ÿþE g z a m i n z m a t e m a t y k i , 2 s e m . W B W i I Z, r . 2 0 0 1 / 2 0 0 2
N a z w i s k o i i m i ¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G r u p a . . . . . . . . . .
e
I . C z ¸ [ z a d a n i o w a
e
e z
1 . K o r z y s t a j ¸ z e w z o r u C a u c h y e g o o b l i c z y d z , g d z i e C j e s t o k r ¸
a c e g i e m
z ( z + i ) 2
C
z o r i e n t o w a n y m d o d a t n i o o [r o d k u w p u n k c i e i o r a z p r o m i e n i u 1 / 2 .
"
( 2 n ) !
2 . a ) Z b a d a z b i e |n o [ s z e r e g u l i c z b o w e g o .
n 2 n
n = 1
b ) W y z n a c z y o b s z a r z b i e |n o [c i s z e r e g u i z b a d a z b i e |n o [ n a k o Dc a c h p r z e d z i a
l u
"
( - 1 ) n
" x n
3 n - 1 n
n = 1
3 . R o z w i a z a r ó w n a n i e y - y t g t = - s i n 2 t .
¸
c o s t
4 . W y z n a c z y e k s t r e m a f u n k c j i f ( x , y ) = e y - x ( y 2 - 2 x 2 ) .
z
1
5 . O b l i c z y d x d y d z , g d z i e B j e s t p o a t r z
l o |o n y m n a z e w n ¸ w a l c a x 2 + y 2 =
4
x 2 + y 2
B
o b s z a r e m o g r a n i c z o n y m p o w i e r z c h n i a m i x 2 + y 2 + z 2 = 2 i z = x 2 + y 2 .
y
6 . O b l i c z y ( 1 + l n x + ) d x - ( 1 - l n x ) d y p o d o w o l n y m l u k u g o d p u n k t u
l a d k i m
x
K
A ( e , 2 ) d o B ( 1 , 1 ) l e |¸ w p a s i e x > 0 .
a c y m
I I . C z ¸ [ t e o r e t y c z n a
e
T . 1 S f o r m u t w i e r d z e n i e o r ó |n i c z k o w a l n o [c i f u n k c j i u w i k P o d a p r z y k
l o w a l a n e j . l a d
f u n k c j i , d a n e j w s p o s ó b u w i k s p e ¸ z a t e g o t w i e r d z e n i a o r a z p o l i c z y
l a n y , l n i a j a c e j l o |e n i a
j e j p o c h o d n ¸ w w y b r a n y m p u n k c i e .
a
T . 2 P o d a d e f i n i c j ¸ o b s z a r u n o r m a l n e g o w z g l ¸ o s i O X . P o d a p r z y k o b s z a r u
e e d e m l a d
( w y k o n a r y s u n k i ) , k t ó r y j e s t
a ) n o r m a l n y w z g l ¸ o s i O X , a n i e j e s t n o r m a l n y w z g l ¸ o s i O Y ,
e d e m e d e m
b ) n o r m a l n y w z g l ¸ o s i O Y , a n i e j e s t n o r m a l n y w z g l ¸ o s i O X ,
e d e m e d e m
c ) n o r m a l n y z a r ó w n o w z g l ¸ o s i O X j a k i o s i O Y .
e d e m
T . 3 S f o r m u t w i e r d z e n i e o r o z w i j a n i u f u n k c j i w s z e r e g T a y l o r a . K o r z y s t a j a c z
l o w a ¸
r o z w i n i ¸ p o d s t a w o w y c h f u n k c j i e l e m e n t a r n y c h p r z e d s t a w i w p o s t a c i s z e r e g u M a c l a u -
e
r i n a f u n k c j ¸ f ( x ) = c o s 2 x . P o d a p r z e d z i a z b i e |n o [c i o t r z y m a n e g o s z e r e g u .
e l
T . 4 P o d a t w i e r d z e n i e G r e e n a i p o d a p r z y k ( z r o z w i ¸ l k i
l a d a z a n i e m ) o b l i c z a n i a c a p r z y
z a s t o s o w a n i u t e g o t w i e r d z e n i a .
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