2013-11-27
III: Rozkłady zmiennych losowych
III: Rozkłady zmiennych losowych
A. X  zmienna losowa skokowa
1. Rozkład zero  jedynkowy
1. Rozkład zero  jedynkowy
x = 1 x = 0
1
X przybiera dwie wartości: i 2
xi 1 0
pi p q
P(X = x1) = p P(X = x2) =1- p = q
Jeśli , to
gdyż
P(X = x1) + P(X = x2) =1
Rozkład zmiennej losowej jest rozkładem zero-jedynkowym, jeśli
Rozkład zmiennej losowej jest rozkładem zero-jedynkowym, jeśli
ta zmienna losowa przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem
ta zmienna losowa przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem
p, a wartość 0 z prawdopodobieństwem q=1-p
p, a wartość 0 z prawdopodobieństwem q=1-p
Wtedy dystrybuanta
0 x d" 0
ńł
�łq 0 < x d"1
F(x) =
�ł
�ł
ół1 x >1
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi
E(X ) = x1 �" p + x2 �"(1- p) =1�" p + 0�"(1- p) = p
a wariancja:
D2(X ) = (x1 - E(X ))2 �" p + (x2 - E(X ))2 �"(1- p) =
=(1- p)2 �" p+(0- p)2 �"(1- p) =
=(1- p)�" p�"(1- p+ p) =
=(1- p)�" p=q�"p
1
2013-11-27
Przykład 6.
" Rzucamy kością. Wyrzuceniu parzystej liczby
oczek przyporządkujemy 1, a nieparzystej 0.
" Zatem:
P(X = 1) = 0,5 P(X = 0) = 0,5
" Dystrybuanta:
0 x d" 0
ńł
�ł0,5 0 < x d" 1
F(x) =
�ł
�ł
1 x > 1
ół
" Wartość oczekiwana i wariancja:
E(X) = 0,5 D2(X) = 0,5 �0,5 = 0,25
2. Rozkład dwumianowy
2. Rozkład dwumianowy
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, gdy opisuje
eksperyment noszący nazwę prób Bernoulliego.
Bernoulliego
" Przeprowadza się n niezależnych doświadczeń.
" W każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu
wynosi p.
" X  liczba sukcesów w n doświadczeniach
UWAGA: Rozkład dwumianowy występuje, gdy losowanie z
populacji ograniczonej jest zwrotne, a wynik losowania jest
zmienną losową o rozkładzie 0-1.
2
2013-11-27
B(n, p)
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy ,
jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dana
jest wzorem:
k
P(X =k)=B(k,n, p)=Cn pkqn-k
gdzie k=0,1,& ,n,
n
�ł �ł
k
Cn = �ł �ł
�łk �ł
�ł łł
p+q=1
k
Wtedy dystrybuanta: F(x) = pkqn-k
"Cn
kWartość oczekiwana:
E(X) = np
Wariancja:
D2(X ) = npq
Przykład 7.
Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza.
Wiadomo, że trafia on w 80% przypadków.
Znajdz
rozkład zmiennej losowej X
przyjmującej wartości celnych rzutów do
kosza.
3
2013-11-27
Przykład 7 - rozwiązanie
" Prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów
(trafionych rzutów) w 4 próbach:
4
4
�ł �ł 4 256
4 0 �ł �ł
P4(k = 4)= �ł (0,8) �"(0,2) = =
�ł �ł
�ł4�ł�"
�ł
5 625
�ł łł
�ł łł
3 1 3
4
�ł �ł 4 1 4 1 256
�ł �ł �ł �ł
P3(k = 3)= �ł
�ł �ł
�ł3�ł�"�ł 5 �ł �"�ł 5 �ł = 4�"�ł 5 �ł �" 5 = 625
�ł
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł
2 2 2 2
4
�ł �ł 4 1 4 1 96
�ł �ł �ł �ł �ł
P2(k = 2)= �ł
�ł �ł �ł
�ł2�ł�"�ł 5 �ł �"�ł 5 �ł = 6�"�ł 5 �ł �"�ł 5 �ł = 625
�ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł
1 3 3
4
�ł �ł 4 1 4 1 16
P1(k = 1)= �ł �ł�"�ł �ł �"�ł �ł = 4�" �"�ł �ł =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł1 �ł
5 5 5 5 625
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł
0 4 4
4
�ł �ł 4 1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł
P0(k = 0)= �ł
�ł
�ł0�ł�"�ł 5 �ł �"�ł 5 �ł = �ł 5 �ł = 625
�ł
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł
Przykład 7 - rozwiązanie
" Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej
losowej:
xi 0 1 2 3 4
pi 1/625 16/625 96/625 256/625 256/625
" wartość oczekiwana:
1 16 96 256 256
1 16 96 256 256
E(X ) = 0�" +1�" + 2�" + 3�" + 4�" =
E(X ) = 0�" +1�" + 2�" +3�" + 4�" =
625 625 625 625 625
625 625 625 625 625
16 192 768 1024 1024 2000
16 192 768 2000
= + ++ ++ + n3,2=
= = == 3,2 == �"p 4�"0,8
625 625 625 625 625 625
625 625 625 625
4
2013-11-27
3. Rozkład Poissona
3. Rozkład Poissona
Zmienna losowa X, która przyjmuje wartości 0,1,2,& ..
z prawdopodobieństwem
mk
P(X = k) = e-m
k=0,1,&
k!
(gdzie m jest rzeczywistą stałą dodatnią) nazywa się
zmienną losową o rozkładzie Poissona
-m
Wtedy dystrybuanta
F(x) =
"e mk
k!
kWartość oczekiwana
E(X) = m
Wariancja D2(X ) = m
UWAGA: Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem
rozkładu dwumianowego, gdy prawdopodobieństwo
sukcesu p jest małe (p < 0,2), a liczba realizacji n jest
duża (n > 100), tak że np=m jest prawie stałe.
Rozkład dobrze opisuje te doświadczenia, w których
obserwuje się dużą serię przypadków, przy małym
prawdopodobieństwie sukcesu w pojedynczych
obserwacjach
5
2013-11-27
Przykład 8.
Ilość mieszkańców bloku ma rozkład Poissona
ze średnią 3 osoby.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo
wybranym mieszkaniu znajdują się
co najwyżej 2 osoby?
Przykład 8 - rozwiązanie
" Szukane prawdopodobieństwo:
(m = 3)
P(X d" 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
30 31 32
P(X d" 2) = e-3 + e-3 + e-3 =
0! 1! 2!
1 3 9
= �"0,05 + �"0,05 + �"0,05 = 0,425
1 1 2
6
2013-11-27
4. Rozkład geometryczny
4. Rozkład geometryczny
Zmienna losowa X, ma rozkład geometryczny, jeśli jej
funkcja rozkładu jest następująca:
k=1,2,& ..
P(X = k) = pqk-1
gdzie: p  prawdopodobieństwo sukcesu
q = 1  p - prawdopodobieństwo porażki
k  liczba doświadczeń do pojawienia się pierwszego sukcesu
k-1
F(x) =
Wtedy dystrybuanta
"pq
k1
Wartość oczekiwana E(X) =
p
q
D2(X ) =
Wariancja
p2
UWAGA: Podobnie jak rozkład dwumianowy, rozkład
geometryczny związany jest z niezależnymi
doświadczeniami o takim samym prawdopodobieństwie
sukcesu. Eksperyment trwa tak długo, aż nie pojawi się
pierwszy sukces.
7
2013-11-27
B. X  zmienna losowa ciągła
1. Rozkład prostokątny ( jednostajny)
1. Rozkład prostokątny ( jednostajny)
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale
[a,b], jeśli jej gęstość jest następująca:
1
ńł
�ł
dla a d" x d" b
f ( x ) =
�ł - a
b
�ł
0 dla x < a lub x > b
ół
Wtedy dystrybuanta
0 dla x < a
ńł
x - a
�ł
F(x) =
�łb - a dla a d" x d" b
�ł
dla x > b
1
ół
a + b
Wartość oczekiwana
E(X) =
2
(b - a)2
Wariancja
D2(X ) =
12
8
2013-11-27
Przykład 9.
Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co
15 minut.
Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera
na przystanek jest jednostajny,
oblicz prawdopodobieństwo,
że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty.
Przykład 9 - rozwiązanie
a = 0, b = 15
1
ńł
�ł
dla 0 d" x d" 15
f ( x ) =
�ł
15
�ł
0 dla x < 0 lub x > 15
ół
0 dla x < 0
ńł
x
�ł
F(x) =
�ł15 dla 0 d" x d" 15
�ł
dla x >15
1
ół
Szukamy: P(X>4)
9
2013-11-27
Przykład 9 - rozwiązanie
Zatem (korzystając z dystrybuanty):
P(X > 4) = 1  F(4) = 1  4/15 = 1  0,267 =
= 0,733
Lub (korzystając z funkcji gęstości):
" 15
1
P(X > 4) = f (x)dx = dx =
+" +"15
4 4
15
1 15 4
�ł
= x�ł = - = 1- 0,267 = 0,733
�ł �ł
15 15
�ł15 łł
4
2. Rozkład wykładniczy
2. Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X, ma rozkład wykładniczy, gdy jej
gęstość jest następująca:
0 dla x < 0
ńł
f (x) =
�łe-x dla x e" 0
ół
Wtedy dystrybuanta
0 dla x < 0
ńł
F(x) =
�ł
ół1- e-x dla x e" 0
Wartość oczekiwana
1
E(X) =

Wariancja
1
D2(X ) =
2
10
2013-11-27
Rozkład wykładniczy  wykres funkcji gęstości:
Przykład 10.
Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia
ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej
5 godzin.
Oblicz prawdopodobieństwo, że bezawaryjny
czas pracy urządzenia wynosi mniej niż
10 godzin.
11
2013-11-27
Przykład 10 - rozwiązanie
1 1
" E(X) = 5, stąd:
 = =
E( X ) 5
dla x < 0
ńł
�ł1 0- x
f (x) =
�ł
5
�ł5 e dla x e" 0
ół
0 dla x < 0
ńł
�ł
x
F(x) =
�ł -
�ł
ół1- e 5 dla x e" 0
Szukamy: P(X < 10)
10
-
5
P(X <10) = F(10) =1- e =1- 0,135 = 0,865
4. Rozkład normalny (Gaussa)
4. Rozkład normalny (Gaussa)
Zmienna losowa X, ma rozkład normalny, gdy jej gęstość
jest następująca:
(x-m)2
-
1
2�2
f (x) = e
� 2Ą
�
gdzie m i - parametry rozkładu.
Zmienna X ma rozkład normalny z parametrami m i
�
notuje się:
X - N (m ,� )
(x-m)2
x
-
1
2
Dystrybuanta 2�
F(x) =
+"e dx
� 2Ą
-"
Wartość oczekiwana
E(X ) = Me = Do = m
(oraz mediana i dominanta):
2
Wariancja: D2(X ) = �
12
2013-11-27
" Rozkład normalny jest rozkładem, któremu podlega
wiele zjawisk świata fizycznego, np. waga oraz wzrost
populacji ludzi.
" Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma
następujące własności:
1. jest symetryczna względem prostej x = m,
1
2. osiąga maksimum równe dla x = m,
� 2Ą
3. jej ramiona mają punkty przegięcia dla
x = m  � oraz x = m + �.
" m - decyduje o położeniu krzywej normalnej
względem osi x.
" �  wpływa na  smukłość krzywej (im odchylenie
większe, tym krzywa jest bardziej spłaszczona).
13
2013-11-27
Standaryzacja
Standaryzacja
" Dowolny rozkład normalny możemy
sprowadzić do postaci standardowego
rozkładu normalnego, którego funkcja
gęstości i dystrybuanta zostały stablicowane.
" Standardowym rozkładem normalnym
nazywamy rozkład normalny ze średnią równą
0 oraz odchyleniem standardowym równym 1
i oznaczamy N(0,1).
funkcja gęstości standardowego
rozkładu normalnego
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4 -2 0 2 4
-0,1
x
14
f(x)
2013-11-27
" Własności dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego:
P(U d"u) =Ć(u)
P(U d"-u) =Ć(-u) =1-Ć(u)
P(U >u) =1-P(U d"u) =1-Ć(u)
P(U >-u) =1-P(U d"-u) =1-Ć(-u) =1-(1-Ć(u))=1-1+Ć(u) =Ć(u)
Ć(u) = 1-Ć(-u)
N (m,� )
" Jeśli zmienna losowa X ma rozkład ,to
X - m
zmienna standaryzowana
U =
�
ma rozkład: N(0,1).
" Zatem, prawdopodobieństwo:
a - m X - m b - m
�ł
P(a < X d" b) = P�ł < d" =
�ł �ł
� � �
�ł łł
a - m b - m b - m a - m
�ł �ł �ł
= P�ł < U d" = Ć�ł -Ć�ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
� � � �
�ł łł �ł łł �ł łł
b
�ł
�ł - m a
�ł �ł - m
Wartości i odczytujemy z tablic
Ć Ć
�ł �ł �ł �ł
� �
�ł łł �ł łł
dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
15
2013-11-27
Funkcja gęstości rozkładu normalnego ma zastosowanie do
reguły  trzech sigm , która jest wykorzystywana w
badaniach statystycznych m.in. do eliminacji obserwacji
niewiarygodnych.
Reguła  trzech sigm :
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny to:
- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (m - �; m + �)
- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (m - 2�; m + 2�)
- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (m - 3�; m + 3�)
Przykład 11.
Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład
normalny N(167,18).
Wyznacz procentowy udział w populacji kobiet o
wzroście:
a) do 160 cm,
b) w przedziale 165-170 cm,
c) powyżej 175 cm.
16
2013-11-27
Przykład 11 - rozwiązanie
Zatem:
m = 167,
� = 18.
a)
a) Szukamy: P(X < 160)
X -167 160 -167
160 -167 �ł
�ł
P(X d" 160) = P�ł X -167 d" =
P(X d" 160) = P�ł d"
�ł �ł
�ł �ł
18 18
18 18
�ł łł
�ł łł
= P(U d" -0,39) = Ć(-0,39) = 1-Ć(0,39)
17
2013-11-27
Przykład 11 - rozwiązanie
Zatem:
m = 167,
� = 18.
a)
a) Szukamy: P(X < 160)
X -167 160 -167
X -167 160 -167 �ł
160 -167
�ł
�ł
P(X d" 160) = P�ł X -167 d" =
P(X d" 160) = P�ł d" =
P(X d" 160) = P�ł d"
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
18 18
18 18
18 18
�ł łł
�ł łł
�ł łł
= P(U d" -0,39) = Ć(-0,39) = 1-Ć(0,39) =
= P(U d" -0,39) = Ć(-0,39) = 1-Ć(0,39)
= 1- 0,6517 = 0,3483
Odp: 34,83%
18
2013-11-27
Przykład 11 - rozwiązanie
b)
b) Szukamy: P(165 < X < 170)
165 -167 X -167 170 -167
�ł
P(165 < X d"170) = P�ł < d" =
�ł �ł
18 18 18
�ł łł
= P(-0,11 < U d" 0,17) = Ć(0,17) -Ć(-0,11) =
= Ć(0,17) -1+Ć(0,11) =
Odp: 11,13%
= 0,5675 -1+ 0,5438 = 0,1113
c)
c) Szukamy: P(X > 175)
X -167 175 -167
�ł
P(X > 175) = P�ł > = P(U > 0,44) =
�ł �ł
18 18
�ł łł
Odp: 33%
= 1-Ć(0,44) = 1- 0,6700 = 0,33
Przykład 12.
Automat produkuje nity. Średnice główek są
wartościami zmiennej losowej o rozkładzie
N(2; 0,1) [w mm].
Jakie rozmiary średnicy z przedziału (2-�, 2+�)
można zagwarantować
z prawdopodobieństwem 0,95?
19
2013-11-27
Przykład 12 - rozwiązanie
N(2; 0,1) Standaryzacja, dla
P(2 - � < X < 2 + �) = 0,95 m = 2 i � = 0,1
� = ?
P(2 - � < X < 2 + � ) =
�ł 2 - � - 2 2 + � - 2 �ł �ł - � � �ł
= P < U < �ł �ł �ł
�ł = P < U < =
0,1 0,1 0,1 0,1łł
�ł łł �ł
�ł � �ł �ł -� �ł �ł � �ł �ł � �ł �ł � �ł
= Ć �ł �ł �ł �ł -1+Ć = 2�"Ć
�ł �ł -Ć = Ć �ł �ł �ł �ł -1
0,1łł �ł 0,1 0,1łł 0,1łł 0,1łł
�ł łł �ł �ł �ł
� 1,95
�ł � �ł �ł �ł
2 �"Ć
�ł �ł -1 = 0,95
Ć = = 0,975
�ł �ł
stąd:
0,1łł
0,1łł 2
�ł
�ł
Przykład 12 - rozwiązanie
20
2013-11-27
Przykład 12 - rozwiązanie
�
=1,9 + 0,06 =1,96
0,1
� = 1,96 �" 0,1 = 0,196
(2-�; 2+�)
(2-0,196; 2+0,196)
(1,804; 2,196)
(1,804; 2,196)
Przykład 13.
Ilość zapałek w dużym pudełku zapałek jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem
standardowym 4.
Jaka jest średnia ilość zapałek w pudełkach, jeżeli
prawdopodobieństwo, że
w losowo wybranym pudełku będzie więcej niż 105
wynosi 0,10565?
21
2013-11-27
Przykład 13 - rozwiązanie
Dane:
N(m, 4)
P( X > 105) = 0,10565
Szukane: m
Standaryzacja:
105 - m 105 - m
�ł �ł
P(X > 105) = P�łU > = 1-Ć�ł
�ł �ł �ł �ł
4 4
�ł łł �ł łł
105 - m
�ł
1- Ć�ł = 0,10565
�ł �ł
4
�ł łł
Przykład 13 - rozwiązanie
105 - m
�ł
Ć�ł = 0,89435
�ł �ł
4
�ł łł
105 - m
stąd:
= 1,25
m = 100
4
22