2009-04-07
Modelowanie zależności
pomiędzy zmiennymi losowymi
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. A
ochowski
Zmienne losowe niezależne -
przypomnienie
" Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y sÄ…
niezależne jeżeli dla dowolnych aP X " îÅ‚a,bÅ‚Å‚ & Y " îÅ‚c,dÅ‚Å‚ = P X,Y " îÅ‚a,bÅ‚Å‚ × îÅ‚c,dÅ‚Å‚
( ) (( ) )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= P X " îÅ‚a,bÅ‚Å‚ iP Y " îÅ‚c,dÅ‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
" Jeżeli X i Y są niezależne, to dla dowolnych
funkcji f i g, dla których istnieją Ef X ,Eg Y :
( ) ( )
E f X g Y = Ef X iEg Y
( ( ) ( ) ( ) ( )
)
" W ogólnej sytuacji, gdy X i Y nie są niezależne
powyższa równość nie musi zachodzić
Kowariancja i korelacja -
przypomnienie
" Jedną z wielu miar niezależności zmiennych losowych
jest współczynnik korelacji Pearsona, który definiujemy
za pomocą formuły
Cov X,Y E XY - EXiEY
( ) ( )
Á X,Y = =
( )
D X D Y D X D Y
( ) ( ) ( ) ( )
" Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału
[-1,1],
" nie zmienia siÄ™ przy transformacjach liniowych
zmiennych X i Y (z dokładnością do znaku),
" jeżeli jest równy 1 lub -1, to zmienne losowe X i Y są
związane zależnością liniową,
Á X,Y = 0
" Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to
( )
(ale nie na odwrót).
1
2009-04-07
Dwuwymiarowa zmienna losowa
" Dwuwymiarowa zmienna losowa
(dwuwymiarowy wektor losowy) (X,Y) to
zmienna, która przyjmuje wartości będące
parami liczb rzeczywistych.
" Współrzędne dwuwymiarowej zmiennej
losowej X i Y są również zmiennymi losowymi.
Możliwe są wszystkie kombinacje:
X  dyskretna X  ciągła
Y  dyskretna x x
Y - ciągła x x
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe,
przypadek dyskretny
" Rozkład łączny dwóch zmiennych losowych X i Y
to rozkład wektora losowego (X,Y) na płaszczyz
nie
liczb rzeczywistych
R2
" Jeżeli zmienne X i Y są dyskretne, to rozkład
łączny dany jest za pomocą prawdopodobieństw
P X =xi &Y =yj =P X,Y = xi,yj =pij,i,j =1,2,...
( )
( ) ( ( )
)
" Rozkłady brzegowe wektora (X,Y) to rozkłady
zmiennych X i Y
pij
" Zadanie: jaka jest zależność od
pi = P(X = xi)
oraz gdy X i Y są niezależne?
qj = P(Y = yj)
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe -
przypadek ciągły
" Jeżeli istnieje pewna funkcja
f :R2 îÅ‚
)
ðÅ‚0,+"
taka, że dla ab d
P X,Y " × = f x,y dxdy
îÅ‚ îÅ‚
( )
( ) ( )
ðÅ‚a,bÅ‚Å‚ ðÅ‚c,dÅ‚Å‚ a c
ûÅ‚ ûÅ‚ +" +"
to f nazywa się gęstością wektora (X,Y) zaś
zmienne X i Y mają rozkłady ciągłe odpowiednio o
gęstościach
+" +"
fX x = f x,y dy,fY y = f x,y dx
( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
-" -"
" Zadanie: jaka jest zależność pomiędzy gęstością
rozkładu łącznego a gęstościami rozkładów
brzegowych gdy zmienne X i Y są niezależne?
2
2009-04-07
Rozkład łączny i rozkłady brzegowe -
przypadek dyskretno-ciągły
" Jeżeli zmienna X ma rozkład ciągły a zmienna Y
ma rozkład dyskretny, to wówczas rozkład
łączny wektora (X,Y) można określić za pomocą
formuły
P(X " & Y = yj) = P( X,Y " × yj )
îÅ‚ îÅ‚
( ) { }
ðÅ‚a,bÅ‚Å‚ ðÅ‚a,bÅ‚Å‚
ûÅ‚ ûÅ‚
b
= fj x dx, j = 1,2,...
( )
+"
a
" Zadanie: wyznaczyć z powyższej formuły
gęstość zmiennej X oraz qj = P Y = yj
( )
Kopule i dystrybuanty dwuwymiarowe
" KopulÄ… nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™
2
spełniającą warunki
C :
îÅ‚
ðÅ‚0,1Å‚Å‚ îÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚0,1Å‚Å‚
C îÅ‚t,0Å‚Å‚ = C îÅ‚0,sÅ‚Å‚ = 0,C îÅ‚1,tÅ‚Å‚ = t,C îÅ‚s,1Å‚Å‚ = s,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
C îÅ‚s1,t1Å‚Å‚ + C îÅ‚s2,t2 Å‚Å‚ e" C îÅ‚s1,t2 Å‚Å‚ + C îÅ‚s2,t1Å‚Å‚ gdy
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
s1 d" s2,t1 d" t2
" Dystrybuantę rozkładu (X,Y ) definiujemy
wzorem
FX,Y s,t = P X d" s,Y d" t
( ) ( )
Kopule a dystrybuanty dwuwymiarowe
- Twierdzenie Sklara
" Dystrybuanta każdego rozkładu dwuwy-
miarowego, którego rozkłady brzegowe są
jednostajne na przedziale [0,1] jest kopulÄ…
" Zachodzi również odwrotne
Twierdzenie Sklara Każda dystrybuanta FX,Y s,t
( )
rozkładu dwuwymiarowego da się przedstawić
w postaci
FX,Y s,t = CX,Y FX s ,FY t
( ) ( ( ) ( )
)
FX s ,FY t
gdzie CX,Y kopula, a -
- ( ) ( )
dystrybuanty X i Y
3
2009-04-07
Współczynnik korelacji rang
Spearmana
" Współczynnik korelacji rang Spearmana
ÁS X,Y
zmiennych X i Y, , definiujemy za
( )
pomocą formuły
ÁS X,Y = Á FX X ,FY Y
( ) ( ( ) ( )
)
Á
gdzie - współczynnik korelacji Pearsona
" Zachodzi również formuła
1 1
ÁS X,Y = 12 îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
X,Y
+" +" ðÅ‚C s,t - s Å" tûÅ‚ dsdt
0 0
Współczynnik korelacji rang -
własności
" Współczynnik korelacji rang przyjmuje wartości z
przedziału [-1,1],
" nie zmienia siÄ™ przy transformacjach monotonicz-
nych zmiennych X i Y, (z dokładnością do znaku)
" jeżeli jest równy 1 lub -1, to zmienne losowe X i Y
są związane zależnością monotoniczną,
" Jeżeli X i Y są niezależne, to (ale
ÁS X,Y = 0
( )
nie na odwrót).
" Estymator współczynnika korelacji rang
2
n
rS = 1 - 6 Rxi - Ryi / n3 - n
( ) ( )
"
i=1
" Pytanie o rozkład asymptotyczny estymatora.
Prawdopodobieństwo warunkowe
" Prawdopodobieństwo warunkowe, że zmienna
X przyjmie wartości z przedziału [a,b], pod
warunkiem, że zmienna Y przyjmuje wartości z
przedziału [c,d] definiuje się, przy założeniu, że
P Y " îÅ‚c,dÅ‚Å‚ > 0
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
za pomocą formuły
P X " & Y "
îÅ‚
( )
ðÅ‚a,bÅ‚Å‚ îÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚c,dÅ‚Å‚
P X " îÅ‚
( )
ðÅ‚a,bÅ‚Å‚|Y " îÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚c,dÅ‚Å‚ =
P Y " îÅ‚
( )
ðÅ‚c,dÅ‚Å‚
ûÅ‚
P X " îÅ‚
" Zadanie: Obliczyć dla
( )
ðÅ‚a,bÅ‚Å‚|Y = yj
ûÅ‚
rozkładu dyskretno-ciągłego
4
2009-04-07
Rozkłady warunkowe
" (X,Y) - rozkład dyskretny, wówczas
P X = xi |Y = yj = pij / qj
( )
" (X,Y) - rozkład ciągły, wówczas możemy
określić gęstość warunkową
fX x |Y = y = f x,y / fY y
( ) ( ) ( )
" (X,Y)  rozkład dyskretno-ciągły, wówczas
fX x |Y = yj = fj x / P Y = yj = fj x / qj
( ) ( ) ( ) ( )
P Y = yj | X = x
" Zadanie: Obliczyć dla
( )
rozkładu dyskretno-ciągłego
Rozkłady warunkowe i brzegowe a
rozkłady łączne
" (X,Y) - rozkład dyskretny, wówczas
P X = xi & Y = yj
( )
= P X = xi |Y = yj iP Y = yj
( ) ( )
" (X,Y) - rozkład ciągły, wówczas
f x,y = fX x |Y = y ifY y
( ) ( ) ( )
" (X,Y)  rozkład dyskretno-ciągły, wówczas
fj x = fX x |Y = yj iP Y = yj
( ) ( ) ( )
= P Y = yj | X = x ifX x
( ) ( )
Rozkład ujemny dwumianowy jako
mieszanina rozkładów
" Zmienna (X,Y) ma rozkład dyskretno  ciągły,
" prawdopodobieństwa warunkowe są równe
P N = k | › =  = e-k / k!,k = 0,1,...
( )
" gÄ™stość brzegowa zmiennej › jest gÄ™stoÅ›ciÄ…
rozkÅ‚adu “(²,Ä…),
" wówczas N ma rozkład ujemny dwumianowy
²
Ä… +"
k
P N = k = e- ² -1e-Ä…d
( )
+"
0
“ ² k!
( )
² k
²
( ) ëÅ‚ ² + k - 1öÅ‚ Ä… öÅ‚ ëÅ‚ 1 öÅ‚
1 Ä… “ ² + k
ëÅ‚
= =
ìÅ‚ ÷Å‚
² +k ìÅ‚
k! “ ² k Ä… + 1÷Å‚ ìÅ‚ Ä… + 1÷Å‚
( ) íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(Ä… + 1 íÅ‚ Å‚Å‚
)
5
2009-04-07
Warunkowa wartość oczekiwana
" Warunkową wartość oczekiwaną X pod
warunkiem Y = y określamy jako wartość
oczekiwaną rozkładu warunkowego zmiennej
X pod warunkiem Y = y, np. w przypadku
dyskretnym
"
E X |Y = yj = P X = xi |Y = yj xi
( ) ( )
"
i =1
"
= pijxi / qj
"
i=1
" Warunkowa wartość oczekiwana pod
warunkiem Y=y jest pewnÄ… funkcjÄ… zmiennej y
E X |Y = y = E y
( ) ( )
Warunkowa wartość oczekiwana, c. d.
" Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X
pod warunkiem zmiennej Y definiujemy jako
E X |Y = E(Y)
( )
" Tak zdefiniowana warunkowa wartość
oczekiwana jest zmiennÄ… losowÄ… i jest zawsze
pewnÄ… funkcjÄ… zmiennej Y
" Zadanie: Obliczyć rozkład warunkowy i
E X |Y
( )
gdy zmienna (X,Y) ma rozkład łączny ciągły o
gęstości exp -x2 - 2xy - y2 - 2| y | / Ą
( )
Warunkowa wartość oczekiwana
- własności
" Warunkowa wartość oczekiwana, podobnie jak
wartość oczekiwana jest operacją liniową, tzn.
E X1 + ² X2 |Y = Ä…E X1 |Y + ²E X2 |Y
(Ä…
) ( ) ( )
Z = F(Y)
" Jeżeli zmienna jest funkcją zmiennej Y, to
E ZX |Y = ZE X |Y
( ) ( )
" Zachodzi również równość
E E X |Y = E X
( ( ) ( )
)
" Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to
E X |Y = E X
( ) ( )
6
2009-04-07
Dekompozycja wariancji
" Dla warunkowej wartości oczekiwanej
ponadto zachodzi następująca równość
2
D2 X = E X - EX
( ) ( )
2 2
= E X - E X |Y + E E X |Y - E X
( ( )) ( ( ) ( ))
" Zadanie: udowodnić powyższą równość
korzystając z równości
E E X |Y = E X ,
( ( ) ( )
)
sprawdzić obie równości dla wektora (X,Y) o
gęstości -x2 - 2xy - y2 - 2| y | / 2 Ą
exp
( )
Wariancja warunkowa
" WariancjÄ™ warunkowÄ… definiujemy jako
zmiennÄ… losowÄ…
2
D2 X |Y = E X - E X |Y |Y
( ) ( ( ))
( )
" Ze wzoru na dekompozycjÄ™ wariancji
D2 X = E D2 X |Y + D2 E X |Y
( ) ( ) ( )
( ) ( )
" Zadanie: udowodnić, że jeżeli mamy gęstość
warunkowÄ… to
fX x |Y = y , D2 X|Y = D2 Y ,
( ) ( ) ( )
+"
D2 y = x2fX x |Y = y dx
gdzie ( ) ( )
+"
0
2
+"
- xfX x | Y = y dx
( )
( )
+"
0
7