Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBiIÅš, r. 2001/2002
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
2
x b
1. Wyznaczyć pochodn¸ funkcji f(x) = cos - ex , gdzie
a
a Ä„
n/2
2n - 1
a = lim i b = lim arctg(ln |x|).
n"
2n + 3 x0-
2. Wyznaczyć przedzia wkl¸ loÅ›ci i wypuk oraz punkty przegi¸ funkcji
ly es lości ecia
"
y = x 8 - x2.
3. Obliczyć ca
lki
x3 + 4x2 ln x dx
a) dx b)
x2 + 4x + 3 x + 9x ln2 x
4. Obliczyć obj¸ bry powsta przez obrót dooko osi OX wykresu funkcji
etość ly lej la
-x2 + 1, x d" 0
f(x) =
e-x, x > 0
dla x " [-1, +"]. Wykonać rysunek.
5. Dla jakich wartości parametru k uk równań
lad
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2y + 3z = 9
x
òÅ‚
x - y + kz = 4
ôÅ‚
ół
-kx - y + 2z = 4
jest uk Cramera. Rozwiazać ten uk metod¸ macierzow¸ przyjmujac
ladem ¸ lad a a ¸
k = 1.
6. Znalez
ć odleg punktu M(-1, 2, 5) od p
lość laszczyzny Ą : x + 2y - 5z + 1 = 0.
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Podać definicj¸ granicy w ¸ lady ¸
e laściwej ciagu liczbowego. Podać przyk ciagu
liczbowego zbieżnego do a) 0, b) 3 i robieżnego do c) -". Sformu
lować
twierdzenie o ciagu monotonicznym i ograniczonym.
¸
T.2 Podać definicj¸ ca niew lować
e lek laściwych pierwszego i drugiego rodzaju. Sformu
+"
dx
drugie twierdzenie g ówne rachunku ca lki ,
l lkowego. Zbadać zbieżność ca
xÄ…
1
ą e" 1 w zależności od parametru ą.
T.3 Podać definicj¸ i w
e lasności (min. 3) iloczynu wektorowego. Wyznaczyć iloczyn
wektorowy wektorów a = i+2 j - k i b = 3 i+ j -2 k. Przedstawić zastosowania
geometryczne iloczynu wektorowego.