Elementy losowe i ich rozkłady
Beata Rodzik
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
Zamość
rok 2013/2014
1 / 28
Niech (&!, F, P) będzie dowolną przestrzenią prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że (E, B) jest przestrzenią mierzalną.
2 / 28
Niech (&!, F, P) będzie dowolną przestrzenią prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że (E, B) jest przestrzenią mierzalną.
Odwzorowanie X : (&!, F, P) (E, B) spełniające warunek
-1
X (A) " F
A"B
nazywamy elementem losowym o wartościach w przestrzeni E.
2 / 28
Niech (&!, F, P) będzie dowolną przestrzenią prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że (E, B) jest przestrzenią mierzalną.
Odwzorowanie X : (&!, F, P) (E, B) spełniające warunek
-1
X (A) " F
A"B
nazywamy elementem losowym o wartościach w przestrzeni E.
JeÅ›li E = R, B = B(R) - Ã-ciaÅ‚o zbiorów borelowskich na R, to X
nazywamy zmiennÄ… losowÄ….
2 / 28
Niech (&!, F, P) będzie dowolną przestrzenią prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że (E, B) jest przestrzenią mierzalną.
Odwzorowanie X : (&!, F, P) (E, B) spełniające warunek
-1
X (A) " F
A"B
nazywamy elementem losowym o wartościach w przestrzeni E.
JeÅ›li E = R, B = B(R) - Ã-ciaÅ‚o zbiorów borelowskich na R, to X
nazywamy zmiennÄ… losowÄ….
JeÅ›li E = Rk, B = B(Rk) - Ã-ciaÅ‚o zbiorów borelowskich na Rk, to
X nazywamy wektorem losowym (n-wymiarowym).
Oczywiście każdy wektor losowy ma postać
X (É) = (X1(É), X2(É), . . . , Xn(É)), gdzie Xi sÄ… zmiennymi
losowymi.
2 / 28
Jeśli E = C[0, 1] - przestrzeń funkcji ciągłych na [0, 1] z metryką
Czebyszewa, to X nazywamy funkcjÄ… losowÄ….
3 / 28
Jeśli E = C[0, 1] - przestrzeń funkcji ciągłych na [0, 1] z metryką
Czebyszewa, to X nazywamy funkcjÄ… losowÄ….
Ponieważ klasa zbiorów Sx = {y : y x} = (-", x] generuje
Ã-ciaÅ‚o zbiorów borelowskich, to X : (&!, F, P) (R, B(R)) jest
zmiennÄ… losowÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
{É " &! : X (É) x} " F.
x"R
3 / 28
Rozkład elementu losowego
Jeśli X : (&!, F, P) (E, B) jest elementem losowym, to X
generuje na przestrzeni (E, B) miarę prawdopodobieństwa PX
określoną wzorem:
-1
PX (A) = P(X (A)),
A"B
którą nazywamy rozkładem elementu losowego X .
4 / 28
Rozkład elementu losowego
Jeśli X : (&!, F, P) (E, B) jest elementem losowym, to X
generuje na przestrzeni (E, B) miarę prawdopodobieństwa PX
określoną wzorem:
-1
PX (A) = P(X (A)),
A"B
którą nazywamy rozkładem elementu losowego X .
Zatem, każdy element losowy jest reprezentowany przez przestrzeń
prawdopodobieństwa (E, B, PX ).
4 / 28
Rozkład elementu losowego
Jeśli X : (&!, F, P) (E, B) jest elementem losowym, to X
generuje na przestrzeni (E, B) miarę prawdopodobieństwa PX
określoną wzorem:
-1
PX (A) = P(X (A)),
A"B
którą nazywamy rozkładem elementu losowego X .
Zatem, każdy element losowy jest reprezentowany przez przestrzeń
prawdopodobieństwa (E, B, PX ).
Przykład: Wykażemy, że rozkłady zmiennych losowych X1 i X2,
określonych na przestrzeni ([0, 1], B(R)|[0,1], L|[0,1]), gdzie
1
2É, É " [0, ]
2
X1(É) = É dla É " [0, 1], X2(É) =
2É - 1, É " [1, 1]
2
sÄ… jednakowe.
4 / 28
Dystrybuanta zmiennej losowej
Funkcją F : R [0, 1] określoną wzorem
-1
FX (x) = P{É : X (É) x} = P X (-", x] = PX (-", x]
nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej lub funkcją rozkładu.
5 / 28
Dystrybuanta zmiennej losowej
Funkcją F : R [0, 1] określoną wzorem
-1
FX (x) = P{É : X (É) x} = P X (-", x] = PX (-", x]
nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej lub funkcją rozkładu.
Zauważmy, że P(a < X d" b) = F (b) - F (a).
5 / 28
Dystrybuanta zmiennej losowej
Funkcją F : R [0, 1] określoną wzorem
-1
FX (x) = P{É : X (É) x} = P X (-", x] = PX (-", x]
nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej lub funkcją rozkładu.
Zauważmy, że P(a < X d" b) = F (b) - F (a).
Każda dystrybuanta ma następujące własności:
1
x1 x2 Ò! F (x1) F (x2),
2
F (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą (ma lewostronne
granice)
3
lim F (x) = 1,
x+"
4
lim F (x) = 0.
x-"
Dowód.
5 / 28
Każdej funkcji F : R R spełniającej warunki 1-4 odpowiada
również przestrzeń prawdopodobieństwa (&!, F, P) i zmienna losowa
X , określona na tej przestrzeni prawdopodobieństwa, której
dystrybuantÄ… jest funkcja F .
Dowód.
6 / 28
Każdej funkcji F : R R spełniającej warunki 1-4 odpowiada
również przestrzeń prawdopodobieństwa (&!, F, P) i zmienna losowa
X , określona na tej przestrzeni prawdopodobieństwa, której
dystrybuantÄ… jest funkcja F .
Dowód.
Zatem
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy miarami
prawdopodobieństwa (rozkładami), a dystrybuantami.
6 / 28
Każdej funkcji F : R R spełniającej warunki 1-4 odpowiada
również przestrzeń prawdopodobieństwa (&!, F, P) i zmienna losowa
X , określona na tej przestrzeni prawdopodobieństwa, której
dystrybuantÄ… jest funkcja F .
Dowód.
Zatem
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy miarami
prawdopodobieństwa (rozkładami), a dystrybuantami.
Każda dystrybuanta F ma co najwyżej przeliczalny zbiór punktów
nieciągłości (skoków).
6 / 28
Każdej funkcji F : R R spełniającej warunki 1-4 odpowiada
również przestrzeń prawdopodobieństwa (&!, F, P) i zmienna losowa
X , określona na tej przestrzeni prawdopodobieństwa, której
dystrybuantÄ… jest funkcja F .
Dowód.
Zatem
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy miarami
prawdopodobieństwa (rozkładami), a dystrybuantami.
Każda dystrybuanta F ma co najwyżej przeliczalny zbiór punktów
nieciągłości (skoków).
dystrybuantą, która jest przedziałami stała nazywamy dystrybuantą
skokową lub dystrybuantą rozkładu dyskretnego.
6 / 28
Jeśli x1, x2, x3, . . . jest zbiorem punktów skokowych dystrybuanty F
i jeśli pk = F (xk) - F (xk-), k 1, to dla każdego x " R,
F (x) = pk.
k:xk x
7 / 28
Jeśli x1, x2, x3, . . . jest zbiorem punktów skokowych dystrybuanty F
i jeśli pk = F (xk) - F (xk-), k 1, to dla każdego x " R,
F (x) = pk.
k:xk x
Zatem, jeżeli PX jest rozkładem zmiennej losowej dyskretnej, to
PX (B) = pk.
B"B(R) k:xk "B
7 / 28
Jeśli x1, x2, x3, . . . jest zbiorem punktów skokowych dystrybuanty F
i jeśli pk = F (xk) - F (xk-), k 1, to dla każdego x " R,
F (x) = pk.
k:xk x
Zatem, jeżeli PX jest rozkładem zmiennej losowej dyskretnej, to
PX (B) = pk.
B"B(R) k:xk "B
Tak więc, miarę prawdopodobieństwa na (R, B(R)), której
dystrybuanta jest dyskretna, możemy zadać podając układ par
(xi, pi), i = 1, 2, . . ., taki, że xi " R, pi 0, pi = 1.
7 / 28
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej zapisujemy w postaci tabelki:
xi x1 x2 . . . xn
pi p1 p2 . . . pn
lub w postaci:
P(X = xi) = pi, i = 1, 2, . . .
8 / 28
Podstawowe rozkłady dyskretne
Rozkład jednopunktowy (zdegenerowany, skupiony w
punkcie x0)
P(X = x0) = 1
Rozkład dwupunktowy (zero-jedynkowy, Bernoulliego)
Zmienna losowa ma rozkład Bernoulliego z parametrem p,
0 < p < 1, gdy
P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p = q
lub ogólniej P(X = a) = p oraz P(X = b) = 1 - p = q,
a, b " R, a = b, p " (0, 1).

9 / 28
Rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego)
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami n i
p, n 1, 0 p 1, jeśli
n
P(X = k) = pkqn-k, k = 0, 1, 2, . . . , n
k
n
F(x)= pkqn-k, x " R.
k
k x
10 / 28
Rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego)
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami n i
p, n 1, 0 p 1, jeśli
n
P(X = k) = pkqn-k, k = 0, 1, 2, . . . , n
k
n
F(x)= pkqn-k, x " R.
k
k x
Rozkład dwumianowy jest rozkładem liczby sukcesów w
niezależnych próbach.
10 / 28
Rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego)
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami n i
p, n 1, 0 p 1, jeśli
n
P(X = k) = pkqn-k, k = 0, 1, 2, . . . , n
k
n
F(x)= pkqn-k, x " R.
k
k x
Rozkład dwumianowy jest rozkładem liczby sukcesów w
niezależnych próbach.
Jeżeli wykonujemy n niezależnych doświadczeń, z których
każde może zakończyć się sukcesem z prawdopodobieństwem
p lub porażką z prawdopodobieństwem 1 - p, to liczba liczba
k sukcesów w ciągu n niezależnych doświadczeń (prób) jest
zmienną losową o rozkładzie dwumianowym.
10 / 28
Rozkład dwumianowy jest rozkładem sumy X1 + X2 + . . . + Xn,
gdy Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
zero-jedynkowym, czyli P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = 1 - p.
Rozkład geometryczny
Rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1, ma
postać:
P(X=k)=pqk-1, k = 0, 1, 2, . . . .
11 / 28
Rozkład dwumianowy jest rozkładem sumy X1 + X2 + . . . + Xn,
gdy Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
zero-jedynkowym, czyli P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = 1 - p.
Rozkład geometryczny
Rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1, ma
postać:
P(X=k)=pqk-1, k = 0, 1, 2, . . . .
Powyższe prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem
pojawienia się pierwszego sukcesu przy k-tej próbie w
schemacie Bernoulliego.
Zatem, rozkład geometryczny jest rozkładem czasu
oczekiwania na pierwszy sukces.
11 / 28
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona z parametrem  > 0 wyraża się wzorem
k
P(X = k) = e-, k = 0, 1, 2, . . ..
k!
12 / 28
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona z parametrem  > 0 wyraża się wzorem
k
P(X = k) = e-, k = 0, 1, 2, . . ..
k!
Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla rozkładu
dwumianowego, gdy p maleje, a n roÅ›nie i n · p = .
Stąd, jest on nazywany rozkładem zdarzeń rzadkich.
12 / 28
Twierdzenie Poissona
Załóżmy, że zmienna losowa Xn ma rozkład dwumianowy określony
wzorem
n
P(X = k) = pkqn-k, k = 0, 1, 2, . . . , n.
k
Jeżeli prawdopodobieństwo p = p(n) maleje do zera, w ten sposób,
że poczynając od pewnego n0, dla każdego n > n0 spełniony jest
związek np =  ( lim np = ), gdzie  > 0 jest wielkością stałą, to
n"
k
lim P(Xn = k) = e-.
k!
n"
Dowód.
13 / 28
Rozkład hipergeometryczny
Rozkład hipergeometryczny z parametrami N, M, n,
(N, M, n " N, M, n N) wyraża się wzorem
(M)(N-M)
k n-k
P(X = k) = , k = 0, 1, . . . , n,
(N)
n
n N, k M, n - k N - M.
14 / 28
Rozkład hipergeometryczny
Rozkład hipergeometryczny z parametrami N, M, n,
(N, M, n " N, M, n N) wyraża się wzorem
(M)(N-M)
k n-k
P(X = k) = , k = 0, 1, . . . , n,
(N)
n
n N, k M, n - k N - M.
Rozkład hipergeometryczny wyraża rozkład liczby elementów
mających określoną cechę wśród n elementów wylosowanych
bez zwrotu z populacji N elementów, wśród których przed
rozpoczęciem losowania znajdowało się M elementów
majÄ…cych tÄ™ cechÄ™.
14 / 28
Rozkład Pascala (ujemny dwumianowy)
RozkÅ‚ad ujemny dwumianowy z parametrami ½, p,
(½ " N, 0 < p < 1) wyraża siÄ™ wzorem
k-1
P(X = k) = p½qk-½, k = ½, ½ + 1, . . . , q = 1 - p.
v-1
Rozkład Pascala wyraża rozkład liczby doświadczeń
przeprowadzonych według schematu Bernoulliego potrzebnych
do uzyskania ½ sukcesów. RozkÅ‚ad ten nazywany jest czasem
oczekiwania na ½ sukces. Dla ½ = 1 rozkÅ‚ad Pascala pokrywa
się z rozkładem geometrycznym.
15 / 28
Rozkład wielomianowy
Rozkład wielomianowy z parametrami n, p1, p2, . . . , pk, jest
uogólnieniem rozkładu dwumianowego. Jest on rozkładem
wyników przy n-krotnym powtórzeniu doświadczenia o k
możliwych rezultatach i wyraża się wzorem
n!
P(X1 = n1, . . . , Xk = nk) = pn1 · . . . · pnk , pi " [0, 1],
n1!...nk !
i = 1, 2, . . . , k, p1 + . . . + pk = 1, n1 + . . . + nk = n.
16 / 28
Rozkłady absolutnie ciągłe
Jeżeli F jest funkcją taką, że
x
F (x) = f (x)dx,
-"
gdzie
1
f (x) 0, x " R,
2
f jest funkcją całkowalna w sensie Riemanna (lub ogólniej
całkowalną w sensie Lebesgue a) na R,
+"
3
f (x)dx = 1,
-"
to F jest dystrybuantÄ….
17 / 28
Zmienną losową posiadającą dystrybuantę powyższej postaci
nazywamy zmienną o rozkładzie absolutnie ciągłym, natomiast f
nazywamy funkcją gęstości.
18 / 28
Zmienną losową posiadającą dystrybuantę powyższej postaci
nazywamy zmienną o rozkładzie absolutnie ciągłym, natomiast f
nazywamy funkcją gęstości.
Rozkład zmiennej losowej X ma postać
PX (A) = f (u)du.
A
18 / 28
Podstawowe rozkłady absolutnie ciągłe
Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny)
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale
[a, b], jeśli funkcja gęstości ma postać:
1
dla a x b
b-a
f (x) =
0 dla pozostałych x.
Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem  > 0,
jeżeli gęstość f jest postaci:
e-x dla x 0
f (x) =
0 dla pozostałych x.
Rozkład wykładniczy charakteryzuje się tzw. brakiem pamięci,
czyli P(X a + b|X a) = P(X b), stÄ…d jest on
użyteczny przy opisywaniu czasu bezawaryjnej pracy pewnych
elementów.
19 / 28
Rozkład gamma
Zmienna losowa X ma rozkład gamma o parametrach
a, p > 0, jeśli:
ap
xp-1e-ax dla x > 0
“(p)
f (x) =
0 dla x 0.
Funkcja “ wystÄ™pujÄ…ca w powyższym wzorze jest tzw. funkcjÄ…
+"
gamma Eulera, okreÅ›lonÄ… wzorem: “(p) = xp-1e-xdx dla
0
p > 0.
20 / 28
Rozkład gamma
Zmienna losowa X ma rozkład gamma o parametrach
a, p > 0, jeśli:
ap
xp-1e-ax dla x > 0
“(p)
f (x) =
0 dla x 0.
Funkcja “ wystÄ™pujÄ…ca w powyższym wzorze jest tzw. funkcjÄ…
+"
gamma Eulera, okreÅ›lonÄ… wzorem: “(p) = xp-1e-xdx dla
0
p > 0.
CaÅ‚kujÄ…c przez części otrzymujemy “(p + 1) = p“(p),
natomiast dla n " N mamy “(n + 1) = n!.
20 / 28
Rozkład gamma
Zmienna losowa X ma rozkład gamma o parametrach
a, p > 0, jeśli:
ap
xp-1e-ax dla x > 0
“(p)
f (x) =
0 dla x 0.
Funkcja “ wystÄ™pujÄ…ca w powyższym wzorze jest tzw. funkcjÄ…
+"
gamma Eulera, okreÅ›lonÄ… wzorem: “(p) = xp-1e-xdx dla
0
p > 0.
CaÅ‚kujÄ…c przez części otrzymujemy “(p + 1) = p“(p),
natomiast dla n " N mamy “(n + 1) = n!.
Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu
1 n
gamma (dla p = 1). Dla a = , p = , rozkład gamma
2 2
nazywamy rozkÅ‚adem Ç2 z n stopniami swobody.
20 / 28
Rozkład Cauchy ego
Zmienna losowa ma rozkÅ‚ad Cauchy ego z parametrami µ " R
i  > 0, jeśli funkcja gęstości ma postać:
1 
f (x) = dla x " R.
Ä„ 2+(x-µ)2
Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami µ " R
i à > 0, jeÅ›li gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa okreÅ›lona jest
wzorem:
(x-µ)2
1
"
f (x) = e- 2Ã2
dla x " R.
2Ä„Ã
21 / 28
Rozkład Cauchy ego
Zmienna losowa ma rozkÅ‚ad Cauchy ego z parametrami µ " R
i  > 0, jeśli funkcja gęstości ma postać:
1 
f (x) = dla x " R.
Ä„ 2+(x-µ)2
Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami µ " R
i à > 0, jeÅ›li gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa okreÅ›lona jest
wzorem:
(x-µ)2
1
"
f (x) = e- 2Ã2
dla x " R.
2Ä„Ã
RozkÅ‚ad normalny oznaczamy krótko symbolem N(µ, Ã).
21 / 28
Rozkład Cauchy ego
Zmienna losowa ma rozkÅ‚ad Cauchy ego z parametrami µ " R
i  > 0, jeśli funkcja gęstości ma postać:
1 
f (x) = dla x " R.
Ä„ 2+(x-µ)2
Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami µ " R
i à > 0, jeÅ›li gÄ™stość prawdopodobieÅ„stwa okreÅ›lona jest
wzorem:
(x-µ)2
1
"
f (x) = e- 2Ã2
dla x " R.
2Ä„Ã
RozkÅ‚ad normalny oznaczamy krótko symbolem N(µ, Ã).
Funkcję gęstości rozkładu normalnego nazywa się funkcją
Gaussa lub krzywÄ… dzwonu.
21 / 28
Krzywa Gaussa dla różnych wartości parametrów
22 / 28
Standaryzacja rozkładu normalnego
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny N(µ, Ã), to zmienna
losowa
X - µ
U =
Ã
ma standardowy rozkład normalny N(0, 1), dla którego
µ = 0, Ã = 1.
23 / 28
Standaryzacja rozkładu normalnego
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny N(µ, Ã), to zmienna
losowa
X - µ
U =
Ã
ma standardowy rozkład normalny N(0, 1), dla którego
µ = 0, Ã = 1.
Przekształcenie to nazywamy standaryzacją zmiennej losowej, a
zmiennÄ… U nazywamy zestandaryzowanÄ… zmiennÄ….
Dystrybuantę rozkładu N(0, 1) oznaczamy przez Ś(x) i wartości
tej dystrybuanty zawarte sÄ… w tablicach statystycznych. Z symetrii
Funkcji gęstości rozkładu N(0, 1) względem osi Oy wynika wzór:
Åš(-x) = 1 - Åš(x).
23 / 28
Reguła trzech sigm
24 / 28
25 / 28
Wnioski z reguły trzech sigm
Reguła trzech sigm mówi, że:
25 / 28
Wnioski z reguły trzech sigm
Reguła trzech sigm mówi, że:
68% (2) obserwacji należy do przedziaÅ‚u (µ - Ã, µ + Ã).
3
25 / 28
Wnioski z reguły trzech sigm
Reguła trzech sigm mówi, że:
68% (2) obserwacji należy do przedziaÅ‚u (µ - Ã, µ + Ã).
3
W przedziale (µ - 2Ã, µ + 2Ã) lokalizuje siÄ™ 95% wartoÅ›ci rozkÅ‚adu
normalnego.
Przedział ten obcina 5% najbardziej odstających obserwacji.
25 / 28
Wnioski z reguły trzech sigm
Reguła trzech sigm mówi, że:
68% (2) obserwacji należy do przedziaÅ‚u (µ - Ã, µ + Ã).
3
W przedziale (µ - 2Ã, µ + 2Ã) lokalizuje siÄ™ 95% wartoÅ›ci rozkÅ‚adu
normalnego.
Przedział ten obcina 5% najbardziej odstających obserwacji.
Poza przedziaÅ‚em (µ - 3Ã, µ + 3Ã) znajduje siÄ™ tylko 0,3%
obserwacji.
25 / 28
Twierdzenie Moivre a-Laplace a
Twierdzenie Moivre a-Laplace a
Oznaczmy przez k liczbę sukcesów w rozkładzie dwumianowym.
Dla każdego x " R prawdziwa jest zależność:
k-np
"
P x Åš(x), gdy n ".
npq
26 / 28
Twierdzenie Moivre a-Laplace a
Twierdzenie Moivre a-Laplace a
Oznaczmy przez k liczbę sukcesów w rozkładzie dwumianowym.
Dla każdego x " R prawdziwa jest zależność:
k-np
"
P x Åš(x), gdy n ".
npq
Dowód. Twierdzenie to udowodnimy w dalszej części wykładu w
bardziej ogólnym przypadku.
26 / 28
Rozkłady osobliwe
Oprócz rozkładów dyskretnych i rozkładów absolutnie ciągłych
istnieją również rozkłady osobliwe.
27 / 28
Rozkłady osobliwe
Oprócz rozkładów dyskretnych i rozkładów absolutnie ciągłych
istnieją również rozkłady osobliwe.
Charakteryzują się one tym, że ich dystrybuanta jest ciągła, ale
punkty jej wzrostu stanowią zbiór o mierze Lebesgue a równiej zero
(punkt x jest punktem wzrostu, jeÅ›li F (x + µ) - F (x - µ) > 0 dla
dowolnego µ > 0).
27 / 28
Rozkłady osobliwe
Oprócz rozkładów dyskretnych i rozkładów absolutnie ciągłych
istnieją również rozkłady osobliwe.
Charakteryzują się one tym, że ich dystrybuanta jest ciągła, ale
punkty jej wzrostu stanowią zbiór o mierze Lebesgue a równiej zero
(punkt x jest punktem wzrostu, jeÅ›li F (x + µ) - F (x - µ) > 0 dla
dowolnego µ > 0).
Dystrybuanty rozkładów osobliwych charakteryzują się tym, że
mają prawie wszędzie pochodną F (x) i F (x) = 0 prawie wszędzie.
27 / 28
Przykład. Przykładem dystrybuanty osobliwej jest krzywa Cantora.
Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie miar
Każda dystrybuantę F można zapisać w sposób jednoznaczny w
postaci
F (x) = Ä…1Fs(x) + Ä…2Fac(x) + Ä…3Fos(x),
gdzie Fs jest dystrybuantÄ… skokowÄ…, Fac - dystrybuantÄ… absolutnie
ciągłą, Fos - dystrybuantą osobliwą, ąi 0, 1 i 3,
Ä…1 + Ä…2 + Ä…3 = 1.
28 / 28