Całka oznaczona
Definicja całki oznaczonej
Niech Przedział podzielmy za pomocą
f : a,b R. a,b
a x0 x1 x2 ... xn b n
punktów na przedziałów częściowych
xk 1, xk , Pn.
gdzie Oznaczmy ten podział przez
k 1, 2, 3,..., n.
xk ,
Długośd podprzedziału oznaczmy przez
xk 1, xk
czyli
xk xk xk 1 dla k 1, 2, 3,..., n.
.
max{ x1, x2,...,
Liczbę xn}
nazywamy średnicą podziału Pn
n
a,b
)
Ciąg podziałów ( Pn przedziału nazywamy ciągiem
a,b , lim 0.
normalnym podziałów przedziału jeżeli n
n
(Pn )
W dalszym ciągu będziemy zakładad, że ciąg podziałów jest
ciągiem normalnym podziałów.
xk , xk
W każdym podprzedziale 1 obierzmy dowolny punkt
k
xk dla k 1,2,3,..., n.
taki, że x
k 1 k
Utwórzmy sumę
n
Sn f ( ) x1 f ( ) x2 ... f ( ) xn f ( ) xk
1 2 n k
k 1
i rozważmy granicę
n
lim Sn lim f ( ) xk .
k
n n
k 1
( 0 ) ( 0 )
n n
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału a,b
i każdego wyboru punktów pośrednich w przedziałach
k
częściowych tych podziałów istnieje ta sama skooczona granica
f
ciągu to tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji na
(Sn ),
a,b
przedziale i oznaczamy symbolem
b
b
n
f (x)dx lim f ( ) xk.
Zatem
f (x)dx.
k
n
k 1
( 0)
a
n
a
a
 dolna granica całkowania,  górna granica całkowania,
b
- przedział całkowania.
a,b
a b.
Do tej pory zakładaliśmy, że Dodatkowo przyjmujemy, że
b a
def
f (x)dx f (x)dx, gdy b a
a b
oraz
a
def
f (x)dx 0.
a
Definicja
b
f (x)dx
f ,
Funkcję dla której istnieje całka oznaczona
a
nazywamy funkcją całkowalną (w sensie Riemanna) na przedziale
a,b .
Twierdzenie (warunek konieczny całkowalności)
Jeżeli funkcja jest funkcją całkowalną na przedziale to f
a,b ,
f
jest funkcją ograniczoną na tym przedziale.
Twierdzenie ( trzy warunki wystarczające całkowalności)
Jeżeli spełniony jest dowolny z warunków
1. jest funkcją ciągłą na
f a,b ,
2. jest funkcją ograniczoną na i ma na tym przedziale
f a,b
skooczoną liczbę punktów nieciągłości,
3. jest funkcją monotoniczną na
f a,b ,
to f jest funkcją całkowalną na a,b
.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
f : a,b R i niech f (x) 0 dla x a,b .
Niech
D {(x, y): a x b 0 y f (x)}.
Wprowadz
my oznaczenie
D
Obszar nosi nazwę trapezu krzywoliniowego .
Z definicji całki oznaczonej wynika, że pole powierzchni trapezu
b
krzywoliniowego D jest równe
D f (x)dx.
a
Własności całek oznaczonych
Własnośd 1. Jeżeli jest całkowalna na to jest również
f a,b ,
całkowalna na każdym podprzedziale przedziału
a,b .
Własnośd 2.
b b
b [ f g( f (x)dx
(x) x)]dx g(x)dx,
a a a
gdzie f , g są całkowalne na a,b .
Własnośd 3.
b b
k f (x)dx k f (x)dx,
a a
f a,b , k const.
gdzie jest całkowalna na
Własnośd 4.
b c b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx,
a a c
gdzie f jest całkowalna na a,b , c a,b .
Własnośd 5. Zmiana wartości funkcji w skooczonej liczbie punktów
przedziału ( nie wyklucza się przy tym kraoców przedziału) nie
wpływa ani na całkowalnośd tej funkcji w rozważanym przedziale,
ani na wartośd całki, jeżeli funkcja ta jest całkowalna.
Własnośd 6. Jeżeli jest funkcją nieparzystą i całkowalną, to
f
a
f (x)dx 0.
a
f
Własnośd 7. Jeżeli jest funkcją parzystą i całkowalną, to
a 0 a
f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (x)dx.
a a 0
Twierdzenie (Newtona-Leibniza, o związku całki oznaczonej z całką
nieoznaczoną)
a,b
Jeżeli jest funkcją ciągłą na i F jest jej dowolną funkcją
f
b
pierwotną, to b
f (x dx F a F b) F a
) (x ) ( ( ).
a
Całkowanie przez podstawienie i przez części dla całki oznaczonej
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie )
Jeżeli
, ,
g : , a,b
C1
1. funkcja na jest klasy na
2. g( ) a, g( ) b,
3. funkcja jest ciągła na
f a,b ,
b
to
f (g(x))g'(x)dx f (t)dt
a
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
f g a,b ,
Jeżeli funkcje oraz są klasy na przedziale to
C1
b b
b
f ( x) g '( x )dx [ f ( x ) g ( x )] a f ' (x)g(x )dx.
a a
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)
.
Niech funkcja będzie całkowalna na przedziale a,b Funkcję
f
x
f (t)dt, gdzie x a,b
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
a
Twierdzenie (o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania)
F
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na a,b , to funkcja określona
x
x a,b ,
wzorem dla ma w każdym punkcie
F (x) f (t)dt
a
a,b F'(x) f (x).
przedziału pochodną i przy tym
Uwaga. Istotą powyższego twierdzenia jest możliwośd obliczenia
x
F F(x) f (t)dt.
pochodnej funkcji bez wyznaczania całki
a
Przykład.
x
2
2
Jeżeli , to
F'(x) ex dla x R.
F(x) et dt
a
Twierdzenie (o wartości średniej rachunku całkowego)
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na to istnieje taki punkt
a,b ,
x a,b ,
0 że
b
f (x)dx f (x0) (b a).
a
b
1
yśr f (x)dx
Liczbę daną równością nazywamy
yśr
b a
a
f
wartością średnią funkcji na przedziale a,b .
f (x) x
Przykład Obliczyd wartośd średnią funkcji na przedziale
0,9 .
9
9 3 3
1 1 2 2
yśr xdx [ x2 ] 92 2
9 0 9 3 27
0
0
CAA
KI NIEWA
AŚCIWE
Całka niewłaściwa na przedziale nieograniczonym
f a, )
I. Niech będzie funkcją określoną na przedziale i całkowalną
A
a, A .
na każdym skooczonym przedziale Granicę
lim f (x)dx
A
a
f
nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale
f (x)dx.
nieograniczonym i oznaczamy symbolem
a, )
a
Całka niewłaściwa jest zbieżna, gdy rozważana granica jest
f (x)dx
a
właściwa, natomiast całka ta jest rozbieżna, gdy rozważana granica
jest niewłaściwa ( ) albo nie istnieje.
II. Niech będzie funkcją określoną na przedziale całkowalną
f ( ,b
b
b
na każdym skooczonym przedziale B, . Granicę lim f (x)dx
B
B
f
nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale
b
f (x)dx
( ,b
nieograniczonym i oznaczamy symbolem
Zbieżnośd oraz rozbieżnośd rozważanej całki niewłaściwej określamy
analogicznie, jak poprzednio.
( , )
III. Całka niewłaściwa funkcji f określonej na przedziale
i całkowalnej na każdym skooczonym przedziale jest zdefiniowana
c
def
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
następująco:
c
Całkę tę uważamy za zbieżną jedynie wtedy, gdy obie całki
niewłaściwe występujące po prawej stronie równości są zbieżne.
Przykład
A
dx dx
A
lim lim[arctgx] lim(arctgA arctg0) ,
0
A A A
x2 1 x2 1 2
0 0
więc jest to całka niewłaściwa zbieżna.
Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonej
I. Niech f będzie funkcją nieograniczoną na a ,b)
i całkowalną na
a, , a b.
każdym przedziale gdzie Granicę lim f (x)dx,
b
a
nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej
b
f a,b) f (x)dx.
funkcji na przedziale i oznaczamy symbolem
a
Zbieżnośd i rozbieżnośd tej całki określamy tak, jak poprzednio.
II. Niech f będzie funkcją nieograniczoną na i całkowalną na
(a,b
b
,b , a b.
każdym przedziale gdzie Granicę
lim f (x)dx,
a
nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej
b
f (x)dx.
f (a,b
funkcji na przedziale i oznaczamy symbolem
a
Zbieżnośd i rozbieżnośd tej całki określamy tak, jak poprzednio.
Przykład
2 2
2
dx dx
lim lim[ln x 1] lim(ln1 ln( 1)) 0 ( ) ,
1 1 1
x 1 x 1
1
a więc jest to całka rozbieżna.
Przykład interpretacji fizycznej całki oznaczonej
Droga s przebyta w przedziale czasu t0 ,T ruchem
v(t)
prostoliniowym z prędkością ( co do modułu) równą jest
całką oznaczoną z tej prędkości na rozważanym przedziale , czyli
T
s v(t)dt.
t0
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej
Pole figury płaskiej
Twierdzenie
Jeżeli funkcje oraz są ciągłe na
g
f a,b i g(x) f (x) dla x a,b
natomiast to pole figury
D
D {(x, y): a x b g(x) y f (x)},
b
wyraża się wzorem D [ f (x) g(x)]dx.
a
Przykład. Obliczyd pole figury ograniczonej liniami
y x2 2x 3 oraz y x 1.
Rozwiązanie
x2 2x 3 x 1 x2 3x 4 0, 25, x1 4, x2 1
x2 2x 3 0, 16, x1 3, x2 1
P1(4,5),P2( 1,0)
x 4
4 4
x3 x2 5
D [x 1 (x2 2x 3)]dx ( x2 3x 4)dx [ 3 4x] 20 .
3 2 6
1 1
x 1
Długośd łuku linii
Twierdzenie. Jeżeli łuk jest dany równaniami parametrycznymi
l
i przy tym różnym punktom z przedziału
l : x x(t) y y(t), a t b,
a,b odpowiadają różne punkty tego łuku oraz łuk nie ma
punktów wielokrotnych natomiast funkcje są
x x(t) oraz y y(t)
C1
a,b ,
klasy na przedziale to długośd łuku wyraża się wzorem
l
b
l [x'(t)]2 [ y'(t)]2 dt.
a
l y f (x)
Twierdzenie Jeżeli łuk jest wykresem funkcji klasy
C1
na przedziale to jego długośd wyraża się wzorem
a,b ,
b
l 1 [ f ' (t)]2 dt.
a
Przykład Obliczyd długośd krzywej danej równaniami
parametrycznymi Rozwiązanie:
x 3t2 y t t3,0 t 2.
x'(t) 2 3t, y'(t) 1 3t2 [x'(t)]2 [ y'(t)]2 12t2 1 6t2 9t4 9(t2 1)2
3
2
2 2
t3 1 10
l 9(t2 1)2 dt 3 (t2 1)dt 3[ t] 3 10.
3 3
3 3 3
0 0
0
Objętośd i pole powierzchni brył obrotowych
Twierdzenie. Objętośd bryły powstałej w wyniku obrotu wokół
V
osi Ox trapezu krzywoliniowego
D {(x, y) : a x b 0 y f (x)},
gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale wyraża się
a,b
b
2
V f (x)dx.
wzorem
a
Twierdzenie. Pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu
S
wokół osi Ox krzywej y f (x a x b, natomiast f jest
), gdzie
a,b
funkcją klasy na przedziale wyraża się wzorem
C1
b
S 2 f (x) 1 [ f '(x)]2 dx.
a
Przykład. Obliczyd objętośd bryły powstałej przez obrót wokół osi
1
x
Ox
linii o równaniu
4
y e , gdzie 0 x .
M
1 1 M 1 1 1
x x x x M
4 2 2 2 2
V (e )2dx e dx lim e dx lim [ 2e ] 2 lim[e e0] 2 .
M M M
0 0 0
0