Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 22
WZÓR BAYESA. SCHEMAT BERNOULLIEGO
1. Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń
Niech A, B �"� i P(B) > 0 . Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło
zdarzenie B, nazywamy liczbę
P( A )" B)
P( A B) = .
P(B)
Przykład 1. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest licz-
bą parzystą, jeżeli jest ona liczbą mniejszą od 6?
Rozwiązanie. Przyjmijmy: A - zdarzenie:  suma oczek jest liczbą parzystą , B - zdarzenie:  suma oczek
jest mniejsza od 6 . Szukane prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem warunkowym P( A B) .
Zdarzenia elementarne można utożsamiać z parami postaci (i , j ) , gdzie i, j są dowolnymi liczbami spośród
1, 2, 3, 4, 5, 6. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest więc n(�) = 36 .
B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (2 ,1), (2 ,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4 ,1) }, zatem n(B) =10 .
A )" B = {(1,1), (1,3), (2 ,2), (3,1) } , czyli n(A )" B) = 4 .
W takim razie:
1
P( A )" B) 2
n(B) 10 5 n(A )" B) 4 1
9
P(B) = = = , P(A )" B) = = = , P( A B) = = = .
n(�) 36 18 n(�) 36 9 5
P(B) 5
18
Zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi , jeżeli P( A )" B) = P( A) �" P(B) . W przypad-
ku, gdy warunek ten nie zachodzi zdarzenia nazywamy zależnymi.
Uwaga. Jeżeli zdarzenia A i B o dodatnich prawdopodobieństwach są niezależne, to P( A B) = P( A)
oraz P(B A) = P(B) .
Przykład 2. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Zdarzenia A i B określamy następująco: A - suma
oczek jest mniejsza od 5, B - na obu kostkach wypadła ta sama liczba oczek. Sprawdzić, czy zdarzenia te są
niezależne.
Rozwiązanie. Korzystając częściowo z rozważań z poprzedniego przykładu mamy: wszystkich zdarzeń ele-
mentarnych jest 36.
A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2 ,2), (3,1) } , zatem n(A) = 6 .
B = {(1,1), (2 ,2), ( 3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } , czyli n(B) = 6 .
A )" B = {(1,1), (2 ,2) }, n(A )" B) = 2 .
n(A) 6 1 n(B) 6 1 n(A )" B) 2 1
Stąd P(A) = = = , P(B) = = = , P(A )" B) = = = , a to oznacza, że
n(�) 36 6 n(�) 36 6 n(�) 36 18
warunek P( A )" B) = P( A) �" P(B) nie jest spełniony. Zatem zdarzenia są zależne.
Wykład 22. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego
2
2. Prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa
Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całkowitym). Jeżeli zdarzenia A1, A2 , A3,..., An o dodatnich
prawdopodobieństwach wykluczają się parami ( Ai )" Aj = " gdy i `" j ) oraz
A1 *" A2 *" A3*"...*"An = � , to dla dowolnego zdarzenia B �" � zachodzi wzór:
P(B) = P( A1) �" P(B A1) + P( A2 ) �" P(B A2 ) + ... + P( An ) �" P(B An ) .
Przykład 3. Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jedną kulę i nie sprawdzając jej
koloru przekładamy do drugiej urny zawierającej 3 kule białe i 7 czarnych. Następnie z urny drugiej losuje-
my jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała?
Rozwiązanie. Oznaczmy przez
B - zdarzenie:  wylosowana z drugiej urny kula jest biała ,
A1 - zdarzenie:  z urny pierwszej do drugiej przełożono kulę czarną ,
A2 - zdarzenie:  z urny pierwszej do drugiej przełożono kulę białą .
Zdarzenia A1 , A2 spełniają warunki:
6 3 4 2
P( A1) = = > 0, P( A2 ) = = > 0, A1 *" A2 = �, A1 )" A2 = " .
10 5 10 5
Spełnione są więc założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:
P(B) = P( A1) �" P(B A1) + P( A2 ) �" P(B A2 ) .
3 4 3 3 2 4 17
Ponieważ P(B A1) = , P(B A2 ) = , to P(B) = �" + �" = .
11 11 5 11 5 11 55
Twierdzenie (Bayesa). Jeżeli zdarzenia A1, A2 , A3,..., An o dodatnich prawdopodobieństwach wyklu-
czają się parami ( Ai )" Aj = " gdy i `" j ) oraz A1 *" A2 *" A3*"...*"An = � , to dla dowolnego zdarze-
nia B �"� o dodatnim prawdopodobieństwie zachodzi wzór:
P( Ai ) �" P(B Ai )
P( Ai B) = .
P( A1) �" P(B A1) + P( A2 ) �" P(B A2 ) + ... + P( An ) �" P(B An )
Przykład 4. W hurtowni znajdują się detale pochodzące z trzech fabryk F1 , F2 , F3 . Zapotrzebowanie
pokrywane jest przez fabryki odpowiednio w 50%, 30% i 20%. Produkcja tych fabryk zawiera odpowiednio
1%, 2%, 3% braków. Wybrany losowo detal jest dobry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukowała
go trzecia fabryka?
Rozwiązanie. Oznaczmy przez
B - zdarzenie:  wylosowany detal jest dobry ,
Ai - zdarzenie:  wylosowany detal pochodzi z fabryki Fi , (i = 1, 2, 3).
Wówczas szukane prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem warunkowym P( A3 B) . Ze wzoru
Bayesa mamy
2 97
�"
P(A3) �" P(B A3)
194
10 100
P(A3 B) = = = .
5 99 3 98 2 97
P(A1) �" P(B A1) + P(A2 ) �" P(B A2 ) +P(A3) �" P(B A3) 983
�" + �" + �"
10 100 10 100 10 100
Wykład 22. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego
3
3. Schemat Bernoulli ego. Twierdzenia Moivre a - Laplace a
Rozpatrzmy n niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia. Zakładamy, że każde z doświad-
czeń kończy się jednym z dwóch wyników. Przy tym jeden, umownie zwany sukcesem, zachodzi z prawdo-
podobieństwem p, drugi - zwany porażką , zachodzi z prawdopodobieństwem q = 1- p . Mówimy wtedy,
że mamy do czynienia ze schematem n prób Bernoulli ego.
Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k sukcesów (przy dokładnie n - k poraż-
kach) w n próbach Bernoulli ego jest równe
n
�# ś#
Pn (k) = pk qn-k .
ś# ź#
�# k #
1
Przykład 5. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe . W rodzinie jest pięcioro dzieci.
2
Jakie jest prawdopodobieństwo, że są tam: a) dokładnie trzej chłopcy, b) co najmniej trzej chłopcy.
Rozwiązanie. Mamy tu do czynienia ze schematem 5 prób Bernoulli ego, gdzie sukcesem jest urodzenie się
1
chłopca z prawdopodobieństwem w jednej próbie p = . Szukane prawdopodobieństwa wynoszą odpo-
2
wiednio:
5
�# ś# 1 1 5! 1 5
a) P5(3) = �" ( )3 �" ( )2 = �" = .
ś#3ź#
2 2 3! �" 2! 32 16
�# #
55
�# ś# �# ś#
51 1 1 1
b) P5(k e" 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) = + �" ( )4 �" ( )1 + �" ( )5 �" ( )0 =
ś# ś#5ź#
16 4ź# 2 2 2 2
�# # �# #
5 5! 1 5! 1 5 5 1 1
= + �" + �" = + + = .
16 4! �"1! 32 5! �" 0! 32 16 32 32 2
Tabela prawdopodobieństw uzyskania k sukcesów w n próbach Bernoulli ego
k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6
P1(k) q p
P2(k) q2 2pq p2
P3(k) q3 3pq2 3p2q p3
P4(k) q4 4pq3 6p2q2 4p3q p4
P5(k) q5 5pq4 10p2q3 10p3q2 5p4q p5
P6(k) q6 6pq5 15p2q4 20p3q3 15p4q2 6p5q p6
Przykład 6. Prawdopodobieństwo uzyskania orła w pojedynczym rzucie pewną niesymetryczną monetą
2
wynosi . Rzucono 4 razy tę monetę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uzyskano a) dokładnie trzy orły,
5
b) co najmniej dwa orły.
Rozwiązanie. Mamy tu do czynienia ze schematem 4 prób Bernoulli ego, gdzie sukcesem jest wyrzucenie
2
orła z prawdopodobieństwem w jednej próbie p = . Szukane prawdopodobieństwa wynoszą ( przy wyko-
5
rzystaniu powyższej tabeli) odpowiednio:
3
2 3 96
a) P4 (3) = 4 p3q = 4 �"�# ś# �" = .
ś# ź#
5 5 625
�# #
Wykład 22. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego
4
43
3 2 3 81 216 328
�# ś# �# ś#
b) P4 (k e" 2) = 1- P4(0) - P4 (1) = 1- q4 - 4 pq3 = 1- - 4�" �" = 1- - = .
ś# ź# ś# ź#
5 5 5 625 625 625
�# # �# #
Obliczanie prawdopodobieństw Pn (k) oraz ich sum, w przypadku dużych n, jest połączone z pewnymi
trudnościami. W sposób przybliżony prawdopodobieństwa te dają się wyrazić z pomocą tzw. funkcji Gaussa
i funkcji Laplace a.
x2
-
1
2
Funkcją Gaussa nazywamy funkcję �(x) = e . Jest to funkcja parzysta, tzn. �(-x) = �(x) . Wy-
2Ą
kres funkcji przedstawiony jest na rys.1.
Funkcja osiąga maksimum w punkcie x0 = 0 wy-
Y
1
0,5
noszące H" 0,399 . Wykres funkcji ma dwa
2Ą
1
0,375
2Ą
punkty przegięcia P1 oraz P2 o odciętych x1 = -1,
x2 = 1.
x2
-
1
2
P1 0,25 P2 y = e
Poza przedziałem - 5;5 wartości funkcji są prak-
2Ą
tycznie równe zeru.
0,125
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X
Rys. 1
Przybliżone wartości funkcji � dla dodatnich argumentów x zawiera tablica 1.
Przykład 7. Na podstawie tej tablicy i własności funkcji � mamy
�(1,92) = 0,0632, �(-2,1) = �(2,1) = 0,044, �(4,5) = 0 .
2
x t
-
1
2
Funkcją Laplace a nazywamy funkcję Ś(x) = e dt . Z własności całki oznaczonej wynika, że
+"
2Ą
0
jest to funkcja nieparzysta, tzn. Ś(-x) = -Ś(x) . Interpretacja geometryczna całki występującej w definicji
(dla x > 0 ) oraz wykres funkcji przedstawione są na rys.2.
y = Ś(x)
Y
0,5
0,5
1
0,375 0,25
2Ą
x2
-
1
2
0,25
y = e
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X
2Ą
-0,25
0,125
Ś(x)
-0,5
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X
Rys. 2
Przybliżone wartości funkcji Ś dla dodatnich argumentów x umieszczone są w tablicy 2.
Wykład 22. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego
5
Przykład 8. Na podstawie tablicy 2. i własności funkcji Laplace a mamy
Ś(1,2) = 0,3849, Ś(-2,5) = -Ś(2,5) = -0,4937, Ś(3,9) = 0,49995 .
Twierdzenie (lokalne Moivre a - Laplace a). Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w pojedyn-
czym doświadczeniu jest równe p, to prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w n próbach
Bernoulli ego wyraża się wzorem przybliżonym:
k - np
1
Pn (k) H" �"�(x) , gdzie � jest funkcją Gaussa, x = , q = 1 - p .
npq npq
Przykład 9. Obliczyć prawdopodobieństwo, że strzelec trafił do celu dokładnie 90 razy, jeżeli oddał on
serię 400 strzałów, a prawdopodobieństwo trafienia w pojedynczym strzale wynosi p = 0,2 .
Rozwiązanie. Mamy tutaj n = 400, k = 90, p = 0,2, q = 0,8 . Stąd npq = 8 ,
k - np 90 - 400 �" 0.2
x = = =1,25 i tym samym na mocy wzoru Moivre a-Laplace a:
8
npq
11
P400(90) H" �(1,25) = �" 0,18265 = 0,02283 .
88
Twierdzenie (integralne Moivre a - Laplace a). Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w poje-
dynczym doświadczeniu jest równe p, to prawdopodobieństwo zajścia od k1 do k2 sukcesów w n próbach
Bernoulli ego wyraża się wzorem przybliżonym:
Pn (k1 d" k d" k2 ) H" Ś(x2 ) - Ś(x1) ,
1 1
k1 - - np k2 + - np
2 2
gdzie Ś jest funkcją Laplace a , x1 = , x2 = , q = 1 - p .
npq npq
Przykład 10. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 10 000 rzutów monetą liczba orłów będzie zawarta
między 4950 a 5100.
Mamy tutaj n = 10 000, k1 = 4950, k2 = 5100, p = q = 0,5 . Zatem npq = 10000 �" 0,5�" 0,5 = 50 ,
k1 - 0,5 - np 4950 - 0,5 - 5000 k2 + 0,5 - np 5100 + 0,5 - 5000
x1 == = -1,01 , x2 == = 2,01.
50 50
npq npq
P10 000(4950 d" k d" 5100) H" Ś(2,01) - Ś(-1,01) = Ś(2,01) + Ś(1,01) = 0,4779 + 0,3438 = 0,8217 .