dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Algebra Liniowa I
Kraków, 06.11.2013
Uniwersytet Jagielloński
Semestr zimowy
Instytut Informatyki
1
  
Zestaw ćwiczeń 6
ul. A
ojasiewicza 6
30-348 Kraków
VI. Działania na macierzach
Zadanie 6.1. (Działania na macierzach)
Dane sÄ… macierze:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1
[ ]
0 1 -2 -1
ïÅ‚ śł [ ]
3 1 -1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł , B = , C = -1 , D = 1 -2 , E = 0 -1 2 .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1 2
2 -2 2 1
2
Wykonać te mnożenia, dla których jest to możliwe. W pozostałych przypadkach uzasadnić, dlaczego nie
możemy wykonać mnożenia.
A2, AB, AC, AD, AE,
BA, B2, BC, BD, BE,
CA, CB, C2, CD, CE,
DA, DB, DC, D2, DE,
EA, EB, EC, ED, E2.
Zadanie 6.2. (Działania na macierzach)
Dane sÄ… macierze:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1
[ ] [ ]
0 3 5 1
ïÅ‚ śł
-1 1 -1 3 1 1 0 3 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , B = ïÅ‚ śł , C = , D = 0 -2 3 -1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
7 -1 2 1 3 2 -3 -1 1
-3 -2 -1 1
3 2 1
Wykonać te spośród poniższych działań, które można wykonać. W pozostałych przypadkach uzasadnić,
dlaczego nie można wykonać działań.
(a) 2A-3C; (b) B+3C; (c) 3D-2BT ; (d) B+3CD; (e) DT BT -4I4; (f) AD-2CBT ;
(g) ACT D; (h) I2AI3CT I2; (i) DB - BD; (j) DBAT ; (k) (BT DT )T .
Zadanie 6.3. (Działania na macierzach)
îÅ‚ Å‚Å‚
[ ]
-1 1 -1
1 2
ïÅ‚ śł
Dane sÄ… macierze: A = 0 -1 2 , B = oraz wielomiany: W (X) = 2X2 - 3X + 2I,
ðÅ‚ ûÅ‚
3 1
2 1 -1
V (X) = 2X3 - 2X2 + 2X - 3I. Wyznaczyć W (A), W (B), V (A), V (B)
Zadanie 6.4. (Działania na macierzach; [1, 74/6.4a,e])
Obliczyć An dla kilku początkowych liczb naturalnych n " N, następnie wyznacz wzór ogólny na An oraz
îÅ‚ Å‚Å‚
[ ]
0 0 1
1 1
ïÅ‚ śł
udowodnij go za pomocÄ… indukcji matematycznej, dla macierzy: (a) A = , (b) A = 0 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
0 1
1 0 0
Zadanie 6.5. (Działania na macierzach; [1, 75/6.5j])
[ ]
1 1
Znalez
ć wszystkie macierze X speÅ‚niajÄ…ce równanie macierzowe: X · XT = X2 + .
-3 0
Zadanie 6.6. (Działania na macierzach)
Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej m zachodzi:
[ ]m [ ] [ ]m [ ]
1 a 1 ma cos Ä… - sin Ä… cos mÄ… - sin mÄ…
= , =
0 1 0 1 sin Ä… cos Ä… sin mÄ… cos mÄ…
Literatura
[1] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza
GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.