Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiIÅš, r. 2003/2004
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
ln(3 + x).
1. Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x) = x +
x
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji g(x) = (x2 - 2x)2/3.
3. Obliczyć calki
"
4
x + 2
a) ln2(x + 1 + x2) dx b) " " dx
3 6
x( x + 4 x)
4. Obliczyć obj¸ bryly powstalej przez obrót dookola osi OX obszaru ograniczonego krzywymi
etość
y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x e" 0. Wykonać rysunek.
5. Wyznaczyć dla jakich dodatnich wartości parametru a poniższy uklad ma rozwiazanie:
¸
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 4 x
T
ìÅ‚ïÅ‚ śł śł
0 1 + a 0 - a · I÷Å‚ ïÅ‚ y = a2 a 1
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 z
26
1 + i
6. Obliczyć z = " . Przedstawić na plaszczyz
nie zespolonej za, gdzie a jest granic¸
a
2
3 + 5 + ... + (2n + 1)
nast¸ acego ciagu liczbowego: an = .
epuj¸ ¸
3n2 + 2
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Sformulować warunek konieczny i wystarczajacy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-
¸
x - 1
stawie tego twierdzenia zbadać istnienie lim . Podać definicj¸ ciagloÅ›ci funkcji w punkcie.
e ¸
x0
1 + 21/x
T.2 Sformulować twierdzenie Kroneckera Capelli ego. Podać definicj¸ rz¸ macierzy. Podać przyklad
e edu
macierzy rz¸ trzeciego nie b¸ acej macierz¸ kwadratow¸
edu ed¸ a a.
T.3 Podać definicj¸ calek niewlaÅ›ciwych drugiego rodzaju. Zilustrować dwa przypadki rysunkami.
e
Podać po jednym przykladzie calki do każdego z nich (bez rozwiazania).
¸
Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiIÅš, r. 2003/2004
I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
ln(3 + x).
1. Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x) = x +
x
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji g(x) = (x2 - 2x)2/3.
3. Obliczyć calki
"
4
x + 2
a) ln2(x + 1 + x2) dx b) " " dx
3 6
x( x + 4 x)
4. Obliczyć obj¸ bryly powstalej przez obrót dookola osi OX obszaru ograniczonego krzywymi
etość
y = arctg x, y = arcctg x i y = 0 dla x e" 0. Wykonać rysunek.
5. Wyznaczyć dla jakich dodatnich wartości parametru a poniższy uklad ma rozwiazanie:
¸
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 4 x
T
ìÅ‚ïÅ‚ śł śł
0 1 + a 0 - a · I÷Å‚ ïÅ‚ y = a2 a 1
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 z
26
1 + i
6. Obliczyć z = " . Przedstawić na plaszczyz
nie zespolonej za, gdzie a jest granic¸
a
2
3 + 5 + ... + (2n + 1)
nast¸ acego ciagu liczbowego: an = .
epuj¸ ¸
3n2 + 2
II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna
e
T.1 Sformulować warunek konieczny i wystarczajacy istnienia granicy funkcji w punkcie. Na pod-
¸
x - 1
stawie tego twierdzenia zbadać istnienie lim . Podać definicj¸ ciagloÅ›ci funkcji w punkcie.
e ¸
x0
1 + 21/x
T.2 Sformulować twierdzenie Kroneckera Capelli ego. Podać definicj¸ rz¸ macierzy. Podać przyklad
e edu
macierzy rz¸ trzeciego nie b¸ acej macierz¸ kwadratow¸
edu ed¸ a a.
T.3 Podać definicj¸ calek niewlaÅ›ciwych drugiego rodzaju. Zilustrować dwa przypadki rysunkami.
e
Podać po jednym przykladzie calki do każdego z nich (bez rozwiazania).
¸