dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 23.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 4
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
IV. Wielomiany: podstawowe definicje, pierwiastki wielomianu
Zadanie 4.1. ([2, 48/4.2])
Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:
(a) P (x) = 2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + 6, Q(x) = x2 - 3x + 1; (b) P (x) = x16 - 16, Q(x) = x4 + 2
(c) P (z) = z5 - z3 + 1, Q(x) = (z - i)3.
Zadanie 4.2. ([2, 49/4.3])
Znalez
ć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:
(a) P (x) = x3 + x2 - 4x - 4; (b) P (x) = 3x3 - 7x2 + 4x - 4;
(c) P (x) = x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6; (d) P (x) = x4 + 3x3 - x2 + 17x + 99.
Zadanie 4.3. ([2, 49/4.4], [1, 14/V.B.3])
Znalez
ć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
7 3 1
(a) P (x) = x3 - x2 - x - ; (b) P (x) = 4x4 + 4x3 + 3x2 - x - 1; (c) P (x) = 4x3 + x - 1;
6 2 3
4 1 1
(d) P (x) = x5 + x3 - x2 + x - ; (e) P (x) = 4x4 + x2 - 3x + 1.
3 3 3
Zadanie 4.4. ([2, 49/4.5])
Znalez
ć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych:
(a) z2 - 4z + 13 = 0; (b) z2 - (3 - 2i)z + (5 - 5i) = 0; (c) z4 + 8z2 + 15 = 0; (d) z4 - 3iz2 + 4 = 0.
Zadanie 4.5. ([1, 11/II.D.4; 12/III.C.2, III.D.4; 15/VI.A.3; 17/VII.B.3; 18/VIII.C.3; 19/IX.C.4;
20/X.A.3, X.B.3, X.C.3; 21/X.D.3])
Znalez
ć pierwiastki podanych wielomianów:
(a) W (z) = z3 - z + 6; (b) W (z) = z3 + 7z2 + 7z + 6; (c) W (z) = z3 + 9z2 + 9z - 10;
(d) W (z) = 2z3 - 3z2 - 3z - 5; (e) W (z) = z6 + z4 + 2z2 - 4; (f) W (z) = z4 - z3 - 2z2 + 6z - 4;
(g) W (z) = 2z3 - 3z2 + 2z - 1; (h) W (z) = z4 - z2 - 6; (i) W (z) = z5 - z4 + z3 - z2 + z - 1;
(j) W (z) = z6 - 2z4 + 4z2 - 8; (k) W (z) = z4 + z3 + 2z2 + z + 1.
Zadanie 4.6. ([1, 11/III.A.3; 12/III.B.1; 16/VII.A.1])
Wyznaczyć W (i), a następnie znalez
ć wszystkie pierwiastki wielomianu:
(a) W (z) = z4 - z3 + 2z2 - z + 1; (b) W (z) = z4 + 3z3 + 2z2 + 3z + 1; (c) W (z) = z4 + z3 + 2z2 + z + 1.
Zadanie 4.7. ([2, 49/4.6], [1, 10/II.A.3, II.B.4; 14/IV.D.4, V.A.2; 17/VII.C.3; 18/VIII.D.3;
19/IX.B.2; 20/IX.D.4])
Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów, znalez
ć ich pozostałe pierwiastki. Przedstawić wielo-
miany w postaci czynników liniowych. Rozłożyć podane wielomiany na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.
" "
"
(a) W (x) = x3 - 3 2x2 + 7x - 3 2, x1 = 2 + i;
(b) W (x) = x4 - 2x3 + 7x2 + 6x - 30, x1 = 1 - 3i;
(c) W (x) = x4 - 6x3 + 18x2 - 30x + 25, x1 = 2 + i;
"
(d) W (x) = x6 - 2x5 + 5x4 - 6x3 + 8x2 - 4x + 4, x1 = i, x2 = - 2i;
"
(e) W (x) = x6 - 6x5 + 18x4 - 28x3 + 31x2 - 22x + 14, x1 = 1 - i, x2 = 2 - 3i;
(f) W (x) = x4 + 2x3 + 9x2 + 8x + 20, x1 = -1 - 2i;
(g) W (x) = x4 - 6x3 + 18x2 - 30x + 25, x1 = 2 - i;
(h) W (x) = x5 - 5x4 + 18x3 - 18x2 + 17x - 13, x1 = 2 - 3i, x2 = i;
(i) W (x) = x4 - x3 + x2 + 9x - 10, x1 = 1 + 2i;
(j) W (x) = x4 - 5x3 + 10x2 - 10x + 4, x1 = 1 + i;
(k) W (x) = x4 - 6x3 + 15x2 - 18x + 10, x1 = 2 + i;
(l) W (x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1, x1 = i;
"
(m) W (x) = x4 - 2x3 + 8x2 - 6x + 15, x1 = - 3i.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 23.10.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
2
  
Zestaw ćwiczeń 4
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
Zadanie 4.8. ([2, 49/4.7], [1, 13/IV.C.3; 15/VI.B.4; 18/VIII.B.2])
Nie wykonując dzieleń, znalez
ć resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:
"
(a) P (x) = x8 - 3x3 + 5x, Q(x) = x2 - x - 2; (b) P (x) = x14 - 4x10 + x2 + 2x, Q(x) = x2 + 2;
(c) P (x) = x30 + 3x14 + 2, Q(x) = x3 + 1; (d) P (x) = x100 + 2x51 - 3x2 + 1, Q(x) = x2 - 1;
(e) P (x) = x5 + x - 2, Q(x) = x2 - 2x + 5; (f) P (x) = x6 + x - 50, Q(x) = x3 + 8;
(g) P (x) = x100(x2 + x + 1), Q(x) = x2 - 1; (h) P (x) = x16 - x5 + 3, Q(x) = x2 + 1;
(i) P (x) = x100 - 2x55 + 1, Q(x) = x2 + 1.
Literatura
[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.
[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.