Egzamin poprawkowy z matematyki, 2 sem. WBWiIÅš, r. 2001/2002
Nazwisko i imi¸ ........................................................................................... Grupa ..........
e
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x3 + 8y3 - 6xy + 5.
2. Wyznaczyć przedzia zbieżności szeregu
l
"
(x + 1)n
(-1)n+1 " ,
5n n + 1
n=1
zbadać jego zbieżność na końcach przedzia i określić jej rodzaj.
lu
3. Stosuj¸ wspó edne sferyczne obliczyć obj¸ bry ograniczonej powierzchniami
ac lrz¸ etość ly
x2 + y2 + z2 = 2z i x2 + y2 = z2 (dla x2 + y2 d" z2).
1
4. Znalez
ć rozwiazanie równania różniczkowego y - y = x spe ¸ warunek
¸ lniajace
x - 1
pocz¸ y(2) = 1.
atkowy
5. Korzystaj¸ z twierdzenia Greena obliczyć ca e xy dx + xy dy, gdzie K jest do-
ac lk¸
K
"
2
datnio zorientowanym brzegiem figury D = {(x, y) " : 4 - x2 d" y d" |x|, -2 d"
x d" 2}.
e2z
6. Korzystaj¸ ze wzoru ca dz, gdzie L jest
ac lkowego Cauchy ego obliczyć
z(z2 + Ä„2)2
L
dodatnio skierowanym okr¸ o równaniu |z + Ä„i| = 1.
egiem
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Sformu twierdzenie o zamianie zmiennych w ca podwójnej. Podać dowolny
lować lce
przyk takiej zamiany zmiennych. Zdefiniować i obliczyć jakobian podanego przek-
lad
szta
lcenia.
T.2 Podać definicj¸ zbieżnoÅ›ci szeregu liczbowego. Sformu 3 dowolne kryteria
e lować
zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Podać 3 przyk sz-
lady
eregów zbieżnych spe ¸ te kryteria.
lniajacych
T.3 Podać definicj¸ równania różniczkowego Bernoulli ego. Omówić metod¸ rozwiazywa-
e e ¸
nia tego typu równania. Podać przyk
lad.