MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 1
ZADANIE 3
Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH
ZADANIE 3
Z1/3.1. Rama płaska numer 1
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.1 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.1. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.2.
I
II
A
1
2 3 4
Rys. Z1/3.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/3.2 liczba tarcz wynosi 2, liczba prętów podporowych wynosi 4 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 1. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"2=4Å"1ƒÄ…1Å"2 . (Z1/3.1)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 2
ZADANIE 3
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.3.
II
A
4
Rys. Z1/3.3. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.2. Rama płaska numer 2
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.4 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.4. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.5.
Jak widać na rysunku Z1/3.5 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 3
ZADANIE 3
I
II
B
A
III
1 5
C
2 3 4
Rys. Z1/3.5. Zastępczy układ tarcz sztywnych
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/3.2)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.6.
II
B
A
III
5
C
4
Rys. Z1/3.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem
fikcyjnym C utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej.
Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec
tego sÄ… one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.3. Rama płaska numer 3
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.7 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 4
ZADANIE 3
Rys. Z1/3.7. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.8.
B
I
II
III
D
1 4
A C
2 3
5
Rys. Z1/3.8. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/3.8 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/3.3)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów
podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.9.
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym D oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub D nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 5
ZADANIE 3
III
D
5
Rys. Z1/3.9. Zastępcza tarcza sztywna
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.4. Rama płaska numer 4
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.10 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.10. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.11.
B
I
II
III
E
D
IV
1 4 6
C
A
F
2 3 5
Rys. Z1/3.11. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 6
ZADANIE 3
Jak widać na rysunku Z1/3.11 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"4=6Å"1ƒÄ…3Å"2 . (Z1/3.4)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów
podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.12.
III
E
D
IV
6
F
5
Rys. Z1/3.12. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi D i E oraz
przegubem fikcyjnym F utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego sÄ… one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.5. Rama płaska numer 5
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.13 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.14.
Jak widać na rysunku Z1/3.14 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/3.5)
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 7
ZADANIE 3
Rys. Z1/3.13. Rama płaska
A
I
II
III
B
3
2
1 4
5
Rys. Z1/3.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.15.
A
II
III
B
4 5
Rys. Z1/3.15. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 8
ZADANIE 3
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.16.
III
B
5
Rys. Z1/3.16. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.6. Rama płaska numer 6
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.17 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.17. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.18.
Jak widać na rysunku Z1/3.18 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"4=6Å"1ƒÄ…3Å"2 . (Z1/3.6)
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 9
ZADANIE 3
A
I
II
III
C
B
3
IV
2
6
D
1 4 5
Rys. Z1/3.18. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.19.
A
II
III
C
B
IV
6
D
4 5
Rys. Z1/3.19. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.20.
Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz
przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego sÄ… one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 10
ZADANIE 3
III
C
B
IV
6
D
5
Rys. Z1/3.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Z1/3.7. Rama płaska numer 7
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.21 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.21. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.22.
Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/3.7)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.23.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 11
ZADANIE 3
A
I II
III
B
3
2
1 4
5
Rys. Z1/3.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych
A
II
III
B
4 5
Rys. Z1/3.23. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.24.
III
B
5
Rys. Z1/3.24. Zastępcza tarcza sztywna
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 12
ZADANIE 3
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/3.8. Rama płaska numer 8
Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.25 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/3.25. Rama płaska
W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ
prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.26.
A
I
II
III
C
B
3
IV
2
6
D
1 5
4
Rys. Z1/3.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 13
ZADANIE 3
3Å"4=6Å"1ƒÄ…3Å"2 . (Z1/3.8)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.27.
A
II
III
C
B
IV
6
D
4 5
Rys. Z1/3.27. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.28.
III
C
B
IV
6
D
5
Rys. Z1/3.28. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz
przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego sÄ… one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni