Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności - interpretacja
" Fizyka klasyczna
 dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością
aparatury pomiarowej
 Nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą
być wykonane pomiary
" Mechanika kwantowa
 Obowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości
fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolną
dokładnością
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru pędu i położenia:
"x"px e" / 2
Przykład. Pęd poruszającego się z prędkością v=5000m/s elektronu zmierzono
z dokładnością ą0.003%. Z jaką maksymalną dokładnością można było
Proces pomiaru zaburza stan układu
wyznaczyć położenie tego elektronu?
"x e" = 3.84 Å"10-3mm
2"p
Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności energii
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i
"x"px e" / 2
czasu:
" Piłka o masie m=0.1kg porusza się z
prędkością v= 40 m/s
"E"Ä e" / 2
" Jej pęd p= 0.1 x 40kg = 4 kg m/s
Przykład: Czas przebywania atomu sodu
" Pęd zmierzono z dokładnością do 0.01%
w stanie wzbudzonym zmierzono z
"
dokładnością "t=1.6 10-8 s. Z jaką
"p = 0.01 p = 4 x 10-4 kg m/s
"
"
"
maksymalną dokładnością można było
" Dokładność wyznaczenia położenia:
wyznaczyć wartość energii tego stanu?
h
"x e" = 1.3×10-31m
"E e" H" 2Å"10-8eV
2"p
2"t
CzÄ…stka swobodna
Cząstka w studni potencjału
Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola.
1. Przypadek klasyczny
Energia potencjalna czÄ…stki U(x)=0.
2 2
d ¨
- = E¨(x)
Znajdująca się w głębokiej studni
2m
dx2
piłka może posiadać dowolną ener-gię
Szukamy rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin(kx)
kinetycznÄ….
2
W szczególnym przypadku gdy
- A(-k2)sin(kx) = EAsin(kx)
znajduje siÄ™ w spoczynku na dnie
2m
studni posiada energię całkowitą
2
równą zeru .
k2Asin(kx) = E Asin(kx)
2m
Funkcja ¨(x)=A sin(kx) bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem gdy:
2
k2
E =
2m
Cząstka w studni potencjału Cząstka w studni potencjału
2. Przypadek kwantowy
W obszarze studni czÄ…stka jest czÄ…stkÄ… swobodnÄ….
x "(0, L)
Szukamy wiec rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin( kx+Ä…) .
Energia potencjalna
2 2
2
Warunku brzegowy dla x=0 :
¨(0) = A [sin(k Å"0 +Ä…)] = 0
Å„Å‚" dla x "(-",0)*" (L,")
U(x) = spełniony jest jedynie gdy ą=0 .
òÅ‚0 dla x "(0, L)
ół
2 2
2
Warunku brzegowy dla x= L :
¨(L) = A [sin(k Å" L)] = 0
2 2
Warunki brzegowe:
¨(0) = ¨(L) = 0
spełniony jest jedynie gdy kL=nĄ .
2 2
2
nĄ
k2 Ä„
k = oraz
E = skÄ…d
2 2 E = n2
d ¨ L
2m
2mL2
Równanie Schroedingera:
- = E¨
2m
dx2
n = 0, 1, 2, 3, ...
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
W nieskończonej studni potencjału energia cząstki może przyjmować
Pytanie: czy n może być równe zeru?
tylko pewne ściśle określone, różne od zera wartości:
2 2
Dla n=0 energia k=0 oraz ¨(x)=A sin(0 " x)= 0. Oznacza to,
Ä„
E = n2 gdzie n = 1, 2, 3, ...
że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze
2mL2
2
¨(x) "x = 0
Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi mieć
energię różną od zera. Najmniejsza energia:
2 2
Ä„
E1 = 12
2mL2
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
Przykład 1
Przykład 2
Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm
Elektron o masie 9.11x10-31 g w studni o szerokości 0.2 nm.
a) minimalna energia
a) minimalna energia
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 5.49Å"10-58 J = 3.43Å"10-39eV
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 1.51Å"10-18 J = 9.42eV
8mL2 8Å"10-6kg Å"10-2m
8mL2 8Å"(9.11Å"10-34kg) Å"(2 Å"10-10m)
b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s
1 b) poziomy drugi i trzeci
En = mv2 = 4.5Å"10-10 J
2
E2 = 4 Å" E1 = 37.7eV
E3 = 9E1 = 84.8 eV
En = n2E1 Ò! n = En / E1 = 9.05Å"1023
E2 - E1 = 28.28 eV
En+1 - En = (2n +1)E1 H" 6.2 Å"10-15eV
Przejście cząstki przez barierę potencjału Przejście cząstki przez barierę potencjału
Podejście klasyczne
elektron o takiej energii
kinetycznej nigdy nie
przejdzie do tego obszaru
Ekin= 1 eV
0 V -2 V x
Mikroskop tunelowy Przejście cząstki przez barierę potencjału
Ostrze
Rozpad Ä… jÄ…dra radu
VDC I
e-
Odległość L
próbka
e
e
e
e
I H"e-2Ä…L
2m
gdzie Ä… = (U0 - E)