Matematyka w Fizyce, Zadania, Zestaw 2.
1. Wykazać, że kąt przy wierzchołku A w trójkącie o wierzchołkach A(1,0), B(-1,1), C(3, 4) jest prosty i
znalez
ć tangensy kątów przy B i C.
2. W wierzchołkach A1, A2, A3 trójkąta znajdują się odpowiednio masy m1, m2, m3 dodatnie, ujemne
lub równe zeru o łącznej sumie m1+m2+m3 =1. Znając współrzędne Ak(xk, yk), k=1, 2, 3, znalez
ć
współrzędne x, y środka ciężkości danych mas.
3. Znalez
ć równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty A(x1, y1) i B(x2, y2).
4. Znalez
ć sposób wyznaczenia kąta między dwiema prostymi w przestrzeni 2 - wymiarowej.
5. Pokazać, że pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(x1, y1), B(x2, y2), C(x1, y1) wyraża się wzorem:
%ABC%=
6. Wykazać, że pole trójkąta A'B'C', którego wierzchołki są środkowymi boków trójkąta ABC o wierz-
chołkach A(4,1), B(2,4), C(-2,2) jest 4 razy mniejsze od pola %ABC%.
7. Zbadać, czy punkty A, B, C leżą na jednej prostej:
a) A(2,-3), B(0,1), C(-1,3)
b) A(2,0), B(1,2), C(-1,3)
8. Obliczyć pole czworokąta o wierzchołkach A(4,0), B(3,3), C(0,2), D(2,-1).
9. Znalez
ć iloczyn skalarny wektorów i łączących punkty A(2, 1, -3) , B(1, 3, 0) i C(-1, 2, 3),
D(1, 2, 3).
10. Pokazać, że pole T trójkąta o wierzchołkach Ak(xk, yk, zk), k=1, 2, 3, można wyrazić przy pomocy
iloczynu wektorowego następującym wzorem:
T = % × %
11. Znalez
ć środek okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach A = (75, 75), B = (175, 0),
C = (147, -21).
12. Dowieść, że dwusieczne dwóch kątów zewnętrznych trójkąta i dwusieczna trzeciego kąta
wewnętrznego przecinają się w jednym punkcie. (kąt zewnętrzny trójkąta to kąt dopełniający kąt
wewnętrzny do Ą)
13. Trójkąt ma boki o równaniach: 2x-y+3=0, x-2y+1=0, 2x+3y+1=0. Znalez
ć równanie wysokości
prostopadłej do trzeciego boku.
14. Pokazać, że dla płaszczyzny danej równaniem: Ax+By+Cz+D=0 wektor = [A, B, C] jest
prostopadły do tej płaszczyzny.
15. Znalez
ć kąt między prostymi w przestrzeni trójwymiarowej.
16. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: A( , , ), B( , , ),
C( ), D( , , ).
Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:
Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona
1