Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki
WBWiIÅš, 2 sem., r. akad. 2001/2002
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = 3x + 5 ln(x2 + y2 + 1).
2. Znalez
ć rozwiazanie równania różniczkowego y - tgx y = cos2x sinx spe ¸
¸ lniajace
"
warunek pocz¸ y(Ä„/4) = 2/2.
atkowy
3. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
n2 "
n (n + 2)!(n - 1)!
a) (-1)n2n , b) Ä„n
n + 1 (2n)!
n=1 n=1
i określić jej rodzaj.
Podać definicj¸ szeregu liczbowego i definicj¸ jego zbieżnoÅ›ci.
e e
4. Obliczyć cos 4y dx - 4x sin 4y dy po dowolnym luku g od punktu A(1, Ą/6)
ladkim
AB
do B(2, Ä„/4).
Sformu twierdzenie o niezależności ca krzywoliniowej od drogi ca
lować lki lkowania.
5. Korzystaj¸ z twierdzenia Greena obliczyć ca e
ac lk¸
(ey cos x - ex) dx + (ey sin x - x2) dy
K
gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D = {(x, y) " I : 0 d" y d"
R2
sin x, 0 d" x d" Ä„}.
6. Sprawdzić, czy funkcja u(x, y) = arctg(2x-y) spe równanie różniczkowe cz¸
lnia astkowe
uxx - 2uxy = 0.
ze2Ä„z
7. Korzystaj¸ ze wzoru ca dz, gdzie L jest
ac lkowego Cauchy ego obliczyć
(z2 + 4)2
L
dodatnio skierowanym trójk¸ o wierzcho w punktach z = 0, z = 1 + 3i i
atem lkach
z = -1 + 3i na p
laszczyz
nie zespolonej.
Podać warunek wystarczaj¸ istnienia pochodnej funkcji zmiennej zespolonej.
acy
8. Stosuj¸ wspó edne sferyczne obliczyć ca e potrójn¸ z x2 + y2 + z2 dx dy dz,
ac lrz¸ lk¸ a
V
gdzie V jest bry a opisan¸ nierównoÅ›ciami 0 d" z d" 4 - x2 + y2, x d" y i x e" 0.
l¸ a
Sformu twierdzenie o zamianie zmiennych w ca potrójnej.
lwać lce