Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki
Termin dodatkowy, WILiÅš, 2 sem., r. akad. 2004/2005
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = e2x(x + y2 + 2y).

dx dy dz
2. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę ,
x2 + y2 + 2z2
V
gdzie obszar V jest określony warunkami 4 x2 + y2 + z2 16, x 0, y 0
i z 0.
Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.

ze2Ä„z
3. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego obliczyć dz, gdzie C jest
z2 + 1
C
łamaną zamkniętą skierowaną dodatnio o wierzchołkach 0, 1 + 2i, -1 + 2i.
4. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć


x2 + y2 dx + (xy2 + y ln(x + x2 + y2) dy
L
gdzie jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D ograniczonej krzywymi
"L
y = x i y = x2.
Sformułować twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
"

(x + 2)n
"
n · 4n
n=1
i zbadać jego zbieżność na końcach przedziału.
Podać definicję szeregu liczbowego i definicję jego zbieżności.
1
6. Wyznaczyć całkę szczególną równania y + y cos x = sin 2x z warunkiem
2
poczÄ…tkowym y(0) = 1.