2013-04-03
EKONOMETRIA II
Wykład 5 Weryfikacja założeń KMNK
Dorota Perło
Wydział Ekonomii i Zarządzania, Uniwersytet w Białymstoku
Weryfikacja
modelu
Weryfikacja Weryfikacja
merytoryczna statystyczna
Badanie stopnia
Interpretacja ocen zgodności modelu z
parametrów modelu danymi
empirycznymi
Sprawdzenie
Badanie jakości
sensowności
ocen parametrów
znaków ocen
strukturalnych
parametrów modelu
Badanie rozkładu
odchyleń losowych
2
1
2013-04-03
Badanie rozkładu odchyleń
losowych
Trafność doboru
Normalność składnika Autokorelacja Heteroskedastyczność
postaci analitycznej
losowego składnika losowego składnika losowego
modelu
Test Harrisona-
Test serii Test Shapiro-Wilka Test Durbina-Watsona
McCabe a
Test zgodności Test mnożnika
Test White a Test White a
Jarque a-Bery Lagrange a
3
Trafność doboru postaci analitycznej modelu
yi = Ä…0 + Ä…1x1i + Ä…2x2i +& + Ä…k xki + ¾i
k
= Ä…0 + xji + ¾i ,
"Ä… j
j=1
Punktem wyjścia jest sprawdzenie, czy model liniowy poprawnie
opisuje zależność pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi
objaśniającymi.
Test serii
Test White a
4
2
2013-04-03
Test serii
Obserwacja Składniki resztowe
Punktem wyjścia jest ciąg reszt.
1 0,16787116
Rozróżniamy w nim dwa rodzaje
2 0,559748215
elementów: reszty dodatnie i 3 1,815755165
4 0,743710025
reszty ujemne, reszty równe zero
5 2,149981766
pomijamy.
6 0,900438857
7 0,363248207
8 -0,509076864
9 -0,049781849
10 0,859882088
11 0,421425634
12 -0,062153733
13 -0,798335669
14 -2,888755159
15 -2,652929139
16 -1,982270413
17 -0,711050207
18 1,030370297
19 0,828895714
20 -0,186974095
5
Test serii
Obserwacja Składniki resztowe a lub b serie
Serią nazywamy każdy
1 0,16787116 a 1
podciÄ…g jednakowych
2 0,559748215 a
3 1,815755165 a
elementów, który
4 0,743710025 a
poprzedzony jest i po
5 2,149981766 a
6 0,900438857 a
którym następuje element
7 0,363248207 a
różny od elementów
8 -0,509076864 b 2
9 -0,049781849 b
podciÄ…gu
10 0,859882088 a 3
11 0,421425634 a
12 -0,062153733 b 4
13 -0,798335669 b
14 -2,888755159 b
15 -2,652929139 b
16 -1,982270413 b
17 -0,711050207 b
18 1,030370297 a 5
19 0,828895714 a
20 -0,186974095 b 6
6
3
2013-04-03
Test serii
Jeżeli model jest modelem z jedną zmienną objaśniającą to
porządkujemy reszty w kolejności odpowiadającej rosnącym
wartościom zmiennej objaśniającej
Koszty
Nr Wielkość produkcji
jednostkowe
zakładu (tys. szt.)
w
t = 4,87 + 0,2xt
(tys. zł)
t yt xt
1 5,8 10
2 8 3,6
3 6,1 4,1
4 15 40
5 8,5 20
6 12 35
7 5 5
8 9,1 26
9 5,6 8
10 9,8 30
11 9 3
12 10 32
13 6,2 15
14 6,7 18
7 15 16 41
Test serii
Koszty Wielkość
Koszty Wielkość
Nr Składniki
Nr UporzÄ…dkowane
jednostkowe produkcji
jednostkowe produkcji
zakładu resztowe
zakładu reszty
(tys. zł) (tys. szt.)
(tys. zł) (tys. szt.)
t yt xt et
t yt xt e(t)
1 5,8 10 -1,122996694
1 9 3 3,517553038
2 8 3,6 2,394077346
2 8 3,6 2,394077346
3 6,1 4,1 0,391180937
3 6,1 4,1 0,391180937
4 15 40 1,903218744
4 5 5 -0,8940326
5 8,5 20 -0,480924881
5 5,6 8 -0,911411056
6 12 35 -0,067817162
6 5,8 10 -1,122996694
7 5 5 -0,8940326
7 6,2 15 -1,751960787
8 9,1 26 -1,115681793
8 6,7 18 -1,869339243
9 5,6 8 -0,911411056
9 8,5 20 -0,480924881
10 9,8 30 -1,238853068
10 9,1 26 -1,115681793
11 9 3 3,517553038
11 9,8 30 -1,238853068
12 10 32 -1,450438706
12 10 32 -1,450438706
13 6,2 15 -1,751960787 13 12 35 -0,067817162
14 6,7 18 -1,869339243 14 15 40 1,903218744
15 16 41 2,697425926 15 16 41 2,697425926
8
4
2013-04-03
Test serii
Jeżeli weryfikowany model jest modelem o wielu zmiennych
objaśniających, a dane statystyczne stanowiąszeregi czasowe, to
porządkujemy reszty według numerów okresów obserwacji
W przypadku weryfikacji modelu o wielu zmiennych objaśniających
z danymi statystycznymi w postaci danych przekrojowych reszty
można uporządkować według rosnących wartości wybranej
zmiennej objaśniającej
Po uporzÄ…dkowaniu ciÄ…gu reszt resztom dodatnim przypisujemy
symbol A, a resztom ujemnym  symbol B
9
Test serii
H0 : oszacowany model ekonometryczny jest liniowy
HA : oszacowany model ekonometryczny nie jest liniowy
W oszacowanym ciągu symboli A i B obliczamy liczbęserii r.
Składniki
Obserwacja a lub b serie
resztowe
1 0,16787116 a 1
Liczba symboli A n1 = 11
2 0,559748215 a
3 1,815755165 a
Liczba symboli B n2 = 9
4 0,743710025 a
5 2,149981766 a
Liczba serii r = 6
6 0,900438857 a
7 0,363248207 a
8 -0,509076864 b 2
9 -0,049781849 b
10 0,859882088 a 3
11 0,421425634 a
12 -0,062153733 b 4
13 -0,798335669 b
14 -2,888755159 b
15 -2,652929139 b
16 -1,982270413 b
17 -0,711050207 b
18 1,030370297 a 5
19 0,828895714 a
10
20 -0,186974095 b 6
5
2013-04-03
Test serii
Krytyczna liczba serii r* zależy od przyjętego poziomu istotności
Ä…, liczby symboli A w ciÄ…gu reszt  n1 i liczby symboli B w ciÄ…gu
reszt  n2.
11
Wartości krytyczne testu serii
P(k d" kÄ… ,n1,n2 ) = Ä…
Ä…=0,05
Ä…
Ä…
Ä…
n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n2
2
3
4 2
5 2 2 3
6 2 3 3 3
7 2 3 3 4 4
8 2 2 3 3 4 4 5
9 2 2 3 4 4 5 5 6
10 2 3 3 4 5 5 6 6 6
11 2 3 3 4 5 5 6 6 7 7
12 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 8
13 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9
14 2 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 10
15 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11
16 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 11
17 2 3 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 I1 11 12 12
18 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 10 11 1I 12 12 13 13
19 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 13 14 14
20 2 3 4 5 6 7 8 9 9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15
12
6
2013-04-03
Test serii
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej
Jeżeli r d" r*, to hipotezęzerowąodrzucamy na korzyśćhipotezy
alternatywnej
Jeżeli r > r*, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o
>
>
>
liniowej zależności zmiennej objaśnianej od zmiennych
objaśniających
Liczba symboli A n1 = 11
Liczba symboli B n2 = 9
Liczba serii r = 6, r* = 6
13
Wykres punktowy
Koszty
jednostkowe
w tys. zł
Wielkość produkcji
w tys. szt.
14
7
2013-04-03
Wykres punktowy z liniowÄ… funkcjÄ… trendu
Koszty
jednostkowe
w tys. zł
Wielkość produkcji
w tys. szt.
15
Test serii
Jeżeli liczba reszt dodatnich n1 i ujemnych n2 przekracza 20, to
wraz ze wzrostem liczby n1 i n2 rozkład liczby serii dąży do
rozkładu normalnego
Wówczas do oceny losowości ciągu reszt można wykorzystać
statystykÄ™:
r - E(r)
Z =
Ãr
Gdzie:
r  liczba serii,
E(r)  średnia,
Ãr  odchylenie standardowe.
2n1n2
2n1n2(2n1n2 - n1 - n2)
E(r) = +1
Ãr =
n1 + n2
(n1 + n2)2(n1 + n2 -1)
16
Statystyka Z ma asymptotyczny rozkład normalny N(0, 1)
8
2013-04-03
Test White a
nieliniowości (logarytmy)
Test oparty na mnożnikach Lagrange a
H0 : zależność liniowa
HA : zależność nieliniowa - logarytmiczna
Model podstawowy:
yi = Ä…0 + Ä…1x1i + Ä…2x2i +& + Ä…kxki + ¾i
Model pomocniczy:
ei = ²0 + ²1x1i + ²2x2i +& + ²k xki +
Å‚1 ln x1i + Å‚2 ln x2i +& + Å‚k ln xki + µi
17
Test White a
nieliniowości (logarytmy)
Statystyka T*R2, gdzie:
T oznacza liczbęobserwacji,
R2 współczynnik determinacji równania pomocniczego
ma rozkÅ‚ad Ç2 z k stopniami swobody dla ustalonego poziomu
istotności.
Jeżeli T*R2 > Ç2, to hipotezÄ™ zerowÄ… odrzucamy na korzyść
Ç2
Ç2
Ç2
hipotezy alternatywnej. Model może byćnieliniowy.
Jeżeli T*R2 < Ç2, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
Ç2
Ç2
Ç2
zerowej o liniowej zależności zmiennej objaśnianej od zmiennych
objaśniających.
18
9
2013-04-03
Test White a
nieliniowości (kwadraty)
Test oparty na mnożnikach Lagrange a
H0 : zależność liniowa
HA : zależność nieliniowa - kwadratowa
Model podstawowy:
yi = Ä…0 + Ä…1x1i + Ä…2x2i +& + Ä…kxki + ¾i
Model pomocniczy:
ei = ²0 + ²1x1i + ²2x2i +& + ²k xki +
2 2
Å‚1x1i + Å‚2x2i +& + Å‚k xki + µi
2
19
Test nieliniowości
(specyfikacji Ramsey s RESET)
H0 : zależność liniowa
HA : zależność nieliniowa  kwadraty i sześciany teoretycznych
wartości y
Model podstawowy:
yi = Ä…0 + Ä…1x1i + Ä…2x2i +& + Ä…kxki + ¾i
Model pomocniczy:
2
yi = ²0 + ²1x1i + ²2x2i +& + ²kxki + Å‚1w
i + Å‚2w
3 + µi
i
20
10
2013-04-03
Test nieliniowości
(specyfikacji Ramsey s RESET)
Statystyka F:
(RSS1 - RSS2 ) / 2
F =
RSS2 /(n - k - 3)
RSS1  suma kwadratów reszt modelu podstawowego,
RSS2  suma kwadratów reszt modelu pomocniczego.
Statystyka F ma rozkład F-Snedecora o parametrach ł, 2, n-k-1
Jeżeli wartośćstatystyki F jest większa od wartości krytycznej to
należy odrzucićH0
Jeżeli wartość statystyki F jest mniejsza lub równa wartości
krytycznej to nie ma podstaw do odrzucenia H0
21
Badanie autokorelacji składnika losowego
Autokorelacja odchyleń losowych oznacza liniową zależność
między odchyleniami losowymi z różnych jednostek czasu.
Przyczyny występowania zjawiska autokorelacji składnika
losowego w modelu:
1. natura procesów gospodarczych,
2. niepoprawna postać analityczna modelu,
3. niepełny zestaw zmiennych objaśniających.
MiarÄ… siÅ‚y i kierunku autokorelacji odchyleÅ„ losowych ¾t z okresu
t i odchyleÅ„ losowych ¾t-1 z okresu t-1 jest współczynnik korelacji:
Á = Á(¾t ,¾t-1)
Á = Á ¾ ¾
Á = Á ¾ ¾
Á = Á ¾ ¾
-
-
-
22
11
2013-04-03
Autokorelacja składnika losowego
2
W klasycznym modelu:
D (¾)= Ã2I
Niech
'"¾t = Á¾t-1 + ·t , gdzie Á < 1
t
2
i oraz
D (·)= Ã2I
'"E·t = 0 ·
t
i
'" '" cov(¾t-i ;·t )= 0
t i=1,...
proces autokorelacji I-o rzędu
D2(Á¾t-1 + ·t )=
'"D2¾t = D2(Á¾t-1)+ D2·t =
t
Á2Ã2 + Ã2 = Ã2
= Á2D2¾t-1 + D2·t =
·
23
1
Á2Ã2 + Ã2 = Ã2
Ã2 = Ã2
·
·
1- Á2
'" '" cov(¾t ;¾t-i)= cov(Á¾t-1 + ·t ;¾t-i )=
t=1,...,T i=0,1,...
i-1 i-1 i-1 i-1
ëÅ‚
Ãjt Á
=covìÅ‚(Á+(¾tt-Á¾-t2tcovt·cov)ëÅ‚;+¾·-ti1i = ;
=à ("ìÅ‚")öÅ‚
= Ái cov ¾( Á¾ )Át-·t--+ · +t )
= cov2Á Á-ii;+ ++j 2 t1 j ;¾t Á¾t·iti-)=¾ =
= covìÅ‚Á(Á-¾t+3t 2 · Á·tt t ÷Å‚+t t i- ÷Å‚
= Á=icov2(¾tt23 Á-+)Á·2t-+jcovt--;-;1÷Å‚=--·j=¾¾ttt-)÷Å‚=
=cov((Á3ii¾(Á¾;t-¾j--+i·+-·-)+ìÅ‚Á·(Á¾jj··-);2;;¾ti--iii)öÅ‚=
cov =
"-i "2i t 1
j=0 j=0 j=0 j=0
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 L ÁT -1
Á
ïÅ‚ śł
Á L ÁT -2śł
1
2
D (¾)= Ã2ïÅ‚
ïÅ‚ śł
M M L M
ïÅ‚ śł
T -1
24
ÁT -2 ûÅ‚
ïÅ‚
ðÅ‚Á L 1 śł
12
2013-04-03
'" cov(¾t ;¾t-1)= Ã2Á
t=1,...,T
cov(¾t ;¾t-1)
współczynnik korelacji liniowej
'" Á =
Pearsona
t=1,...,T
D¾tD¾t-1
T
"e et-1
estymator nieobciążony t
t=2
współczynnika Á
Á =
Ć
T T
2 2
"e "e
t t-1
t=2 t=2
25
Test Durbina-Watsona
Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji odchyleń
losowych ¾t i ¾t-1:
H0: Á =0
HA: Á`" 0
służy test Durbina-Watsona. Sprawdzianem tej hipotezy jest
statystyka:
T
2
"(e - et-1)
t
t=2
d =
d H" 2(1- Á)
Ć
T
2
W przypadku
"e
t
dużej liczebności prób
t=1
26
13
2013-04-03
Test Durbina-Watsona
Wartość statystyki d zawarta jest w przedziale [0,4]. Zatem, jeżeli:
'"
'"
'"
'"
Á = 0 to d = 2
Á =
Á =
Á =
'"
'"
'"
'"
Á = 1 to d = 0
Á =
Á =
Á =
'"
'"
'"
'"
Á = -1 to d = 4
Á = -
Á = -
Á = -
??? ???
Á > 0 Á = 0 Á < 0
dL dU 4-dU 4-dL
0 4
27
Test Durbina-Watsona
WeryfikujÄ…c hipotezy: H0: Á = 0
HA: Á > 0
dla ustalonego poziomu istotności ą oraz parametrów n i k podane są
dwie wartości dl i du wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć
dla H0.
Kryteria podejmowania decyzji są następujące:
d d" dl H0 odrzucamy
dl < d < du nie podejmujemy żadnej decyzji
d e" du nie mamy podstaw do odrzucenia H0
???
Á > 0 Á = 0
dL dU 4-dU
0
28
14
2013-04-03
Test Durbina-Watsona
Gdy weryfikujemy hipotezÄ™ : H0: Á = 0
HA: Á < 0,
dla ustalonego poziomu istotności ą oraz parametrów n i k podane są
dwie wartości dl i du wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć
dla H0.
Kryteria podejmowania decyzji są następujące:
d e" 4  dl H0 odrzucamy
4- du < d < 4  dl nie podejmujemy żadnej decyzji
d d" 4  du nie mamy podstaw do odrzucenia H0
???
Á = 0 Á < 0
4-dU 4-dL
4
Testu D-W nie należy stosować, jeżeli w modelu w roli zmiennej objaśniającej występuje
opóz
niona zmienna objaśniana. Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji w takim
29
przypadku można zastosować np. test mnożnika Lagrange a.
Test mnożnika Lagrange a
szacujemy model
yt = Ä…0 + Ä…1xt1 + ...+ Ä…k xtk + ¾t
obliczamy reszty et (t = 1,...,T)
et = yt -(Ä…0 + Ä…1xt1 + ...+ Ä…k xtk )
Ć Ć Ć
szacujemy model pomocniczy (t = 2,...,T)
et = ²0 + ²1xt1 + ...+ ²k xtk + ²k +1et-1 + Å›t
obliczamy R2 tego modelu
stawiamy hipotezy:
H0 : Á = 0 H0 : Á `" 0
TR2 ~ Ç2 z 1 df
T >> 0 np., T > 30
Ä…
30
15
2013-04-03
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
Do weryfikowania hipotezy o normalności rozkładu
odchyleńlosowych służy między innymi test Shapiro-
Wilka
H0: rozkład odchyleńlosowych modelu jest normalny
HA: rozkład odchyleńlosowych modelu nie jest normalny
Procedura testu Shapiro-Wilka jest następująca:
1. Porządkuje sięreszty według wartości niemalejących
tak,że otrzymuje sięciąg reszt e(1), e(2), ..., e(n).
31
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
2. Oblicza się wartość statystyki
2
îÅ‚n/2 (e(n- - e(t))Å‚Å‚
"an
ïÅ‚=1 - t +1 t +1) śł
ûÅ‚
W =ðÅ‚t n
- e)2
"(et
t =1
gdzie:
n/2  część całkowita liczby n/2
an-t+1  współczynniki Shapiro-Wilka
32
16
2013-04-03
WSPÓA
CZYNNIKI DLA TESTU SHAPIRO-WILKA
i \ n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6431 0,6052 0,5888 0,5739
2 - 0,0000 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291
3 - - - 0,0000 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141
4 - - - - - 0,0000 0,0561 0,0947 0,1224
5 - - - - - - - 0,0000 0,0399
i \ n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 0,5601 0,5475 0,5359 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734
2 0,3315 0,3325 0,3325 0,3318 0,3306 0,3290 0,3273 0,3253 0,3232 0,3211
3 0,2260 0,2347 0,2412 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565
4 0,1429 0,1586 0,1707 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085
5 0,0695 0,0922 0,1099 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686
6 0,0000 0,0303 0,0539 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334
7 - - 0,0000 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013
8 - - - - 0,0000 0,0196 0,0359 0,0496 0,0612 0,0711
9 - - - - - - 0,0000 0,0163 0,0303 0,0422
10 - - - - - - - - 0,0000 0,0140
33
WSPÓA
CZYNNIKI DLA TESTU SHAPIRO-WILKA
i \ n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450 0,4407 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254
2 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069 0,3043 0,3018 0,2992 0,2968 0,2944
3 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543 0,2533 0,2522 0,2510 0,2499 0,2487
4 0,2119 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148 0,2151 0,2152 0,2151 0,2150 0,2148
5 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822 0,1836 0,1848 0,1857 0,1864 0,1870
6 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539 0,1563 0,1584 0,1601 0,1616 0,1630
7 0,1092 0,1150 0,1201 0,1245 0,1283 0,1316 0,1346 0,1372 0,1395 0,1415
8 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046 0,1089 0,1128 0,1162 0,1192 0,1219
9 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823 0,0876 0,0923 0,0965 0,1002 0,1036
10 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,0610 0,0672 0,0728 0,0778 0,0822 0,0862
11 0,0000 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403 0,0476 0,0540 0,0598 0,0650 0,0697
12 - - 0,0000 0,0107 0,0200 0,0284 0,0358 0,0424 0,0483 0,0537
13 - - - - 0,0000 0,0094 0,0178 0,0253 0,0320 0,0381
14 - - - - - - 0,0000 0,0084 0,0159 0,0227
15 - - - - - - - - 0,0000 0,0076
34
17
2013-04-03
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
3. Z tablic testu Shapiro-Wilka dla przyjętego poziomu istotności ą
odczytuje się wartość krytyczną W*
4. Jeżeli We"W*, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny
Jeżeli Walternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie jest
normalny
35
WARTOÅšCI KRYTYCZNE DLA TESTU SHAPIRO-WILKA
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
0,01 0,02 0,05 0,10
n
3 0,753 0,756 0,767 0,789
0,687 0,707 0,748 0,792
4
5 0,686 0,715 0,762 0,806
0,713 0,743 0,788 0,826
6
0,730 0,760 0,803 0,838
7
8 0,749 0,778 0,818 0,851
0,764 0,791 0,829 0,859
9
10 0,781 0,806 0,842 0,869
0,792 0,817 0,850 0,876
11
0,805 0,828 0,859 0,883
12
0,814 0,837 0,866 0,889
13
14 0,825 0,846 0,874 0,895
15 0,835 0,855 0,881 0,901
0,844 0,863 0,887 0,906
16
17 0,851 0,869 0,892 0,910
18 0,858 0,874 0,897 0,914
19 0,863 0,879 0,901 0,917
0,868 0,884 0,905 0,920
20
0,873 0,888 0,908 0,923
21
0,878 0,892 0,911 0,926
22
0,881 0,895 0,914 0,928
23
0,884 0,898 0,916 0,930
24
0,888 0,901 0,918 0,931
25
0,891 0,904 0,920 0,933
26
0,894 0,906 0,923 0,935
27
0,896 0,908 0,924 0,936
28
0,898 0,910 0,926 0,937
29
36
0,900 0,912 0,927 0,939
30
18
2013-04-03
Badanie normalności rozkładu
Test zgodności Jarque a-Bery
Ocena normalności rozkładu składnika resztowego odbywa się
przez wykorzystanie testu zgodności Jarque a-Bery
H0: rozkład odchyleń losowych modelu jest normalny
HA: rozkład odchyleń losowych modelu nie jest normalny
Wartość statystyki JB wylicza się ze wzoru:
2
îÅ‚ - 3)2
Å‚Å‚
S (K
JB = nïÅ‚ +
śł
gdzie: S- miara skośności, K- kurtoza
ðÅ‚6 24 ûÅ‚
µ3
µ4
S =
3 K =
2
2
µ2
µ2
Statystyka JB ma rozkÅ‚ad Ç2 z dwoma stopniami swobody
37
Badanie normalności rozkładu
Test zgodności Jarque a-Bery
Jeżeli JBe" Ç2 hipotezÄ™ zerowÄ… należy odrzucić na rzecz hipotezy
alternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie
jest normalny
Jeżeli JB< Ç2 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny
Wykorzystanie testu J-B z uwagi na asymptotyczną zbieżność
do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla dużych prób.
38
19
2013-04-03
Badanie heteroskedastyczności rozkładu
Test Harrisona-McCabe a
k
model
yt = Ä…0 + xti + ¾t
"Ä…i
i=1
H0 : D2¾1 = ... = D2¾T homoskedastyczność
heteroskedastyczność
H :("D2¾t `" D2¾s
A
t ,s
k
t `"s
yt = Ä…0 + xti + et
Ć Ć
szacujemy model
"Ä…i
i=1
wyznaczamy m (1przy monotonicznych e
m = 0.5T (0.5(T - 1))
39 lub m t.że e1<...< em >...> eT lub e1>...> em <...< eT
m
2
"e
t
t=1
obliczamy
b =
T
2
"e
t
t=1
wyznaczamy punkty krytyczne F1 i F2 rozkładu F z
(T-m;m-(k+1)) (T-m-(k+1);m) df
Ä…
Ä…
F1 F2
40
20
2013-04-03
-1
obliczamy
ëÅ‚ (T - m)F1 öÅ‚
bL = ìÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
m -(k + 1)÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
-1
(T - m -(k + 1))F2
ëÅ‚1+ öÅ‚
bU =
ìÅ‚ ÷Å‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
kryterium podejmowania decyzji (wartość b)
???
H0
H0
bL bU
Heteroskedastyczność homoskedastyczność
obszar nierozstrzygalności
41
Test White a na heteroskedastyczność reszt
Jeżeli np. k = 3, to model ma postać:
yt = Ä…0 + Ä…1x1 + Ä…2x2 + Ä…3x3 + ¾t
Równanie pomocnicze przyjmuje postać:
Ãt2 = ²0 + ²1x1t + ²2x2t + ²3x3t + ²4x1t2 + ²5 x1tx2t+
²6 x1tx3t+ ²7x2t2 + ²8 x2tx3t+ ²9x3t2 + ·t
H0 : D2¾1 = ... = D2¾T homoskedastyczność
H :("D2¾t `" D2¾s heteroskedastyczność
A
t ,s
t `"s
Statystyka LM = TR2 <" Ç2k+1-1, Ä… , gdzie k - liczba stopni swobody
zwiÄ…zana z liczbÄ… parametrów (²0, ²1,...,²k) do oszacowania  1
42
21
2013-04-03
Test White a na heteroskedastyczność reszt
Jeżeli TR2e" Ç2 hipotezÄ™ zerowÄ… należy odrzucić na rzecz
hipotezy alternatywnej, co oznacza heteroskedastyczność reszt
Jeżeli TR2< Ç2 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład reszt jest homoskedastyczny
Wykorzystanie testu White a z uwagi na asymptotycznÄ…
zbieżność do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla
dużych prób T>30.
43
Przykładowe pytania testowe
1. Test Durbina-Watsona stosuje siÄ™ do weryfikacji hipotezy
mówiącej o:
a) normalnym rozkładzie składnika losowego;
b) homoskedastyczności;
c) nieskorelowaniu składników losowych między sobą;
d) braku autokorelacji rzędu 1-ego składników losowych.
22
2013-04-03
Przykładowe pytania testowe
2. Test mnożnika Lagrange a stosuje się do weryfikacji hipotezy
mówiącej o:
a) normalnym rozkładzie składnika losowego;
b) homoskedastyczności;
c) braku autokorelacji składników losowych;
d) liniowej zależności zmiennych objaśniających.
Przykładowe pytania testowe
3. Test Harrisona-McCabe a stosuje siÄ™ do weryfikacji hipotezy
mówiącej o:
a) normalnym rozkładzie składnika losowego;
b) homoskedastyczności;
c) braku autokorelacji składników losowych;
d) liniowej zależności zmiennych objaśniających.
23
2013-04-03
Przykładowe pytania testowe
4. Test Shapiro-Wilka stosuje siÄ™ do weryfikacji hipotezy
mówiącej o:
a) normalnym rozkładzie składnika losowego;
b) homoskedastyczności;
c) braku autokorelacji składników losowych;
d) liniowej zależności zmiennych objaśniających.
Przykładowe pytania testowe
5. Test Jarque a-Bery stosuje siÄ™ do weryfikacji hipotezy
mówiącej o:
a) normalnym rozkładzie składnika losowego;
b) homoskedastyczności;
c) braku autokorelacji składników losowych;
d) liniowej zależności zmiennych objaśniających.
24