f sin2 dx; g p ; h dx; i e,x dx; j :
x ex , 1 x x3 , sin x
x5 , 3
1 5 ,1 10 1
Zadanie 1.3
Zbada zbie no i zbie no bezwzgl dn podanych ca ek niew a ciwych:
1 1 0
Z Z Z
sin 3xdx cos xdx
a ; b x cos 2xdx; c :
e2x +1 x2 +1
0 ,1
Zadanie 1.4
Korzystaj c z defnicji zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych drugiego rodzaju dla ca ek zbie nych obliczy ich
warto ci :
0 3 e
Z Z Z Z
dx dx dx ln xdx
a p ; b ; c ; d :
5
sin x x x , 3 x
x2
, 1 2 0
2
Zadanie 1.5
Korzystaj c z kryterium por wnawczego lub ilorazowego zbada zbie no podanych ca ek niew a ciwych drugiego ro-
dzaju:
p
2 2 4
Z Z Z Z
1
arctg ex dx cos2 xdx dx
x
a p dx; b ; c p ; d p ;
3
x x3 x , x2 + x
0 0 0 0
1 1
Z Z Z Z
sin3 x e2x , 1 dx dx
e dx; f p dx; g p ; h :
3 3
x4 cos x arcsin x 2
x4
0 0 0
2
Zadanie 1.6
Znale sumy cz ciowe i nast pnie zbada zbie no podanych szereg w:
1 n 1 1 1
X X X X
5 n , 1 1 1
a ; b ; c p ; d* arctg :
p
6 n! 2n2
n +1 + n
n=0 n=2 n=1 n=1
1
Zadania z pierwszych dziewi ciu list pochodz ze skryptu Analiza matematyczna 2. Przyk ady i zadania . Zadania z pozosta ych
pi ciu list pochodz ze skryptu Elementy anali zy wektorowej. Teoria, przyk ady, zadani a.
1
 Zadanie 1.7
Korzystaj c z kryterium ca kowego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
1 n ln n 1
a ; b ; c ; d* :
n2 + n n2 +4 n2 n ln n ln ln n
n=1 n=1 n=2 n=2
Zadanie 1.8
Korzystaj c z kryterium por wnawczego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
3 n +1
a ; b ; c sin ; d* tg :
n2 +2 n2 +1 2n 4n
n=1 n=1 n=1 n=1
Lista druga
Zadanie 2.1
Korzystaj c z kryterium d'Alemberta zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1 1 1 n
X X X X X X Y
p
100n n! n! 2 nn
k
a ; b n2 sin ; c ; d ; e ; f* 1 , 2 :
n! 2n nn 2n ! 3nn!
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=2 k=2
Zadanie 2.2
Korzystaj c z kryterium Cauchy'ego zbada zbie no podanych szereg w:
2
1 1 1 1
X X X X
n +1 2n 2n +3n 3nnn 1
a ; b ; c ; d arccosn :
2n2 +1 n 3n +4n n +1 n2 n2
n=1 n=1 n=1 n=1
Zadanie 2.3
Korzystaj c z kryterium ilorazowego zbada zbie no podanych szereg w:
1 1 1 1
sin
X X X X
n2 + n +1 2n , 1 1
3n
a ; b ; c arctg ; d .
2n3 , 1 3n , 1 n2
sin
n=1 n=1 n=1 n=1
2n
Zadanie 2.4
Zbada zbie no oraz zbie no bezwzgl dn podanych szereg w:
1 1 n 1
X X X
,1 n+1 ,2n ,1 nn
a ; b ; c .
2n +1 3n +5 n2 +1
n=1 n=1 n=2
Zadanie 2.5
Wykaza zbie no odpowiedniego szeregu i nast pnie na podstawie warunku koniecznego zbie no ci szereg w uzasadni
podane r wno ci:
n5 nn n!
a lim =0; b lim =0; c lim =0:
n!1 n!1 n!1
7n n! 2 nn
Zadanie 2.6
Wyznaczy promienie zbie no ci podanych szereg w pot gowych oraz zbada ich zbie no na kra cach przedzia w
zbie no ci:
1 1 1 1
X X X X
xn x +3 n n!xn
n
a ; b n x , 2 ; c ; d* .
n2n n3 nn
n=1 n=1 n=1 n=1
Zadanie 2.7
Znale szeregi Maclaurina podanych funkcji i okre li przedzia y zbie no ci tych szereg w:
x
a f x = xe, 2x; b f x = ; c f x = sh x; d* f x = ln 1 + x :
9 + x2
Zadanie 2.8
Stosuj c twierdzenia o r niczkowaniu i ca kowaniu szereg w pot gowych obliczy sumy podanych szereg w:
1 1 1 1
X X X X
n n +1 2n , 1 n n2
a ; b ; c* ; d* :
4n 3n n + 2 2n 52n
n=1 n=2 n=1 n=1
2
Lista trzecia
Zadanie 3.1
Spo r d podanych zbior w na p aszczy nie lub w przestrzeni wskaza te, kt re s ograniczone, otwarte, domkni te. Kt re
z tych zbior w s obszarami ?
a A = x; y 2 R2 : x2 y 2x2 ; b B = x; y; z 2 R3 : xyz =0 ; c C = x; y; z 2 R3 : x2 + y2 + z2 9 :
Zadanie 3.2
Wyznaczy i narysowa dziedziny naturalne podanych funkcji:
p p
p ,
x2 + y2 , 4
a f x; y =ln ; b g x; y; z = x + y , 1 + z , 2; c h x; y; z = arcsin x2 + y2 + z2 , 2 .
9 , x2 , y2
Zadanie 3.3
Znale poziomice wykres w podanych funkcji i na tej podstawie naszkicowa te wykresy:
p p
a f x; y = x2 + y2; b g x; y = 4 , x2 , y2; c h x; y = sin y; d p x; y = ex,y.
Zadanie 3.4
Zbada , czy podane ci gi punkt w na p aszczy nie lub w przestrzeni s zbie ne i ewentualnie znale ich granice:
p
n2
n
n
a xn; yn = ,1 ; sin ; b xn; yn; zn = ; 2; 3 :
n n2 +1
Zadanie 3.5
Zbada , czy istniej podane granice funkcji i obliczy te, kt re istniej :
,
1 x2 , y2 x + y , 2 sin2 x
a lim x2 + y2 sin ; b lim ; c lim ; d lim .
x;y ! 0;0 xy x;y ! 0;0 x2 + y2 x;y ! 1;1 x2 + y2 , 2 x;y ! ;0 y2
Zadanie 3.6
Znale zbiory punkt w ci g o ci podanych funkcji:
p
sin x dla y 0;
1 , x2 , y2 dla x2 + y2 1;
a f x; y = b f x; y =
1 dla y 0:
0 dla x2 + y2 1;
Lista czwarta
Zadanie 4.1
Obliczy wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji:
1 , xy x
a f x; y = arctg ; b f x; y; z = ;
x + y x2 + y2 + z2
y
x
c f x; y = esin ; d f x; y; z = sin x cos y sin z .
Zadanie 4.2
Korzystaj c z de nicji zbada , czy istniej pochodne cz stkowe rz du pierwszego podanych funkcji we wskazanych punk-
tach:
p
1 dla xy =0;
5
a f x; y = x0; y0 = 0; 0 ; b f x; y; z = xy z , 1 ; x0; y0; z0 = 0; 0; 1 .
0 dla xy =0;
6
Zadanie 4.3
Obliczy wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji i sprawdzi , czy pochodne cz stkowe mieszane
s r wne:
,
a f x; y = sin x2 + y2 ; b f x; y = xexy;
,
1
c f x; y; z = p ; d f x; y; z = ln x2 + y4 + z6 +1 .
x2 + y2 + z2
3
 Zadanie 4.4
@2f @2f
Zbada , czy r wno 0; 0 = 0; 0 jest prawdziwa dla funkcji:
@x@y @y@x
8
x2y3
dla x; y = 0; 0 ;
6
p
3
x2 + y2
a f x; y = b f x; y = x6 , 8y3:
:
0 dla x; y = 0; 0 ;
Zadanie 4.5
Dla podanych funkcji obliczy wskazane pochodne cz stkowe:
@3f x2y3 @3f @5f
a f x; y = sin xy; ; b f x; y; z = ; ; c f x; y; z = exy+z; :
@x@y2 z @x@y@z @x@y2@z2
Zadanie* 4.6
Korzystaj c z de nicji zbada r niczkowalno podanych funkcji we wskazanych punktach:
p
3
a f x; y = xy; x0; y0 = 0; 0 ;
8
,
1

x2 + y2 sin dla x; y = 0; 0 ;
6
b f x; y = x2 + y2 x0; y0 = 0; 0 ;
:
0 dla x; y = 0; 0 ;
p
c f x; y; z = x4 + y4 + z4; x0; y0; z0 = 0; 0; 0 .
Zadanie 4.7
Napisa r wnania p aszczyzn stycznych do wykres w podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
!
p
arcsin x 1 3
a z = ; x0; y0; z0 = , ; ; ,1 ; b z = xy; x0; y0; z0 = 2; 4; 16 .
arccos y 2 2
Zadanie 4.8
a Wysoko i promie podstawy sto ka zmierzono z dok adno ci 1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz r = 145 mm.
Z jak w przybli eniu dok adno ci mo na obliczy obj to V tego sto ka ?
b Kraw dzie prostopad o cianu maj d ugo ci a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczy w przybli eniu, jak zmieni si
d ugo przek tnej prostopad o cianu d, je eli d ugo ci wszystkich kraw dzi zwi kszymy o 2 cm;
3 2
c Obliczy w przybli eniu 1; 02 0; 997 ;
p
3
3 3 3
d Obliczy w przybli eniu 2; 93 + 4; 05 + 4; 99 ;
e* Robot do zgrzewania karoserii samochodowych sk ada si z dw ch przegubowych ramion o d ugo ci a =1 m, b =2 m
rysunek .
y
6
6
u
s
b
,I
,

, ?-
x

a
-
Po o enie zgrzewarki jest okre lone przez dwa k ty = , = : Obliczy w przybli eniu dok adno jej po o enia,
4 3
je eli k ty odchylenia obu ramion ustawiane s z dok adno ci = =0; 003 rad.
Zadanie 4.9
Wykorzystuj c regu y r niczkowania funkcji z o onych obliczy pochodne cz stkowe pierwszego rz du wzgl dem x i y
4
podanych funkcji:
u
a z = f u; v = ln , gdzie u = x sin y; v = x cos y;
v +1
u
b z = f u; v; w = arcsin , gdzie u = exy; v = x2 + y2; w = ln x , y :
v2 + w2
Lista pi ta
Zadanie 5.1
Obliczy gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
a f x; y = x2 + y2 ; x0; y0 = ,3; 4 ; ~ = ; ;
v
13 13
!
p
1 3 3
b f x; y; z = exyz; x0; y0; z0 = ,1; 1; ,1 ; ~ = ; , ; .
v
2 4 4
Zadanie 5.2
Korzystaj c z de nicji obliczy pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
!
p p
2 2
a f x; y =2jxj + jyj; x0; y0 = 0; 0 ; ~ = ; ;
v
2 2
!
p
p 3 1
3
b f x; y = xy; x0; y0 = 1; 0 ; ~ = ; .
v
2 2
Zadanie 5.3
Napisa wz r Taylora z reszt Rn dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych punkt w, je eli:
,
3
a f x; y = sin x2 + y2 ; x0; y0 = 0; 0 ; n =3; b f x; y = x + y ; x0; y0 = ,1; 1 ; n =4:
Zadanie 5.4
Znale ekstrema funkcji:
2 2
a f x; y =3 x , 1 +4 y +2 ; b f x; y = x3 + y3 , 3xy; c f x; y = x3 +3xy2 , 51x , 24y:
Zadanie 5.5
Zbada , czy podane funkcje maj ekstrema lokalne:
a f x; y =2jxj +3jyj; b f x; y = 2x4 , 3y7.
Zadanie 5.6
Znale najmniejsze i najwi ksze warto ci podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a f x; y = x2 + y2 ; jxj + jyj 2; b f x; y = xy2 +4xy , 4x; ,3 x 3; ,3 y 0;
, ,
x2 , 1 y2 , 1
c* f x; y = ; x; y 2 R2; d f x; y = x4 + y4, x2 + y2 9:
x2 + y2 +2
Zadanie 5.7
a W tr jk cie o wierzcho kach A = ,1; 5 , B = 1; 4 , C = 2; ,3 znale punkt M = x0; y0 , dla kt rego suma
kwadrat w jego odleg o ci od wierzcho k w jest najmniejsza;
b Jakie powinny by d ugo a, szeroko b i wysoko h prostopad o ciennej otwartej wanny o pojemno ci V , aby ilo
blachy zu ytej do jej zrobienia by a najmniejsza ?
c Znale odleg o mi dzy prostymi sko nymi:
x + y , 1= 0 x , y +3= 0
k : ; l : :
z +1 =0 z , 2 =0
d Prostopad o cienny magazyn ma mie obj to V = 216 m3: Do budowy cian magazynu u ywane s p yty w cenie
30 z =m2; do budowy pod ogi w cenie 40 z =m2; a su tu w cenie 20 z =m2: Znale d ugo a; szeroko b i wysoko c
magazynu, kt rego koszt budowy b dzie najmniejszy.
5
e* Na trzech parami sko nych kraw dziach
z
6
sze cianu rysunek wyznaczy po jed-
nym punkcie w ten spos b, aby pole
1
,
q
tr jk ta o wierzcho kach w tych punk-


,

C

q B
tach by o najmniejsze.
,

B
B
B
B
B
B
1
-
B
B
y
O
,
B
B
,
B
BB
Bq
,
1
A
,
,

x
Lista sz sta
Zadanie 6.1
Zbada , czy r wnanie xy , yx = 0 okre la jednoznacznie ci g funkcj uwik an y = y x na pewnym otoczeniu punkt w:
a A = 2; 4 ; b B = e; e ; c C = 3; 3 ?
Zadanie 6.2
Napisa r wnania stycznych do krzywych okre lonych podanymi r wnaniami we wskazanych punktach tych krzywych:
a x3 + x , y3 , y =0; 2; 2 ; b x2 + y2 , 3xy + x =0; 1; 1 :
Zadanie 6.3
Obliczy pierwsz i drug pochodn funkcji uwik anych y = y x okre lonych r wnaniami:
a xey , y +1 = 0; b x2 + y2 , 3xy =0.
Zadanie 6.4
Wyznaczy ekstrema funkcji uwik anej y = y x okre lonej r wnaniem x2 + y2 , xy , 2x +4y =0.
Zadanie 6.5
Obliczy dane ca ki podw jne po wskazanych prostok tach:
ZZ ZZ
dxdy
a , P = 0; 2 0; 1 ; b x sin xy dxdy, P = 0; 1 ; 2 :
x + y +1 3
P P
Zadanie 6.6
Podane ca ki podw jne zamieni na sumy iloczyn w ca ek pojedynczych:
ZZ ZZ
x
a ex,y dxdy, P = ,1; 1 ,1; 1 ; b xy ln dxdy, P = 1; e 1; 2 :
y
P P
Zadanie 6.7
ZZ
Ca k podw jn f x; y dxdy zamieni na ca ki iterowane, je eli obszar D ograniczony jest krzywymi o r wnaniach:
D
a x2 + y =2; y3 = x2; b x2 + y2 =4; y =2x , x2; x =0 x; y 0 ; c x2 , 4x + y2 +6y , 51 = 0.
Lista si dma
Zadanie 7.1
Obliczy podane ca ki podw jne po wskazanych obszarach:
ZZ ZZ
a min x; y dxdy; D = 0; 1 0; 2 ; b E x + y dxdy; D = 0; 2 0; 2 .
D D
Uwaga. E u oznacza cz ca kowit liczby u:
6
 Zadanie 7.2
W podanych ca kach iterowanych zmieni kolejno ca kowania:
2
p p
y
jxj
1 4 2 x 2 1 0
2
Z Z Z Z Z Z Z Z
a dx f x; y dy; b dx f x; y dy; c dy f x; y dx; d dx f x; y dy.
p p p
, 1 0 0 , 1
y2 , 1
4x,x2 , 2 , 1 ,x2
Zadanie 7.3
Wprowadzaj c wsp rz dne biegunowe obliczy dane ca ki podw jne po wskazanych obszarach:
ZZ
a xy dxdy; D : x 0; 1 x2 + y2 2;
D
ZZ,
b x2 + y2 dxdy; D : y 0; y x2 + y2 x;
D
ZZ
p
, ,
2
c x x2 + y2 dxdy; D : x 0; x2 + y2 4 x2 , y2 .
D
Zadanie 7.4
Obliczy warto ci rednie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h i
a f x; y = sin x cos y; D = 0; 0; ; b f x; y = x + y; D : 0 y ; 0 x sin y:
2
Zadanie 7.5
Obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi krzywymi:
a y2 =4x; x + y =3; y =0 y 0 ;
b x2 + y2 , 2y =0; x2 + y2 , 4y =0;
c x + y =4; x + y =8; x , 3y =0; x , 3y =5.
Zadanie 7.6
Obliczy obj to ci bry ograniczonych podanymi powierzchniami:
a x2 + y2 , 2y =0; z = x2 + y2; z =0; b x2 + y2 + z2 , 2z =0;
2 2
c* 2z = x2 + y2; y + z =4; d* x , 1 + y , 1 =1; z = xy; z =0.
Zadanie 7.7
Obliczy pola powierzchni podanych p at w:
a z = x2 + y2; x2 + y2 1;
b x2 + y2 + z2 = R2; x2 + y2 , Rx 0; z 0;
p
c z = x2 + y2 ; 1 z 2;
d* Satelita telekomunikacyjny jest umieszczony na orbicie geostacjonarnej po o onej w odleg o ci h = 400 km od
powierzchni Ziemi. Obliczy pole obszaru obj tego zasi giem tego satelity. Przyj , e promie Ziemi jest r wny
R = 6400 km.
Lista sma
Zadanie 8.1
Obliczy masy podanych obszar w o wskazanych g sto ciach powierzchniowych:
a D = x; y 2 R2 : 0 x ; 0 y sin x ; x; y = x;
b D = x; y 2 R2 : 1 x2 + y2 4; y 0 ; x; y = j xj .
Zadanie 8.2
Znale po o enia rodk w masy podanych obszar w jednorodnych D, gdzie:
a D | tr jk t r wnoramienny o podstawie a i wysoko ci h;
b D = x; y 2 R2 : 0 x ; 0 y sin2 x .
7
 Zadanie 8.3
Obliczy momenty bezw adno ci podanych obszar w wzgl dem wskazanych osi:
a D kwadrat jednorodny o boku a, moment obliczy wzgl dem przek tnej, przyj x; y =1;
p
b D = x; y 2 R2 : x2 + y2 R2; y 0 ; moment obliczy wzgl dem osi Ox, przyj x; y = x2 + y2 :
Zadanie 8.4
Obliczy parcie wody na p yt zasuwy turbiny elektrowni wodnej. Zasuwa jest ustawiona pionowo i ma kszta t kwadratu
o boku a = 1 m. G rna kraw d tej zasuwy jest pozioma i znajduje si H = 5 m pod poziomem wody.
Zadanie 8.5
Obliczy si , z jak jest przyci gana masa punktowa m = 100 kg przez jednorodne ko o o masie M = 100000 kg i
promieniu R = 4 m. Masa punktowa jest po o ona na wysoko ci H = 3 m nad rodkiem ko a.
Zadanie 8.6
Obliczy podane ca ki potr jne po wskazanych prostopad o cianach:
ZZZ
x dxdydz
a , V = 1; 2 1; e 1; e ;
yz
V
ZZZ
b x + y + z dxdydz, V = 1; 2 2; 3 3; 4 ;
V
ZZZ
c sin x sin x + y sin x + y + z dxdydz, V = 0; 0; 0; :
V
Zadanie 8.7
Podane ca ki potr jne zamieni na sumy iloczyn w ca ek pojedynczych:
ZZZ
h i h i
a sin x + y + z dxdydz, V = 0; 0; 0; ;
2 2
V
ZZZ
b z ln xyyx dxdydz, V = 1; e 1; e 0; 1 :
V
Zadanie 8.8
ZZZ
Ca k potr jn f x; y; z dxdydz zamieni na ca ki iterowane, je eli obszar V jest ograniczony powierzchniami o
V
r wnaniach:
p p
a z =2 x2 + y2; z =6; b x2 + y2 + z2 = 25, z =4, z 4 ; c z = x2 + y2; z = 20 , x2 , y2 .
Zadanie 8.9
W podanych ca kach iterowanych zmieni kolejno ca kowania rozwa y wszystkie przypadki :
p
p p
3
3, 3x, y 4,x2 ,y2
z
1 2, 2x 2 0 3 z,x2
2
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
a dx dy f x; y; z dz; b dx dy f x; y; z dz; c dz dx f x; y; z dy.
p p p p
0 0 0 , 2 0
, z
, 4,x2 4,x2 , z,x2
, ,y2
Lista dziewi ta
Zadanie 9.1
Obliczy podane ca ki potr jne z funkcji f po obszarze V , je eli:
a f x; y; z = ex + y + z ; V : x 0; ,x y 1; 0 z ,x;
1
b f x; y; z = ; V : x 0; y 0; 0 z 1 , x , y;
3x +2y + z +1 4
c f x; y; z = x2 + y2; V : x2 + y2 4; 1 , x z 2 , x.
8
 Zadanie 9.2
Wprowadzaj c wsp rz dne walcowe obliczy podane ca ki:
ZZZ,
2
a x2 + y2 + z2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 4; 0 z 1;
V
ZZZ
p p
b xyz dxdydz; gdzie V : x2 + y2 z 1 , x2 , y2 ;
V
ZZZ,
c x2 + y2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z2 R2; x2 + y2 + z2 2Rz.
V
Zadanie 9.3
Wprowadzaj c wsp rz dne sferyczne obliczy podane ca ki:
ZZZ
dxdydz
a p ; gdzie V : 4 x2 + y2 + z2 9;
x2 + y2 + z2
V
ZZZ,
p p
b x2 + y2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 z 1 , x2 , y2 ;
V
ZZZ
2
c z2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z , R R2;
V
ZZZ
d x2 dxdydz; gdzie V : x2 + y2 + z2 4x.
V
Zadanie 9.4
Obliczy obj to ci obszar w ograniczonych podanymi powierzchniami:
a x2 + y2 =9; x + y + z =1; x + y + z =5;
b x = ,1; x =2; z =4 , y2 ; z =2 + y2;
1
c z = ; z =0; x2 + y2 =1:
1 + x2 + y2
Zadanie 9.5
Obliczy masy podanych obszar w o zadanych g sto ciach obj to ciowych:
a V = 0; a 0; b 0; c ; x; y; z = x + y + z; a; b; c 0;
b V : x2 + y2 + z2 9; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 9.6
Wyznaczy po o enia rodk w masy podanych obszar w jednorodnych:
a V : 0 x 1; 0 y 1 , x; 0 z 1 , x;
b sto ek o promieniu podstawy R i wysoko ci H ;
p
c V : x2 + y2 z 2 , x2 , y2.
Zadanie 9.7
Obliczy momenty bezw adno ci wzgl dem wskazanych osi podanych obszar w jednorodnych o masie M :
a walec o promieniu podstawy R i wysoko ci H , wzgl dem osi walca;
b sto ek o promieniu podstawy R i wysoko ci H , wzgl dem osi sto ka;
c walec o promieniu podstawy R i wysoko ci H, wzgl dem rednicy podstawy;
1
d* cz kuli o promieniu R, wzgl dem jej osi symetrii.
8
9
 Zadanie 9.8
Obliczy si , z jak jednorodna kula o promieniu R i masie M przyci ga punkt materialny o masie m po o ony w
odleg o ci d od rodka kuli, d R.
Zadanie 9.9
Obliczy nat enie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie na adowany sto ek o promieniu podstawy R, wysoko ci
H i adunku ca kowitym Q; w swoim wierzcho ku.
Zadanie* 9.10
Podstaw jednorodnego ostros upa jest prostok t o wymiarach a = 40 cm, b = 30 cm. Jedna z kraw dzi ostros upa jest
prostopad a do p aszczyzny podstawy i ma d ugo h = 20 cm. Obliczy , jak daleko mo e wystawa ten ostros up poza
kraw d sto u, aby nie spad na pod og rysunek .
, ,
,
,
,
,
,
,
h
,
,
,
,
b
, ,
,
a
Lista dziesi ta
Zadanie 10.1
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ukach:
Z
dl
a p , , odcinek cz cy punkty 0; ,1 , 2; 0 ;
x2 + y2
,
Z
b xy dl, , cz okr gu x2 + y2 = R2 le ca w I wiartce uk adu;
,
Z
c* x + y dl, , wiartka okr gu x2 + y2 + z2 = R2, y = x le ca w pierwszym oktancie uk adu.
,
Zadanie 10.2
Obliczy d ugo ci podanych uk w:
a , : x = a t , sin t ; y = a 1 , cos t ; 0 t 2 ; a 0;
b , : jeden zw j linii rubowej o skoku h nawini tej na walec o promieniu r 0;
,t ,t ,t
c , : x = e cos t; y = e sin t; z = e ; 0 t 1.
Zadanie 10.3
Znale pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ograniczonej p aszczyznami z = ,x; z =5 + y.
Zadanie 10.4
Znale masy podanych uk w o wskazanych g sto ciach liniowych:
a , : x = a cos t; y = b sin t; 1 t 2 ; x; y = j yj ;
p
t2 t3
b , : x = t; y = ; z = ; 0 t 1; x; y; z = 2y;
2 3
c , : x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 10.5
Okre li wsp rz dne rodk w masy podanych uk w jednorodnych:
a
,x=a
a linia a cuchowa y = ex=a + e , ,a x a;
2
b x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ;
c brzeg tr jk ta sferycznego x2 + y2 + z2 =1, x 0, y 0, z 0;
10
 Zadanie 10.6
Znale momenty bezw adno ci podanych uk w jednorodnych wzgl dem wskazanych osi, przyj =1:
0
a brzeg kwadratu o bokach a, wzgl dem przek tnej;
b odcinek AB, gdzie A = 1; 2; 3 , B = 3; 5; 4 , wzgl dem osi Oz;
c , : x = a cos t; y = a sin t; z = bt; 0 t 2 ; wzgl dem osi Ox.
Zadanie 10.7
Obliczy nat enie pola elektrycznego pochodz cego od adunku Q roz o onego r wnomiernie na brzegu kwadratu o boku
a: Nat enie pola obliczy w punkcie po o onym w odleg o ci d nad jednym z wierzcho k w kwadratu.
Zadanie 10.8
Obliczy si , z jak p okr g o masie M i promieniu R przyci ga mas punktow m po o on w rodku p okr gu.
Lista jedenasta
Zadanie 11.1
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych p l wektorowych po wskazanych ukach zorientowanych zgodnie
ze swoj parametryzacj :
,
~
a F x; y = x2 + y2; xy ; , : x = t; y = et; t 2 0; 1 ;
~
b F x; y; z = yz; xz; xy , : x = cos t; y = sin t; z = t; t 2 0; 2 ;
~
c F x; y; z = y; z; x ; , odcinek AB, gdzie A = 1; ,1; 2 , B = 0; 2; 3 :
Zadanie 11.2
Obliczy ca ki krzywoliniowe z podanych p l wektorowych po ukach okre lonych wskazanymi r wnaniami orientacja
uku jest zgodna ze wzrostem parametru x :
~
a F x; y = x , y; x + y , , : y = sin x; 0 x ;
~
b F x; y = ln x; ln y , , : y = x2; 1 x e:
Zadanie 11.3
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ukach zamkni tych:
I
a xy dx + x2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 0; 0 , B = 1; 2 , C = ,1; 4 ; zorientowany
,
dodatnio;
I
b x2y dx + xy y +1 dy, , okr g x2 + y2 +2y =0; zorientowany dodatnio;
,
I
c 3x +5z dx + x +4y dy + 6x , z dz, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 2; 0; 0 , B = 0; 2; 0 ,
,
C = 0; 0; 2 ; obiegany w kolejno ci ABCA:
Zadanie 11.4
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych p l wektorowych po dowolnym uku o pocz tku A
i ko cu B:
~
a F x; y = x; y , A = 1; 1 , B = ,1; ,2 ;
~
b F x; y = sin x cos y; cos x sin y , A = ; , B = ; ;
2 2
,
~
c F x; y; z = x2 , 2yz; y2 , 2xz; z2 , 2xy , A = 0; 0; 0 , B = 1; 1; 1 :
Zadanie 11.5
Sprawdzi , e podane ca ki krzywoliniowe nie zale od kszta tu krzywej ca kowania i nast pnie obliczy te ca ki:
1;
2
Z
a ex cos y dx , ex sin y dy;
0;0
11
 1;2
Z
y 1
b dx , dy; wzd u uku nie przechodz cego przez o Oy;
x2 x
2;1
2;3;4
Z
, , ,
c x2 , 2yz dx + y2 , 2xz dy + z2 , 2xy dz:
1;1;1
Zadanie 11.6
Wykorzystuj c twierdzenie Greena obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi wynik obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
I,
,
a 1 , x2 y dx + x 1 + y2 dy, , okr g x2 + y2 = R2; zorientowany dodatnio;
,
I, ,
b x + y2 dx + x2 + y2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 1; 1 , B = 3; 2 , C = 2; 5 ;
,
zorientowany dodatnio;
I
c ex 1 , cos y dx , ex y , sin y dy, , brzeg obszaru 0 x , 0 y sin x; zorientowany dodatnio.
,
Zadanie 11.7
Za pomoc ca ki krzywoliniowej zorientowanej obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi ukami zamkni tymi:
a elipsa , : x = a cos t; y = b sin t; t 2 0; 2 ;
b kardioida , : x = 2 cos t , cos 2t; y = 2 sin t , sin 2t; t 2 0; 2 :
Zadanie 11.8
Obliczy prac w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ukach zorientowanych:
,
~
a F x; y = 2xy; x2 , dowolny uk , cz cy punkty A = 1; 0 ; B = 0; 3 ;
~
b F x; y; z = xy; y + z; z ; wzd u uku , : x = cos t; y = sin t; z = t od punktu A = 1; 0; 0 do punktu B = ,1; 0; ;
~
c F x; y; z = ,x; ,y; ,z wzd u dowolnego uku , cz cego, nale cy do sfery x2 + y2 + z2 = r2; punkt A =
x1 ; y1; z1 ; z punktem B = x2; y2; z2 , nale cym do sfery x2 + y2 + z2 = R2:
Lista dwunasta
Zadanie 12.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych p atach:
ZZ,
a x2 + y2 dS, sfera x2 + y2 + z2 = R2;
ZZ
b x + y + z dS, cz p aszczyzny x + y + z = 1 po o ona w pierwszym oktancie uk adu;
ZZp
p
c x2 + y2 dS, powierzchnia boczna sto ka z = x2 + y2 , z 3:
Zadanie 12.2
Obliczy pola powierzchni podanych p at w:
a | cz p aszczyzny 2x +3y + z , 6 = 0 wyci ta przez walec x2 + y2 =4;
b | cz paraboloidy z = x2 + y2 odci ta przez p aszczyzn z = h, gdzie h 0;
c | powierzchnia boczna sto ka ci tego o promieniach podstaw r; R i wysoko ci h, gdzie r R;
d | cz powierzchni Ziemi zawarta mi dzy po udnikami 45 i 60 W oraz r wnole nikami 60 i 80 N. Przyj , e
promie Ziemi jest r wny 6370 km.
12
 Zadanie 12.3
Znale masy podanych p at w o wskazanych g sto ciach powierzchniowych:
a powierzchnia sze cianu 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1; x; y; z = xyz;
p
b z = R2 , x2 , y2 ; x; y; z = z;
p p
c z = x2 + y2 ; z 1; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Zadanie 12.4
Znale po o enia rodk w masy podanych jednorodnych p at w materialnych:
a x + y + z =4; x2 + y2 1;
p
b z =2 x2 + y2; 2 z 6;
c z = x2 + y2; x 0; z 1;
d sze cienne pude ko o kraw dzi a otwarte od g ry .
Zadanie 12.5
Znale momenty bezw adno ci podanych jednorodnych p at w materialnych wzgl dem wskazanych osi:
a sfera o promieniu R i masie M , wzgl dem rednicy;
b paraboloida z = x2 + y2; z h; o g sto ci powierzchniowej masy = , wzgl dem osi Oz;
0
c powierzchnia o mio cianu j xj + j yj + j zj = a o masie M; wzgl dem osi Oz;
d powierzchnia boczna walca x2 + y2 = R2; ,H z H , o masie M; wzgl dem osi Ox:
Zadanie 12.6
Znale si , z jak powierzchnia boczna sto ka o promieniu podstawy r i wysoko ci h; na adowana r wnomiernie adun-
kiem Q; przyci ga adunek punktowy q umieszczony w rodku podstawy sto ka.
Zadanie 12.7
Obliczy nat enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej p sfery o masie M i promieniu R; w
rodku tej p sfery.
Lista trzynasta
Zadanie 13.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
a xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , zewn trzna strona powierzchni czworo cianu ograniczonego p aszczyznami

x =0, y =0, z =0, x + y + z =1;
ZZ
b xdydz + yz dzdx + z dxdy , zewn trzna strona powierzchni sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;

ZZ
p
c x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ; g rna strona powierzchni sto ka z = x2 + y2 , z 1;
ZZ
d z2 dxdy , zewn trzna strona sfery x2 + y2 + z2 =4:

Zadanie 13.2
Niech funkcje f; g maj wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze V R3: Sprawdzi , e :
f g grad f , f grad g
a grad = ;
g g2
0
b grad h f = h f grad f, gdzie h jest funkcj r niczkowaln na pewnym przedziale.
Zadanie 13.3
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
13
~
a rot grad U = 0, gdzie U jest funkcj maj c ci g e wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du na obszarze
V R3;
b rot f~ = grad f ~ gdzie f jest funkcj maj c wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze
c c,
V R3; a ~ jest ustalonym wektorem.
c
Zadanie 13.4
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
a div F G = G rot F , F rot G, gdzie pola wektorowe F i G s r niczkowalne na obszarze V R3;
~ ~
b div rot F = 0, gdzie pole wektorowe F ma sk adowe dwukrotnie r niczkowalne w spos b ci g y na obszarze
V R3:
Zadanie 13.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczy podane ca ki powierzchniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki
obliczaj c te ca ki bezpo rednio:
ZZ
a 2xy dydz , y2 dzdx +2z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 + z2 9, x 0, y 0, z 0;

ZZ
b x + z dydz + x + y dzdx + y + z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 R2, x + y + z

R, z 0;
ZZ
c x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , wewn trzna strona powierzchni walca V : x2 + y2 R2; 0 z H:

Lista czternasta
Zadanie 14.1
Korzystaj c z twierdzenia Stokesa obliczy podane ca ki krzywoliniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
I
a x2y3 dx + dy + z dz, , okr g x2 + y2 = R2, z =0; zorientowany dodatnio;
,
I
b x dx + x + y dy + x + y + z dz, , : x = sin t; y = cos t; z = sin t + cos t; t 2 0; 2 ;
,
I
c y + z dx + z + x dy + x + y dz, , okr g x2 + y2 + z2 = R2, x = y:
,
Zadanie 14.2
Obliczy strumienie podanych p l wektorowych przez wskazane p aty:
x 2z
~
a F x; y; z = ; z2 , x2; , powierzchnia ca kowita walca z = x2 + y2 R2, 0 z H ;
3 3
!
,x ,y ,z
~
b F x; y; z = p ; p ; p , powierzchnia zewn trzna sfery x2 + y2 + z2 =
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
R2;
~
c F x; y; z = 5x + z; x , 3y; 4y , 2z , g rna cz p aszczyzny x + y + z = 2 odci ta p aszczyznami uk adu
wsp rz dnych.
Zadanie* 14.3
Wyprowadzi prawo Archimedesa.
Zadanie 14.4
Obliczy cyrkulacje podanych p l wektorowych wzd u wskazanych uk w zamkni tych:
,
2
~
a F x; y; z = y2; x + y ; z ; , amana zamkni ta cz c punkty A = 1; 0; 0 , B = 0; 1; 0 , C = 0; 0; 1 ;
2
~
b F x; y; z = y; 1 , x; ,z ; , uk zamkni ty otrzymany w wyniku przeci cia powierzchni walca x , 1 + y2 =1 z
2
p sfer x , 2 + y2 + z2 =4, z 0:
14