4 Układy równań


4. UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
Def.4.1
Liniowym układem m równań z n niewiadomymi: x1, x2, ... , xn , gdzie m, nN nazywamy układ równań
postaci:
a11x1+ a12x2 + ... +a1 j xj + ... +a1nxn = b1


a21x1 + a22x2 + ... +a2 j xj + ... +a2nxn = b2


...................................................................


ai1x1 + ai2x2 + ... +ai j xj + ... +ainxn = bi


...................................................................

am1x1 + am2x2 + ... +am j xj + ... +am nxn = bm


gdzie ai j ,bi R , ai j , bi C , i =1, 2,..., m ; j =1, 2,..., n .
( )
Układ równań można zapisać w postaci macierzowej: A X = B ,
a11 a12 a13 a1 j a1n
ł
ęa a22 a23 a2 a2n ś
21 j
ęś
ęś
gdzie A = - macierz współczynników,
ęś
ai1 ai2 ai3 aij ain ś
ę
ęś
ęś
ęa am2 am3 amj amn ś
m1

x1 b1
ł ł
ęx ś ęb ś
2 2
ę ś ę ś
ę ś ę ś
X = - macierz (kolumna) niewiadomych, B = - macierz (kolumna) wyrazów wolnych.
ę ś ę ś
bi
j
ęx ś ę ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
xn bm
Def.4.2
Układ jednorodny - układ równań liniowych postaci A X = 0,
gdzie A m n , natomiast 0 m 1 - macierz zerowa.
Układ niejednorodny - układ równań liniowych postaci A X = B,
gdzie B jest macierzą niezerową.
Def.4.3
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdą taką macierz (kolumnę)
*
ł
x1
ęx* ś
2
ę ś
ę ś
* * *
X * = , (tzn. każdy taki zbiór wartości: ( x1 , x2,..., x*,..., xn ), który spełnia ten układ równań.
ę ś
j
*
ęx ś
j
ę ś
ę ś
*
ę ś
xn
1
Def.4.4
Zbiorem rozwiązań układu równań liniowych nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań X * tego układu.
Ze względu na liczbę rozwiązań wyróżnia się następujące układy równań liniowych:
1) układ sprzeczny  zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym (tj. układ nie ma rozwiązań);
2) układ oznaczony  zbiór rozwiązań zawiera dokładnie jeden element (tj. układ ma dokładnie jedno
rozwiązanie);
3) układ nieoznaczony  zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele elementów (tj. układ ma nieskończenie
wiele rozwiązań).
UKAAD CRAMERA
Def.4.5
Układ Cramera - układ równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych
(tj. m = n) oraz macierz współczynników A jest macierzą nieosobliwą ( det A ą 0)
a11x1+ a12x2 + ... +a1 j xj + ... +a1nxn = b1


a21x1 + a22x2 + ... +a2 j xj + ... +a2nxn = b2


...................................................................


ai1x1 + ai2x2 + ... +ai j xj + ... +ainxn = bi


...................................................................

an1x1 + an2x2 + ... +an j xj + ... +an nxn = bn


Tw. 4.1
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie x1, x2,..., xn określone wzorami (wzory Cramera):
( )
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = ,..., xn =
det A det A det A
gdzie A  macierz kwadratowa stopnia n,
Aj (gdzie j =1, 2,..., n )  macierz A, w której j  tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Jednorodny układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe.
METODA MACIERZY ODWROTNEJ
Jeżeli układ równań liniowych zapisany w postaci macierzowej A X = B jest układem Cramera,
to układ ten posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
X = A-1 B
DOWOLNE UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
Rozpatrywać będziemy dowolny układ równań liniowych postaci, czyli
a11x1+ a12x2 + ... +a1nxn = b1

a x1 + a22x2 + ... +a2nxn = b2

21
.

...............................................
am1x1 + am2x2 + ... +amnxn = bm

2
Def.4.6
Macierzą rozszerzoną macierzy współczynników A nazywamy macierz współczynników układu uzupełnioną
kolumną wyrazów wolnych, postaci:
a11 a12 a1n b1
ł
ęa a22 a2n b2 ś
21
ęś
Ar = .
ęś
ęś
am2 amn bm
am1
Def.4.7
Rzędem macierzy Amn (niezerowej) nazywamy najwyższy stopień jej różnego od zera minora.
Rząd macierzy A oznaczamy rzA.
Rząd macierzy spełnia następującą nierówność: 0 Ł rz Amn Ł min m, n .
{ }
Tw.4.2
Operacje elementarne, które nie zmieniają rzędu macierzy:
ż mnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera
ż przestawienie między sobą wierszy (kolumn)
ż dodanie do dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) kombinacji liniowej pozostałych wierszy (kolumn),
czyli pozostałych wierszy (kolumn) pomnożonych przez liczby różne od zera
ż skreślenie z macierzy wiersza (kolumny) złożonej z samych zer
ż skreślenie wiersza (kolumny) proporcjonalnego do innego wiersza (innej kolumny).
Tw. 4.3 (Kroneckera  Capellego)
Układ równań liniowych AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA = rz Ar .
Niech AX = B będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi. Wówczas
1) rz A = rz Ar = n - układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
2) rz A = rz Ar = r < n - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów
3) rz A ą rz Ar - układ sprzeczny (układ nie ma rozwiązań).
METODA ELIMINACJI GAUSSA
Def. 4.8
Dwa układy równań liniowych są równoważne wtedy i tylko wtedy, jeżeli dowolne rozwiązanie jednego z nich
jest również rozwiązaniem drugiego układu.
Poniższe operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej Ar
1. zamiana między sobą wierszy
2. mnożenie wiersza przez stałą różną od zera
3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą różną od zera
4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer
5. skreślenie wiersza, który jest równy innemu wierszowi
6. skreślenie wiersza, który jest proporcjonalny do innego wiersza
oraz jedyna operacja jaką możemy wykonać na kolumnach macierzy współczynników A, to jest przestawienie
między sobą dwóch kolumn, pamiętając o tym, że wraz z kolumnami zmieniają miejsce odpowiadające im zmienne
pozwalają sprowadzić układ równań liniowych zapisany w postaci macierzowej A X = B do układu równań mu
ó ó ó
równoważnemu A X = B .
3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
uklady rownan (1)
Wyklad 2 3 MACIERZE WYZNACZNIK UKLADY ROWNAN
uklady rownan liniowych
MN MiBM zaoczne wyklad 1 uklady rownan
Układy równań zadania
Macierze i układy równań przykłady
uklady rownan
C 02 Uklady równan
uklady rownan
4 uklady rownan liniowych
układy równań sprawozdanie7
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
Uklady rownan 2
wykład 11 układy równań liniowych

więcej podobnych podstron