Zaliczenie poprawkowe z matematyki, 2 sem. WBWiIÅš, r.2001/2002
Nazwisko i imiÄ™.....................................................................................Grupa...........
y
1. Sprawdzić, czy funkcja u(x, y) = ln(ex + e ) spełnia równanie różniczkowe
2
ëÅ‚ öÅ‚
"2u "2u "2u
ìÅ‚ ÷Å‚
czÄ…stkowe: Å" = ..
÷Å‚
"x2 "y2 ìÅ‚ "x"y
íÅ‚ Å‚Å‚
2
" "
(n -1)!(n +1)! nn 9n
2. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych: 3n , .
" " 2
(2n)!3!
n=1 n=1 (n + 2)n
3. Rozwiązać równanie z danym warunkiem początkowym:
y'+3x2 y = x5, y(0) = 1.
4. Obliczyć za pomocą całki podwójnej pole obszaru ograniczonego podanymi
krzywymi: y = ex , y = ln x, x + y = 1, x = 2.
5. Obliczyć całkę (x2 + y2 +1)dl, gdzie
+"
K
Ä„
K : x(t) = et cost, y(t) = et sin t, t "[0, ].
4
6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
z = 3(x2 + y2), z = 4 - x2 + y2 . Naszkicować tę bryłę
7. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem: x3 + y3 - 6xy = 0 .
8. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę:
3
+"+"(x + x)dydz + y3dxdz + z3dxdy, gdzie S jest zewnętrzną stroną sfery:
S
x2 + y2 + z2 = a2 , a > 0.
3
9. Zbadać holomorficzność funkcji: f (z) = (z - 3i)2 + .
z