1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1.1 Definicja i przykłady.
" Definicja 1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym (Zmienna losowa n-wymiarowa) nazy-
Å‚ Å‚ Å‚
wamy wektor n-wymiarowy, którego składowymi są zmienne losowe Xi dla i = 1, 2, . . . , n,
X(É)=(X1(É), X2(É), . . . , Xk(É))
" Definicja 1.2. Dystrybuanta n-wymiarowej zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™
Å‚
FX(t1, t2, . . . , tn) : IRn - IR określoną wzorem
FX(t1, t2, . . . , tn) = P (X1 < t1, X2 < t2, . . . , Xn < tn)
Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi.
Dwuwymiarową zmienną losową (X,Y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele war-
tości {(xi, yj) : i " I, j " J} nazywamy dwuwymiarową zmienną losową dyskretną.
Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci
{((xi, yj), pij)}, gdzie pij = P (X = xi, Y = yj), dla i " I, j " J.
Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w
postaci tabeli
X\Y y1 y2 . . . yn
x1 p11 p12 . . . p1n
x2 p21 p22 . . . p2n
.
.
.
xm pm1 pm2 . . . pmn
Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcjÄ… schodkowÄ…

F (x, y) = P (X < x, Y < y) = pij.
i,j;xi" Przykład 1.1.
Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a
zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. A
Ä…czny roz-
kład prawdopodobieństwa wektora losowego (X, Y ) przedstawia następujaca tabela.
X\Y 1 2 3
0 0.125 0 0
1 0.125 0.125 0.125
2 0.25 0.125 0
3 0.125 0 0
1
Mówimy, że zmienna losowa (X, Y ) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja
całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać
x y
F (x, y) = f(u, v))dudv.
-" -"
W punktach ciągłości (x0, y0) funkcji f(x, y)
"2F
(x0, y0) = f(x0, y0).
"x"y
Dla borelowskiego zbioru A ‚" IR2 mamy

P ((X, Y ) " A) = f(x, y))dxdy.
A
Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej
" Twierdzenie 1.1. Funkcja F (x, y) jest dystrybuantÄ… pewnej zmiennej losowej (X, Y )wtedy
i tylko wtedy, gdy :
" F (x, y) jest niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych,
" F (x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych,
" dla każdego x i każdego y lim F (x, y) = 0, lim F (x, y) = 0
x-" y-"
oraz lim F (x, y) = 1.
x,y+"
" dla każdych x1 < x2, y1 < y2
F (x2, y2) - F (x1, y2) - F (x2, y1) + F (x1, y1) 0.
Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości.
" Twierdzenie 1.2. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego
wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy :
" f(x, y) 0 dla każdego (x, y) " IR2,
+" +"

" f(x, y)dxdy = 1.
-" -"
Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora (X, Y ) możemy wyznaczyć rozkłady praw-
dopodobieństwa zmiennych X, Y . Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypad-
ku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej (X, Y ) są one określone wzorami:

pi· = P (X = xi) = pij, oraz p·j = P (Y = yj) = pij
j i
Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej (X, Y ) tzw. gęstości brzegowe są następujące:
" "

fX(x) = f(x, y)dy, fY (y) = f(x, y)dx.
-" -"
Rozkład wektora losowego (mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie
rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy
składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.
2
" Twierdzenie 1.3. Zmienne losowe X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
F(X,Y )(x, y) = FX(x) · FY (y).
W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi
pik = pi·p·k dla wszystkich i, k
a dla zmiennych typu ciągłego  warunkowi
f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y) dla wszystkich x, y " IR.
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych
X1, X2, . . . , Xn.
" Przykład 1.2.
Zmienna losowa X jest liczbÄ… spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna
losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. A
ączny rozkład wektora losowego
(X, Y ) opisuje tabela
X\Y 0 1
0 0.8 0.01
1 0 0.07
2 0.02 0.1
a) Obliczyć P ((X, Y ) " {(2, 0), (2, 1)}).
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej X oraz Y . Ile wynosi P (X = 1),
P (Y = 0). Obliczyć EX, EY .
c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
R o z w i Ä… z a n i e.
a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora (X, Y ) mamy
P ((X, Y ) " {(2, 0), (2, 1)}) = 0.02 + 0.1 = 0.12.
b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopo-
dobieństw rozkładu łącznego (X, Y ), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy
sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego (X, Y )
X\Y 0 1 r.brzegowy X
0 0.8 0.01 0.81
1 0 0.07 0.07
2 0.02 0.1 0.12
r.brzegowy Y 0.82 0.18
Mamy wtedy: P (X = 1) = 0.07, P (Y = 0) = 0.82 oraz
EX = 0 · 0.81 + 1 · 0.07 + 2 · 0.12 = 0.31
EY = 0 · 0.82 + 1 · 0.18 = 0.18
c)W twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmien-
nych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład
P (X = 0, Y = 0) = 0.8 = 0.81 · 0.82 = P (X = 0) · P (Y = 0).

3
" Przykład 1.3.
Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstości
"
cxy dla 0 x 1, 0 y x
f(x, y) =
0 poza tym
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
d) Obliczyć P (0.25 < X < 0.5, Y > 0.5).
e) Obliczyć P (0.5 < X < 1, Y X).
R o z w i Ä… z a n i e.
a) Funkcja f(x, y) jest gęstością wtedy i tylko wtedy gdy f(x, y) 0 dla (x, y) " R2 i

" "
f(x, y)dxdy = 1.
-" -"
Mamy zatem c 0 oraz
"

" " 1 x 1
x2 c
f(x, y)dxdy = dx cxydy = c dx = = 1
-" -" 0 0 0 2 6
czyli c = 6.
b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące:


"
0, x 0, x 1
"
fX(x) = f(x, y)dy = ,
x
-" 6xydy = 3x2, gdy 0 < x < 1
0


"
0, y 0, y 1

fY (y) = f(x, y)dx =
1
6xydx = 3y - 3y5, gdy 0 < y < 1
-"
y2
c) Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo nie jest spełniony warunek
f(x, y) = fX(x) · fY (y) dla każdego (x, y) " R2;
1 3 3 45
na przykÅ‚ad f(1, ) = = · = fX(1) · fY (1).

2 2 2 4 32 2 2
"

x
0.5 0.5
5
d) P (0.250.5) = dx 6xydy = 3 x(x - 0.25)dx =
0.25 0.5 0.25
128
" "

1 x 1 x 1
11
e) P (0.5< X< 1, Y X) = dx 6xydy = 6 xdx ydy = 3 x(x - x2)dx = .
0.5 x 0.5 x 0.5
64
" Przykład 1.4.
x2+y2
1
2
Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f(x, y) = e- .
2Ä„
a) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
b) Obliczyć P (X > 1).
c) Obliczyć P ((X, Y ) " A), gdzie A = {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
R o z w i Ä… z a n i e.
a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X

" "
x2+y2
1 1 x2 y2
1 x2
2 2 2 2
"
fX(x) = e- dy = e- e- dy = e- , x " R
2Ä„ -" 2Ä„ -"
2Ä„
4
"
y2
"
W obliczeniach wykorzystaliśmy znany nam fakt,że e- 2
dy = 2Ä„.
-"
Podobnie obliczajÄ…c mamy:
y2
1
2
"
fY (y) = e- , y " R.
2Ä„
Równość f(x, y) = fX(x) · fY (y) zachodzi dla każdego (x, y) " R2 zatem zmienne losowe
X, Y sa niezależne.
Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana
gęstość wektora losowego (X, Y ) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego
rozkładu normalnego.
b) Zmienna losowa X ma rozkład N(0, 1) zatem P (X > 1) = 1 - Ś(1) = 0.1587.
x2+y2
1
2
c) P ((X, Y ) " A) = e- dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy-
A
2Ä„
mujemy

2Ä„ 1
x2+y2
1 1 r2 1
2 2
e- dxdy = dÕ re- dr = 1 - " .
2Ä„ A 2Ä„ 0 0 e
1.2 Parametry rozkładu wektorów losowych
Gdy dany jest rozkład wektora losowego (X, Y ) oraz h : IR2 - IR jest funkcją całkowalną,
to dla Z = h(X, Y )
Å„Å‚
" "

ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciÄ…gÅ‚ego
-" -"
EZ = Eh(X, Y ) =

ôÅ‚
ôÅ‚ h(xi, yk)pi,k dla wektora losowego typu dyskretnego
ół
i,k
" Definicja 1.3. Dla wektora losowego (X, Y ) kowariancja zmiennych X, Y nazywamy liczbe
Å‚ Å‚
Cov(X, Y ) = E(X - EX)(Y - EY ) = EXY - EXEY.
Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem
korelacji.
Cov(X, Y )
"
Á(X,Y ) = .
VarX · VarY
" Twierdzenie 1.4. (Własności współczynnika korelacji):
1. |Á(X, Y )| 1
2.Jeżeli zmienne losowe sÄ… niezależne, to Á(X, Y ) = 0.
3. Á(aX + b, cY + d) = sgn(ac)Á(X, Y ).
4. Á(X, Y ) = Ä…1 wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… staÅ‚e a, b takie, że P (Y = aX + b) = 1.
Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y . W przypadku, gdy
Á = 0, zmienne losowe nazywamy nieskorelowanymi. Jeżeli Á(X, Y ) = 0, to zmienne
losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład.
5
" Przykład 1.5.
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad N(0, Ã) i niech Y = X2. Sprawdzić, że Cov(X, Y ) = 0, a
zmienne X, Y są zależne.
R o z w i Ä… z a n i e.
Zmienna losowa o rozkÅ‚adzie N(0, Ã) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe
0. W szczególnoÅ›ci EX = 0, EX3 = 0, zaÅ› EY = V arX = Ã2. Mamy zatem
Cov(X, Y ) = Cov(X, X2) = EX3 - EX · EX2 = 0.
" Definicja 1.4. Dla wektora losowego (X1, X2, . . . , Xn) określamy macierz kowariacji
Cn×n, w której
cij = Cov(Xi, Xj), i, j = 1, 2, . . . , n
Macierz C jest macierzÄ… symetrycznÄ… , cii 0.
" Przykład 1.6.
Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem

Ä„
-3y2 cos x dla x Ä„, 0 y 2
8 2
f(x, y) =
0 poza tym
a) Znalez
ć rozkłady brzegowe
b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y . Czy X, Y są nie-
zależne?
R o z w i Ä… z a n i e.
a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące:


Ä„
"
0, x , x Ä„
2

fX(x) = f(x, y)dy = ,
Ä„
-3 2 y2 cos xdy = - cos x, gdy < x < Ä„
-"
0
8 2


"
0, y 0, y 2

fY (y) = f(x, y)dx =
Ä„
3
-3 Ä„ y2 cos xdx = y2, gdy 0 < y < 2
-"
8 8
2
b) Zauważmy, że zmienne losowe X, Y sÄ… niezależne ( ponieważ f(x, y) = fX(x) · fY (y)
dla każdego (x, y)) zatem Cov(X, Y ) = 0 oraz Á(X, Y ) = 0.
" Przykład 1.7.
Wektor losowy (X, Y ) ma następującą funkcję gęstości

1
xy, gdy 0 < x < 2, 0 < y < x
2
f(x, y) =
0, poza tym
a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y .
b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ).
6
R o z w i Ä… z a n i e.
a) Cov(X, Y ) = EXY - EX · EY
Obliczmy najpierw EXY .

2 x 2
1 1 16
EXY = dx xy xydy = x5dx = .
0 0 2 6 0 9
Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych
X oraz Y .


"
0, x 0, x 2

fX(x) = f(x, y)dy = ,
x
1 1
xydy = x3, gdy 0 < x < 2
-"
0
2 4


"
0, y 0, y 2

fY (y) = f(x, y)dx =
2
1 1
xydx = y - y3, gdy 0 < y < 2
-"
y
2 4
Obliczmy jeszcze;

2
x3 8
EX = x · dx =
0
4 5

2 y3 16
EY = y(y - )dy =
0
4 15

2
x3 8
EX2 = x2 · dx =
0
4 3
8
V arX = EX2 - (EX)2 =
75

2 y3
2 4
EY = y2(y - )dy =
0
4 3
2 44
V arY = EY - (EY )2 =
225
Mamy zatem:
16 8 16 16
Cov(X, Y ) = - · =
9 5 15 225
Cov(X,Y )
" "4
Á(X, Y ) = = .
V arX·V arY 66
b) Macierz kowariancji C wektora losowego X, Y , gdzie
c12 = c21 = Cov(X, Y ), c11 = V arX, c22 = V arY jest nastepujÄ…ca:
îÅ‚ Å‚Å‚
8 16
75 225
ïÅ‚ śł
C = ðÅ‚ ûÅ‚
16 44
225 225
" Przykład 1.8.
Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.25. Jaki współczynnik korela-
cji majÄ… zmienne losowe 4X - 3 oraz -2Y + 4?
R o z w i Ä… z a n i e.
Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy
Á(4X - 3, -2Y + 4) = sgn(-8)Á(X, Y ) = -0.25
7
1.2.1 Rozkłady warunkowe
W rozdziale 2 rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe ( warunek był zdarzeniem o
prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego (X, Y ) interesujące jest pytanie jak
wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez
drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe.
" Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego (X, Y ) warunkowy rozkład zmien-
nej X przy warunku (Y = yk), P (Y = yk) = 0 określamy jako

(xi, P (X = xi|Y = yk)), i " I
i analogicznie
warunkowy rozkład zmiennej Y przy warunku (X = xi), P (X = xi) = 0 to

(yk, P (Y = yk |X = xi)) , k " J
.
" Definicja 1.6. Dla wektora losowego (X, Y ) typu ciągłego gęstością warunkową zmien-
nej losowej X przy warunku (Y = y), fY (y) > 0 nazywamy funkcjÄ™
f(x, y)
fX|Y (x|y) =
fY (y)
i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku (X = x),
fX(x) > 0 nazywamy funkcjÄ™
f(x, y)
fY |X(y|x) = .
fX(x)
Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobień-
stwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych lo-
sowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gę-
stości warunkowe są gęstościami brzegowymi.
Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego.
" Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy wa-
runku (Y = yk) określamy następujaco:


xiP (X = xi|Y = yk), gdy (X, Y ) jest dyskretny
i"I

E(X|Y = yk) =
"
xf(x|yk)dx, gdy (X, Y ) jest typu ciagłego
-"
i analogicznie
warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku (X = xi)
określamy następujaco:


ykP (Y = yk|X = xi), gdy (X, Y ) jest dyskretny
k"J

E(Y |X = xi) =
"
yf(y|xi)dx, gdy (X, Y ) jest typu ciagłego
-"
8
" Twierdzenie 1.5. Jeśli istnieje EX to istnieje E(X|Y = y).
W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warun-
kowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X,
oznaczanej przez E(Y |X).
E(Y |X) to nowa zmienna losowa postaci mY (X). Najczęściej podajemy warunkową war-
tość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję
:
mY (x) = E(Y |X = x).
Funkcję mY (X) nazywamy funkcją regresji zmiennej losowj Y względem zmiennej
losowej X.
Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X
względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X|Y ).
" Twierdzenie 1.6. Jeśli V arX < ", V arY < " to dla mY (X) = E(Y |X) zachodzi
minhE(Y - h(X))2 = E(Y - mY (X))2,
gdzie h(x) jest dowolną funkcją borelowską, że Eh2(X) < ".
" Twierdzenie 1.7. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym i istnieje EX to:
1. E(E(X|Y )) = EX
2. dla niezależnych zmiennych X, Y mamy E(X|Y ) = EX.
" Przykład 1.9.
Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć:
a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku (X = k),
b) rozkład łączny wektora (X, Y ), rozkłady brzegowe,
c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres.
" Przykład 1.10.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na zbiorze D = {(x, y) :
x2 + y2 9, y 0}, to znaczy

c, gdy (x, y) " D
f(x, y) =
0, poza tym
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y.
c) Wyznaczyć gęstości warunkowe fX|Y , fY |X.
d) Czy zmienne losowe X,Y są niezależne ?
e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X.
9
" Przykład 1.11.
Gęstością wektora losowego (X, Y ) jest funkcja

1
xy, gdy 0 < x < 2, 0 < y < x
2
f(x, y) =
0, poza tym
a) Wyznaczyć gęstości warunkowe fX|Y , fY |X. Czy zmienne losowe X,Y są niezależne.
b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej
X.
" Definicja 1.8. Mówimy ,że wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny,
jeśli jego funkcja gęstości ma postać

(x-mx)2 2Á(x-mx)(y-my) (y-my)2
1
- - +
1
2 2
ÃxÃy
2(1-Á2) Ãx Ãy
"
f(x, y) = e
2Ä„ÃxÃy 1 - Á2
gdzie
2 2
EX = mX, EY = mY , V arX = ÃX, V arY = ÃY , Á(X, Y ) = Á.
Jeśli wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny
i Cov(X, Y ) = 0 to zmienne losowe X, Y są niezależne.
" Przykład 1.12.
Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna loso-
wa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych
(X,Y) dobrze opisuje dwuwymiarowy rozkład normalny o parametrach mX = 3, mY =
1.6, ÃX = 1,
ÃY = 0.4, Á = 0.9.
a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X.
b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość two-
rzywa Y przekroczy 2, z prawdopodobieństwem 0.9?
W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszyst-
kich prostych leżących na płaszczyżnie xOy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej loso-
wej Y od tej prostej jest najmniejsze.
" Definicja 1.9. Prostą y = a0x + b0 dla której zachodzi
E(Y - (a0X + b0))2 = mina,bE(Y - (aX + b))2
nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X.
10
Nietrudno uzasadnić następujący fakt.
Jeśli V arX, V arY są skończone to prosta y = a0x + b0 gdzie
Cov(X, Y )
a0 = , b0 = EY - a0EX
V arX
jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X.
Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać
y - EY x - EX
" "
= Á(X, Y )
V arX V arY
Dla wektora losowego (X, Y ) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji
pokrywaja siÄ™ z prostymi regresji.
" Przykład 1.13.
Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji
zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y.
11