Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych (tzn. 1-go stopnia) o n niewiadomych x1, x2 ,K, xn ma postać:
a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1
a x1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2
21
(*)
K K K K
am1x1 + am2 x2 + K + amn xn = bm
gdzie m, n N, aij , bij R , 1 Ł i Ł m, 1 Ł j Ł n
Definicja
Układ równań bez rozwiązań to układ sprzeczny.
Układ równań, który ma rozwiązanie to układ niesprzeczny
Wprowadzmy symbole
a11 a12 K a1n a11 a12 K a1n b1 b1
ł ł ł
ęa a22 K a2n ś ęa a22 K a2n b2 ś ęb ś
21 21 2
ę ś ę ś ę ś
A = [aij ] = , U = , B =
ę M M M M ś ę M M M M M ś ę ś
M
ę ś ę ś ę ś
am2 K amn am2 K amn bm
am1 am1 bm
A macierz główna
U macierz uzupełniona
B macierz (kolumnowa) wyrazów wolnych
Twierdzenie (Cramera)
Jeżeli m=n oraz jeżeli detA ą 0 , to
det A1 det A2 det A
n
x1 = , x2 = , K , xn =
det A det A det A
gdzie Ai oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny przez
kolumnę wyrazów wolnych (tzn. przez (n+1)-ą kolumnę macierzy U)
Uwaga
Podane w tym twierdzeniu wzory noszą nazwę wzorów Cramera
Uwaga
1. Układ (*) może być zapisany w postaci równania macierzowego AX=B
2. Jeżeli m=n oraz jeżeli detA ą 0 , to rozwiązanie równania macierzowego AX=B
jest następujące: X = A-1B
1
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą operacji elementarnych
Dwa niesprzeczne układy równań są równoważne gdy mają takie same zbiory
rozwiązań.
Operacją elementarną na układzie równań nazywamy każde przekształcenie układu
równań w układ równoważny.
Rozróżniamy następujące operacje elementarne:
1. Mnożenie dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera
2. Dodawanie do dowolnego równania układu liniowej kombinacji innych równań
układu
3. Przestawienie dwóch dowolnych równań układu
4. Pominięcie dowolnego, tożsamościowego równania układu
Dokonując operacji elementarnych na układzie A X = B, możemy go przekształcić w układ
równoważny C X =D, gdzie macierz C jest macierzą bazową (lub można ja sprowadzić do
postaci bazowej zamieniając z sobą odpowiednie kolumny) tzn. jest postaci:
Ik Fk(n-k ) ł
C =
ę ś
0(m-k ś
ę0
(m-k )k )(n-k )
gdzie
Ik macierz jednostkowa
Fk(n-k ) dowolna macierz
0(m-k )k , 0(m-k )(n-k ) macierze zerowe
Układ C X =D nazywamy postacią bazową układu A X = B. Postać bazowa C X =D jest
jednoznacznie wyznaczona przez macierz blokową E = [C D], którą otrzymujemy
dokonując operacji elementarnych na wierszach macierzy uzupełnionej U = [A B].
Z postaci bazowej układu można natychmiast odczytać rozwiązania układu lub stwierdzić, że
układ jest sprzeczny.
2
Uwaga
Rozwiązując układ (*) metodą operacji elementarnych można przekształcić macierz U do
postaci podobnej do macierzy E , gdzie zamiast macierzy jednostkowej I jest macierz
trójkątna
Przykład 1
Ogólny sposób rozwiązywania układu trzech równań z trzema niewiadomymi metodą
eliminacji
a11x1+a12x2+a13x3==b1
a21x1+a22x2+a23x3==b2
a31x1+a32x2+a33x3==b3
a11 a12 a13 b1y
i
U= a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
k {
Zakładamy, że mianowniki są różne od zera
a21
w2- H L*w1
a11
a31
w3- H L*w1
a11
a11 a12 a13 b1 y
i
0 -a12a21 +a22 -a13a21 +a23 -a21b1 +b2
a11 a11 a11
a12a31 a13a31 a31b1
0 - +a32 - +a33 - +b3
a11 a11 a11
k {
-a12a31 +a32
a11
w3- H L*w2
-a12a21 +a22
a11
a11 a12 a13 b1
i y
0 -a12a21 +a22 -a13a21 +a23 -a21b1 +b2
a11 a11 a11
J-a13a21+a23N J-a12a31+a32N J-a12a31+a32N J-a21b1+b2N
a13a31 a11 a11 a31b1 a11 a11
0 0 - - +a33 - - +b3
a11 a11
-a12a21+a22 -a12a21+a22
a11 a11
k {
3
Przykład 2
x1+x2+x3-x4==1
3x1+x2-3x4==1
-x1+x2+2x3+x4==1
1 1 1 -1 1y
i
U= 3 1 0 -3 1
-1 1 2 1 1
k {
w2- H3L*w1
w3- H-1L*w1
1 1 1 -1 1y
i
0 -2 -3 0 -2
0 2 3 0 2
k {
w3- H-1L*w2
1 1 1 -1 1y
i
0 -2 -3 0 -2
0 0 0 0 0
k {
Rozwiązanie:
1 1
::x1 Hx3+2x4L,x2 H2-3x3L>>
2 2
Przykład 3
x1+x2-3x3+x4==2
-2x1-3x2+3x3-2x4==0
x1+2x2+x3+3x4==2
1 1 -3 1 2y
i
U= -2 -3 3 -2 0
1 2 1 3 2
k {
w2- H-2L*w1
w3- H1L*w1
1 1 -3 1 2y
i
0 -1 -3 0 4
0 1 4 2 0
k {
w3- H-1L*w2
1 1 -3 1 2y
i
0 -1 -3 0 4
0 0 1 2 4
k {
Rozwiązanie:
88x130-13x4,x2 -16+6x4,x34-2x4<<
4
Przykład 4
x1+3x2-5x3== -4
3x1+2x2-x3==9
2x1-x2+4x3==0
1 3 -5 -4y
i
U= 3 2 -1 9
2 -1 4 0
k {
w2- H3L*w1
w3- H2L*w1
1 3 -5 -4y
i
0 -7 14 21
0 -7 14 8
k {
w3- H1L*w2
1 3 -5 -4y
i
0 -7 14 21
0 0 0 -13
k {
Rozwiązanie:
Układ sprzeczny
Przykład 4
x1+x2-2x3==0
2x1+x2+x3==3
3x1+x2-x3==1
1 1 -2 0y
i
U= 2 1 1 3
3 1 -1 1
k {
w2- H2L*w1
w3- H3L*w1
1 1 -2 0y
i
0 -1 5 3
0 -2 5 1
k {
w3- H2L*w2
1 1 -2 0y
i
0 -1 5 3
0 0 -5 -5
k {
Rozwiązanie:
88x10,x22,x31<<
5
Przykład 5
-x1+5x2+2x3==4
2x1+3x2-4x3==5
3x1+2x2-6x3==5
-1 5 2 4y
i
U= 2 3 -4 5
3 2 -6 5
k {
w2- H-2L*w1
w3- H-3L*w1
-1 5 2 4y
i
0 13 0 13
0 17 0 17
k {
17
w3- H L*w2
13
-1 5 2 4y
i
0 13 0 13
0 0 0 0
k {
Rozwiązanie:
88x11+2x3,x21<<
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
uklady rownan (1)Wyklad 2 3 MACIERZE WYZNACZNIK UKLADY ROWNANuklady rownan liniowychMN MiBM zaoczne wyklad 1 uklady rownanUkłady równań zadaniaMacierze i układy równań przykładyC 02 Uklady równanuklady rownan4 uklady rownan liniowychukłady równań sprawozdanie7t5 uklady rownan liniowychBOiE układy równań liniowychUklady rownan 2wykład 11 układy równań liniowych4 Układy równańwięcej podobnych podstron