MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 1
ZADANIE 2
Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH
ZADANIE 2
Z1/2.1. Belka złożona numer 1
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.1 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.1. Belka złożona
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.2.
I II III
1
A B
2 3
4 5
Rys. Z1/2.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.2 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/2.1)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.3.
II III
B
A
4 5
Rys. Z1/2.3. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 2
ZADANIE 2
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/2.4.
III
B
5
Rys. Z1/2.4. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.2. Belka złożona numer 2
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.5 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.5. Belka złożona
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.6.
I II III
1
A B
2 3
4 5
Rys. Z1/2.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.6 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/2.2)
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 3
ZADANIE 2
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.7.
II III
B
A
"
4 5
C
Rys. Z1/2.7. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem
fikcyjnym C znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5.
Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.3. Belka złożona numer 3
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.8 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.8. Belka złożona
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.9.
I II III
1
A B
2
3
4 5
Rys. Z1/2.9. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.9 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 4
ZADANIE 2
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/2.3)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.10.
II III
B
A
4 5
Rys. Z1/2.10. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/2.11.
III
B
5
Rys. Z1/2.11. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.4. Belka złożona numer 4
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.12 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.12. Belka złożona
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 5
ZADANIE 2
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.13.
I II III
1
A B
2
3
4 5
Rys. Z1/2.13. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.13 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/2.4)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.14.
II III
B
A
"
4 5
C
Rys. Z1/2.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem
fikcyjnym C znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5.
Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.5. Belka złożona numer 5
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.15 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.16.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 6
ZADANIE 2
Rys. Z1/2.15. Belka złożona
I II III
1
B D
2
4 5
3
Rys. Z1/2.16. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.16 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"3=5Å"1ƒÄ…2Å"2 . (Z1/2.5)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
I II III
A
1
B D
"
2
3
4 5
C
Rys. Z1/2.17. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Zgodnie z rysunkiem Z1/2.17 tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym
A utworzonym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym
C znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby
nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych
tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne i mogą stanowić podłoże dla tarczy numer
III. Przedstawia to rysunek Z1/2.18.
D
III
5
Rys. Z1/2.18. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym D oraz prętem podporowym numer 5.
Przegub D nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 7
ZADANIE 2
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.6. Belka złożona numer 6
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.19 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.19. Belka złożona
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.20.
I II III IV
1
A B C
2
5 6
4
3
Rys. Z1/2.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.20 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
3Å"4=6Å"1ƒÄ…3Å"2 . (Z1/2.6)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.21.
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.22.
Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz
przegubem fikcyjnym D znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 5 i
6. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 8
ZADANIE 2
II III IV
A B C
5 6
4
Rys. Z1/2.21. Zastępczy układ tarcz sztywnych
III IV
C
B
5 6
"
D
Rys. Z1/2.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z1/2.7. Belka złożona numer 7
Sprawdzić czy belka złożona przedstawiona na rysunku Z1/2.23 jest układem geometrycznie
niezmiennym.
Rys. Z1/2.23. Belka złożona
W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów
podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.24.
I
I II III IV
1
A B C
2 3 5 6
4
Rys. Z1/2.24. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z1/2.24 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast
liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni
MO Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PA
ASKICH UKA
ADÓW PR
TOWYCH 9
ZADANIE 2
3Å"4=6Å"1ƒÄ…3Å"2 . (Z1/2.7)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić warunki
dostateczne geometrycznej niezmienności.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.25.
II III IV
A B C
5 6
4
Rys. Z1/2.25. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub
A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.26
III IV
C
B
5 6
"
D
Rys. Z1/2.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych
Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz
przegubem fikcyjnym D znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 5 i
6. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.
Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że
belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Dr inż. Janusz Dębiński Zaoczni