Uniwersytet Jagielloński
Wydział Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyki
Wykłady
z Funkcji Analitycznych
Marek Jarnicki
(Wersja z 31 maja 2009)
Spis treści
Rozdział 1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Homografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Funkcja exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Rozdział 2. Funkcje holomorficzne I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Pochodna zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Funkcje holomorficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Podstawowe własności funkcji holomorficznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Rodziny normalne, twierdzenia Montela i Vitalego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Zasada symetrii Riemanna Schwarza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Twierdzenie Cauchy ego Dixona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7. Jednowymiarowe rozmaitości zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8. Funkcje holomorficzne w " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9. Szeregi Laurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10. Osobliwości izolowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11. Funkcje meromorficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.12. Twierdzenie o residuach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13. Zastosowania do obliczania całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.14. Funkcje holomorficzne dane całką . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.15. Funkcja “ Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.16. Transformacja Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Rozdział Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Rozdział Indeks nazwisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Rozdział Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
ROZDZIAA 1
Wstęp
Poniższy rozdział, nie mający charakteru systematycznego wykładu, zawiera przegląd elementarnych
pojęć i własności, których znajomość jest niezbędna do zrozumienia dalszych części wykładu.
1.1. Liczby zespolone
Liczby zespolone C to ciaÅ‚o (R2, +, ·) z dziaÅ‚aniami okreÅ›lonymi nastÄ™pujÄ…co:
(x, y) + (u, v) := (x + u, y + v),
(x, y) · (u, v) := (xu - yv, xv + yu).
LiczbÄ™ rzeczywistÄ… x " R identyfikujemy z liczbÄ… zespolonÄ… (x, 0) " C; odwzorowanie
R x - (x, 0) " C
jest monomorfizmem ciał. Od tej chwili przyjmujemy, że x = (x, 0) dla x " R. W szczególności, uważamy, że
R ‚" C.
Na przestrzeń C możemy także patrzeć jako na dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową
(C, +; R, ·), gdzie Ä… · (x, y) := (Ä…x, Ä…y); odnotujmy, że to mnożenie zewnÄ™trzne jest zgodne z wyżej zdefinio-
wanym mnożeniem wewnÄ™trznym, tzn. Ä… · (x, y) = (Ä…, 0) · (x, y). BazÄ… tej przestrzeni sÄ… wektory (1, 0) = 1
i (0, 1) =: i. Mamy (x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) = x + iy; liczbÄ™ x nazywamy częściÄ… rzeczywistÄ… liczby
zespolonej z = (x, y) = x + iy i piszemy x = Re z, zaś liczbę y częścią urojoną z i piszemy y = Im z.
Odnotujmy, że i2 = -1.
Liczbę z := x - iy nazywamy liczbą sprzężoną do z. Odwzorowanie C z -J z " C jest izomorfizmem
ciał. Ponadto, J ć% J = idC oraz J|R = idR. Jest to jedyne nietrywialne odwzorowanie o tych własnościach.
Norma euklidesowa liczby zespolonej z = x + iy, zwana modułem tej liczby,
"
|z| := x2 + y2 = z · z
jest normą zespoloną, tzn. |zw| = |z||w| dla dowolnych z, w " C. Przypomnijmy nierówność trójkąta:
||z| - |w|| |z + w| |z| + |w|.
Z topologicznego punktu widzenia przestrzeń C traktujemy jako przestrzeń metryczną z odległością euklide-
sowÄ… Á(z, w) := |z - w|. Dla a " C bÄ™dziemy stosować nastÄ™pujÄ…ce oznaczenia:
K(a, r) := {z " C : |z - a| < r}, 0 < r + ", K(a, + ") := C,
K"(a, r) := K(a, r) \ {a}, K(r) := K(0, r), D := K(1),
C(a, r) := {z " C : |z - a| = r} = "K(a, r), T := C(1),
K(a, r) := {z " C : |z - a| r}, 0 r < + ", K(a, 0) := {a}, K(r) := K(0, r),
A(a, r-, r+) := {z " C : r- < |z - a| < r+}, - " r- < r+ + ", A(r-, r+) := A(0, r-, r+).
Odnotujmy, że A(a, r-, r+) = K(a, r+) dla r- < 0 oraz A(a, 0, r+) = K"(a, r+).
Dla z = x + iy, zbiór
arg z := {Õ " R : x = |z| cos Õ, y = |z| sin Õ}
nazywamy argumentem liczby z. Zapis z = |z| cos Õ + i|z| sin Õ = |z|(cos Õ + i sin Õ), Õ " arg z, nazywamy
postacią trygonometryczną liczby zespolonej. Zauważmy, że:
" arg 0 = R;
1
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
2
1. Wstęp
1
" dla z = 0 mamy: Õ1, Õ2 " arg z Ð!Ò! Õ1 - Õ2 " 2Ä„Z ;
" arg(zw) = arg z + arg w;
2
" dla z = r(cos Õ + i sin Õ) mamy zn = rn(cos nÕ + i sin nÕ) jest to tzw. wzór de Moivre a ;
" dla z = 0 mamy: arg(1/z) = - arg z;
" arg z = - arg z.
Dla z = 0 definiujemy argument główny Arg z liczby z jako ten (jedyny) z jej argumentów, który leży
w przedziale (-Ą, Ą]. Zdefiniujmy ponadto Arg 0 := 0. Odnotujmy, że:
" Arg z = 0 Ð!Ò! z = x " R+ := [0, + "),
" Arg z = Ä„ Ð!Ò! z = x " R<0 := (- ", 0),
" Arg z = - Arg z, z " C \ R-.
Zbiór
"
n
z := {w " C : wn = z}
"
n
nazywamy pierwiastkiem zespolonym n stopnia z liczby z. Mamy: 0 = {0};
"
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
z = |z|1/n cos + i sin : k = 0, . . . , n - 1 , z = 0, Õ " arg z,
n n
"
n
gdzie a1/n 0 oznacza pierwiastek arytmetyczny z liczby a 0. Geometrycznie: zbiór z składa się
z wierzchołków n kąta foremnego wpisanego w okrąg C(|z|1/n), którego jeden wierzchołek ma argument
(Arg z)/n.
Przypuśćmy, że każdemu punktowi" pewnego zbioru A ‚" C przyporzÄ…dkowaliÅ›my niepusty zbiór P (z) ‚"
z
n
C, np. A z - arg z lub A z - z. Powiemy, że funkcja ciągła p : A - C jest gałęzią jednoznaczną
funkcji wieloznacznej P , jeżeli p(z) " P (z) dla dowolnego z " A. W tym sensie możemy mówić o gałęzi
jednoznacznej argumentu, czy też gałęzi jednoznacznej n tego pierwiastka. Zauważmy, że:
" Z istnienia gałęzi jednoznacznej argumentu wynika istnienie gałęzi jednoznacznej n tego pierwiastka
a(z) a(z)
(p(z) := |z|1/n(cos + i sin )). Ćwiczenie: Czy zachodzi twierdzenie odwrotne ?
n n
" Jeżeli a : A - R jest gałęzią jednoznaczną argumentu, to a + 2kĄ jest gałęzią jednoznaczną argumentu
dla dowolnego k " Z.
" Jeżeli A jest spójny, zaś a1, a2 są dwoma gałęziami jednoznacznymi argumentu, to a1 - a2 a" 2Ąk dla
pewnego k " Z.
" Jeżeli p : A - C jest gaÅ‚Ä™ziÄ… jednoznacznÄ… n tego pierwiastka, to µp jest gaÅ‚Ä™ziÄ… jednoznacznÄ… n tego
"
n
pierwiastka dla dowolnego µ " 1.
" W zbiorze C \ R- istnieje gałąz jednoznaczna argumentu i każda gałąz argumentu w C \ R- ma postać
a(z) = Arg z + 2kĄ dla pewnego k " Z. Ogólniej, dla dowolnej półprostej L o początku w zerze, w obszarze
C \ L istnieje jednoznaczna gałąz argumentu. W szczególności, dla dowolnego z0 " C" := C \ {0}, w kole
K(z0, |z0|) istnieje jednoznaczna gałąz argumentu.
" Jeżeli C(r) ‚" A dla pewnego r > 0, to w zbiorze A nie istnieje gaÅ‚Ä…z jednoznaczna pierwiastka (a wiÄ™c
i argumentu).
1.2. Sfera Riemanna
3
Sfera Riemanna C to jednopunktowe uzwarcenie C, C := C *" { "}, gdzie:
" symbol " " C,
/
" zbiór U ‚" C jest otoczeniem ", jeżeli { "} *" A(R, + ") ‚" U dla pewnego R > 0.
1
Dla c " C, A, B ‚" C, stosujemy nastÄ™pujÄ…ce oznaczenia: A · B := {ab : a " A, b " B}, cA := {ca : a " A} = {c} · A,
A + B := {a + b : a " A, b " B}, c + A := {c + a : a " A} = {c} + A = A + c, -A := (-1)A.
2
Abraham de Moivre (1667 1754) matematyk francuski.
3
Bernhard Riemann (1826 1866) matematyk niemiecki.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
3
1.3. Homografie
Topologia C jest metryzowalna, np. poprzez metrykÄ™ sferycznÄ…
Å„Å‚
jeżeli a = b = "
ôÅ‚
ôÅ‚0,
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚ "
, jeżeli a " C, b = "
òÅ‚
1+|a|2
d(a, b) := , a, b " C.
1
"
, jeżeli a = ", b " C
ôÅ‚
ôÅ‚
1+|b|2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
|a-b|
ół
" "
, jeżeli a, b " C
1+|a|2 1+|b|2
(C,d)
Widać, że dla ciÄ…gu (zk) " ‚" C mamy: zk - " wtedy i tylko wtedy, gdy |zk| - + ".
k=1
Definiujemy:
" + a = a + " := " dla dowolnego a " C,
a · " = " · a := " dla dowolnego a " C \ {0},
1/0 := ", 1/ " := 0.
Ćwiczenie 1.2.1. (a) Sfera Riemanna C jest homeomorficzna z dwuwymiarową sferą euklidesową
S := "B3((0, 0, 1/2), 1/2) ‚" R3
poprzez rzut stereograficzny R : S - C, R(N) := ", gdzie N := (0, 0, 1),
u v
R(u, v, w) := , , (u, v, w) " S \ {N};
1 - w 1 - w
R " CÉ(S \ {N}, R2).
(b)
Re z Im z |z|2
R-1(z) = , , , z " C;
1 + |z|2 1 + |z|2 1 + |z|2
R-1 " CÉ(R2, R3).
(c) d(a, b) = R-1(a) - R-1(b) , a, b " C, gdzie oznacza normÄ™ euklidesowÄ… w R3.
(d) Rzut stereograficzny jest odwzorowaniem konforemnym w S \ {N}, tzn. dla dowolnych dwóch krzy-
wych ł1, ł2 : [-1, 1] - S klasy C1 takich, że ł1(0) = ł2(0) " S \ {N}, ł1(0) = 0, ł2(0) = 0, kąt skiero-
wany pomiędzy wektorami (R ć% ł1) (0), (R ć% ł2) (0) jest równy kątowi skierowanemu pomiędzy wektorami
Å‚1(0), Å‚2(0).
1.3. Homografie
HomografiÄ… nazywamy dowolne odwzorowanie h : C - C postaci
az + b
a b
h(z) = , det = 0, (*)
c d
cz + d
przy czym:
" dla c = 0 kładziemy h( ") := ",
" dla c = 0 kładziemy h(-d/c) := " i h( ") := a/c.
Obserwacja 1.3.1 (Własności homografii szczegóły pozostawiamy jako Ćwiczenie).
(1) Mamy następujące homografie elementarne:
Nazwa Opis Parametry Liczba parametrów
rzeczywistych
translacje z - z + b b " C 2
obroty z - az a " T 1
homotetie z - tz t > 0 1
odwzorowania afiniczne z - az + b a " C", b " C 4
inversja z - 1/z
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
4
1. Wstęp
Każde odwzorowanie afiniczne jest złożeniem obrotu, homotetii i translacji.
(2) Złożenie homografii jest homografią. Każda homografia jest odwzorowaniem bijektywnym. Odwzorowa-
nie odwrotne do homografii jest homografią. Każda homografia jest homeomorfizmem C na C. Zbiór
wszystkich homografii H jest grupą ze składaniem. Translacje, obroty i odwzorowania afiniczne tworzą
podgrupy.
(3) Każda homografia jest złożeniem homografii elementarnych. Grupa H zależy od 6 niezależnych parame-
trów rzeczywistych.
(4) Każda homografia h jest odwzorowaniem konforemnym na C )" h-1(C).
(5) Równanie
z - p
= , (**)
z - q
gdzie p, q " C, p = q, > 0, przedstawia:
" dla = 1 prostÄ…,
" dla = 1 okrÄ…g
p - 2q |p - q|
C , ,
1 - 2 |1 - 2|
4
względem których punkty p i q są symetryczne .
Odwrotnie, dowolna prosta lub okrąg mogą być opisane równaniem (**). W przypadku okręgu C(z0, r),
punkt p " C \ ({z0} *" C(z0, r)) wybieramy w sposób dowolny i kładziemy
r2 |p - z0|
q := z0 + , := .
p - z0 r
(6) Dowolną prostą uzupełnioną " nazywamy okręgiem niewłaściwym. Okrąg właściwy lub nie, dany rów-
naniem (**) jest przekształcany przez homografię (*) na okrąg właściwy lub nie dany równaniem
w - h(p) qc + d
= .
w - h(q) pc + d
W szczególności punkty symetryczne przechodzą zawsze w punkty symetryczne.
Zauważmy, że:
" jeżeli h jest odwzorowaniem afinicznym, to prosta przechodzi na prostą i okrąg na okrąg,
" h jest inwersją, to otrzymujemy równanie
w - 1/p q
= ,
w - 1/q p
co oznacza, że obrazem prostej jest albo prosta (gdy |p| = |q|), albo okrąg (gdy |p| = |q|), zaś obrazem
okręgu jest albo okrąg (gdy |q| = |p|), albo prosta (gdy |q| = |p|).
(7) Niech H+ := {x + iy " C : y > 0}. Dla dowolnego a " H+ homografia
z - a
h(z) :=
z - a
przekształca H+ na koło jednostkowe D.
Istotnie, h(a) = 0 oraz dla x " R mamy
x - a
|h(x)| = = 1,
x - a
czyli h(R) ‚" T. Ponieważ, homografie sÄ… homeomorfizmami przeksztaÅ‚cajÄ…cymi proste na proste lub
okręgi, musimy mieć h(H+) = D.
4
W przypadku okręgu C(z0, r) oznacza to, że punkty te leżą na jednej półprostej wychodzącej z z0 oraz |p-z0||q -z0| =
r2. Dodatkowo, umawiamy się że punkty z0 i " są również symetryczne względem C(z0, r).
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
5
1.4. Funkcja exp
(8) Dla dowolnych a " D, Å› " T, homografia
z - a
h(z) := Å›
1 - az
przekształca D na D.
Istotnie, h(a) = 0 oraz dla dowolnego z = 1/z " T mamy
z - a z - a
|h(z)| = = = 1,
1 - a/z z - a
czyli h(T) ‚" T. Dalej rozumujemy, jak poprzednio.
(9) Zbiór A wszystkich homografii postaci takiej, jak w (8) jest podgrupą grupy AutH(D) wszystkich homo-
grafii przekształcających D na D.
(10) AutH(D) = A. W szczególności, grupa AutH(D) zależy od 3 parametrów rzeczywistych. Ponadto, grupa
ta działa tranzytywnie na D, tzn. dla dowolnych a, b " D istnieje h " AutH(D) takie, że h(a) = b.
Istotnie, niech f " AutH(D) i niech g " A będzie takie, że g(f(0)) = 0. Wtedy h := g ć%f " AutH(D) oraz
az+b
h(0) = 0. Wystarczy pokazać, że h musi być obrotem. Niech h(z) = . Ponieważ h(0) = 0, musi być
cz+d
b = 0. Punkty 0 i " są symetryczne względem T. Wynika stąd, że h( ") = ", a więc c = 0. Ponieważ
h(T) = T, musi być a/d " T, czyli h jest obrotem.
(11) Niech Dj będzie dowolnym kołem lub połpłaszczyzną i niech aj " Dj, bj " "CDj, j = 1, 2. Wtedy
istnieje homografia h taka, że h(D1) = D2 oraz h(a1) = a2, h(b1) = b2.
az+b
(12) Homografia postaci (*), h = id, może mieć jeden lub dwa punkty stałe wyznaczane z równania = z.
cz+d
1.4. Funkcja exp
Definiujemy funkcję wykładniczą exp : C - C,
"
zn
exp(z) = ez := , z " C.
n!
n=0
Obserwacja 1.4.1 (Własności exp).
(1) Funkcja exp jest poprawnie okreÅ›lona. Jest to funkcja C - C klasy CÉ. Definicja jest zgodna dla
z = x " R.
(2) ea+b = ea · eb, a, b " C.
Istotnie,
" "
(a + b)n " n n ak bn-k (*) an " bn
ea+b = = = = ea · eb,
n! k k! (n - k)! n! n!
n=0 n=0 k=0 n=0 n=0
5
gdzie (") to iloczyn Cauchy ego szeregów.
(3) ea = 0, a " C.
(4) ez = ex(cos y + i sin y), z = x + iy " C.
(5) Definiujemy
eiz + e-iz eiz - e-iz
cos z := , sin z := , z " C.
2 2i
e+1/e
6 3
Są to tzw. wzory Eulera . Definicje są zgodne dla z = x " R. Odnotujmy, że np. cos i = > .
2 2
(6) ez = ew Ð!Ò! z - w = 2Ä„ik dla pewnego k " Z.
5
Augustin Cauchy (1789 1857) matematyk i fizyk francuski.
6
Leonhard Euler (1707 1783) matematyk i fizyk szwajcarski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
6
1. Wstęp
(7) Funkcje cos i sin majÄ… okres 2Ä„. Ponadto, cos z = 0 Ð!Ò! z = Ä„/2 + kÄ„, k " N, sin z = 0 Ð!Ò! z = kÄ„,
k " N. Definiujemy
sin z cos z
tg z := , z " C \ {Ą/2 + kĄ : k " Z}, ctg z := , z " C \ {kĄ : k " Z}.
cos z sin z
ZachodzÄ… wszystkie standardowe wzory znane dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej,
np. cos2 z + sin2 z = 1, z " C.
(8) exp(C) = C".
(9) Definiujemy funkcje hiperboliczne, sinus i kosinus hiperboliczny
ez + ez ez - e-z
sinh z := , sinh z := , z " C.
2 2
Dla z " C definiujemy logarytm zespolony
log z := {w " C : ew = z}
oraz logarytm główny Log : C - C,
Log z := ln |z| + i Arg z, z " C.
Odnotujmy, że:
" log 0 = ",
" log z = {ln |z|} + i arg z, z = 0,
" dla dowolnego zbioru spójnego A ‚" C" w zbiorze A istnieje gaÅ‚Ä…z jednoznaczna logarytmu wtedy i tylko
wtedy, gdy w A istnieje gałąz jednoznaczna argumentu a. Ponadto, (z) = ln |z| + ia(z) + 2kĄi, z " A, dla
pewnego k " Z,
" w C\R- istnieje gałąz jednoznaczna logarytmu i każda taka gałąz ma postać (z) = ln |z|+i Arg z +2kĄi,
z " A, dla pewnego k " Z.
Dla dowolnego a " C" definiujemy potęgę zespoloną
ab := {ebw : w " log a}, b " C.
Ponadto, kładziemy 0b := {0} dla b " C". Odnotujmy, że:
n
" an = {a"} dla dowolnego n " Z, gdzie po prawej stronie an rozumiemy w sensie klasycznym,
n
" a1/n = a, n " N,
0
" dla dowolnego w0 " log a, funkcja C z - ezw jest gałęzią jednoznaczną potęgi C z - az; czy
każda gałąz musi być tej postaci (Ćwiczenie) ?,
" jeżeli w zbiorze A ‚" C" istnieje gaÅ‚Ä…z jednoznaczna logarytmu , to dla dowolnego b " C, w A istnieje gaÅ‚Ä…z
jednoznaczna potęgi A z - zb, np. A z - eb (z); czy każda gałąz musi być tej postaci (Ćwiczenie) ?
Przykład 1.4.2.
ii = {e-(2k+1/2)Ä„ : k " Z} ‚" R>0.
Ćwiczenie 1.4.3. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem i niech f : D - C" bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä…, dla której
w obszarze D istnieje jednoznaczna gałąz log f. Oznaczmy ją L. Mamy eL a" f. Niech a " D i niech
f(K(a, r)) ‚" K(f(a), |f(a)|). Niech bÄ™dzie dowolnÄ… gaÅ‚Ä™ziÄ… logarytmu w K(f(a), |f(a)|). Wtedy L =
ć% f + 2kĄi w K(a, r) dla pewnego k " Z.
1.5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych
"
n
Przykład 1.5.1 (n ty pierwiastek). Wiemy, że w zbiorze C\R- istnieje gałąz jednoznaczna z, np. f(z) :=
1
Log z
n
e . Funkcja ta odwzorowuje homeomorficznie górną półpłaszczyznę H+ na kąt
{z " C : 0 < Arg z < Ä„/n}
(odwzorowaniem odwrotnym jest oczywiście z - zn).
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
7
1.5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych
7
Przykład 1.5.2 (Funkcja Żukowskiego ). Funkcją Żukowskiego nazywamy funkcję
1
f(z) := (z + 1/z), z " C".
2
Niech f(z) = f(reit) = u + iv, czyli
1
u = (r + 1/r) cos t,
2
1
v = (r - 1/r) sin t.
2
Wtedy f(z) = f(1/z), z " C". ponadto, f jest injektywna w D" oraz w C \ D i odwzorowuje homeomor-
ficznie każdy z tych obszarów na C \ [-1, 1]; odwzorowania odwrotne mają postać
1
Log(w2-1)
2
C \ [-1, 1] w - w Ä… w2 - 1 = w Ä… e .
Istotnie, jeżeli f(z1) = f(z2) dla z1, z2 " D", to (z1 - z2)(1 - 1/(z1z2)) = 0, a stąd z1 = z2.
1
Dla r > 0, r = 1, obrazem okręgu C(r) jest elipsa o ogniskach ą1 i półosiach (r ą 1/r). Jeżeli r - 0,
2
to ta elipsa oddala się do ". Jeżeli r - 1, to zmierza do odcinka [-1, 1], który jest dwukrotnie pokryty
przez obraz T.
Przykład 1.5.3 (exp). Niech u + iv = ez = ex+iy tzn.
u = ex cos y,
v = ex sin y.
(a) Dla dowolnego y0 " R, pas poziomy {x + iy : x " R, y0 - Ä„ < y y0 + Ä„} jest odwzorowywany
bijektywnie (ale oczywiście nie homeomorficznie !) na C". Pozioma prosta y = y0 przechodzi na promień
{(ex cos y0, ex sin y0) : x " R}. Pas otwarty {x + iy : x " R, y0 - Ä„ < y < y0 + Ä„} jest odwzorowany
homeomorficznie na C \ R- (odwzorowaniem odwrotnym jest Log).
(b) Dla dowolnych p0 " R", q0 " R, pas ukośny {(x, p0x + q) : x " R, q0 - Ą < q q0 + Ą}
jest odwzorowywany bijektywnie na C". Prosta ukośna y = p0x + q0 przechodzi na linię śrubową postaci
{(ex cos(p0x + q0), ex sin(p0x + q0) : x " R}.
Przykład 1.5.4 (sin). Funkcja sinus odwzorowuje homeomorficznie pas
{x + iy : -Ä„/2 < x < Ä„/2, y " R}
na C \ ((- ", 1] *" [1, + ")) =: D. Istotnie, niech
1 1 1
sin z = sin(x + iy) = (ei(x+iy) - e-i(x+iy)) = (ey + e-y) sin x + i (ey - e-y) cos x
2i 2 2
= cosh y sin x + i sinh y cos x =: u + iv.
Prosta pionowa x = 0 przechodzi bijektywnie na prostą u = 0. Każda prosta pionowa x = c = 0 przechodzi
bijektywnie w jedną z gałęzi hiperboli
u2 v2
- = 1.
cos2 c
sin2 c
Wypełniają one cały obszar D.
Przykład 1.5.5. Jak zachowuje się funkcja tg w pasie {x + iy : -Ą/2 < x < Ą/2, y " R} ?
7
Nikolai Żukowski (1847 1921) matematyk rosyjski.
ROZDZIAA 2
Funkcje holomorficzne I
2.1. Pochodna zespolona
Niech &! ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym i niech f : &! - C, f = u + iv. Na funkcjÄ™ f, możemy zawsze
patrzeć jako na odwzorowanie (u, v) : &! - R2. W szczególności, można pytać o różniczkowalność w sensie
rzeczywistym tego odwzorowania w pewnym punkcie a " &!. Niech fR(a) oznacza rzeczywistą różniczkę
1
Frécheta odwzorowania f w punkcie a (o ile istnieje). Wiemy, że dla Z = X + iY mamy
"f "f "f Z + Z "f Z - Z
fR(a)(Z) = (a)X + (a)Y = (a) + (a)
"x "y "x 2 "y 2i
1 "f "f 1 "f "f "f "f
= (a) - i (a) Z + (a) + i (a) Z =: (a)Z + (a)Z,
2 "x "y 2 "x "y "z "z
gdzie
"f 1 "f "f "f 1 "f "f
(a) := (a) - i (a) , (a) := (a) + i (a)
"z 2 "x "y "z 2 "x "y
oznaczają pochodne formalne funkcji f w punkcie a. Oczywiście, do ich zdefiniowania wystarczy istnienie
"f "f
pochodnych czÄ…stkowych (a), (a).
"x "y
Definicja 2.1.1. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie a pochodną zespoloną f (a), jeżeli granica
f(a + h) - f(a)
f (a) := lim
C" h0 h
istnieje i jest skoÅ„czona. Innymi sÅ‚owy, f ma w punkcie a zespolonÄ… różniczkÄ™ Frécheta fC(a) oraz fC(a)(Z) =
f (a)Z, Z " C.
Propozycja 2.1.2. NWSR:
(i) f (a) istnieje;
(ii) fC(a) istnieje;
(iii) fR(a) istnieje oraz jest operatorem C-liniowym;
(iv) fR(a) istnieje oraz spełnione są równania Cauchy ego Riemanna
"f "u "v "u "v
(a) = 0, czyli (a) = (a), (a) = - (a).
"z "x "y "y "x
W szczególności, jeżeli f (a) istnieje, to fR(a)(Z) = f (a)Z oraz
"f "f "f
f (a) = (a) = -i (a) = (a).
"x "y "z
Przykład 2.1.3. Funkcja f(x + iy) := |xy|, z = z + iy " C, ma w punkcie a = 0 obie pochodne cząstkowe
"f "f
( (0) = (0) = 0), które spełniają oczywiście równania Cauchy ego Riemanna, ale f (0) nie istnieje.
"x "y
Definicja 2.1.4. Niech Pn(C) := oznacza zbiór wszystkich wielomianów zespolonych jednej zmiennej zespo-
lonej stopnia n (n " Z+), tzn. zbiór wszystkich funkcji postaci C z - a0 + a1z + · · · + anzn " C. Jest
1
René Fréchet (1878 1973) matematyk francuski.
9
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
10
2. Funkcje holomorficzne I
"
to oczywiÅ›cie zespolona przestrzeÅ„ wektorowa. Ponadto, Pn(C) ‚" Pn+1(C). Połóżmy, P(C) := Pn(C).
n=0
Jest to pierścień.
Niech R(C) := oznacza pierścień wszystkich funkcji wymiernych jednej zmiennej zespolonej, tzn. zbiór
wszystkich ułamków L/M, gdzie L, M " P(C), M a" 0. Każda funkcja wymierna jest funkcją ciągłą C - C.
Ćwiczenie 2.1.5. (a) Do różniczkowania zespolonego stosują się standardowe wzory na różniczkowanie
sumy, iloczynu i ilorazu.
(b) Każdy wielomian p(z) = a0 + a1z + · · · + anzn " Pn(C) jest różniczkowalny w sensie zespolonym
w każdym punkcie oraz p (z) = a1 +2a2z +· · ·+nanzn-1 " Pn-1(C). Każda funkcja wymierna L/M " R(C)
jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie z " C \ M-1(0).
(c) Niech f : &! - &! bÄ™dzie odwzorowaniem bijektywnym na pewien zbiór otwarty &! ‚" C takim, że
f (a) istnieje. Niech b := f(a), g := f-1 : &! - &!. Wtedy NWSR:
(i) g (b) istnieje;
(ii) f (a) = 0 oraz g jest ciągłe w punkcie b.
1
Ponadto, g (b) = .
f (a)
(d) Jeżeli f (a) istnieje, to det fR(a) = |f (a)|2 = | det fR(a)|2. Istotnie
u x(a) u y(a) u x(a) -vx(a)
det fR(a) = det = det = (u x(a))2 + (vx(a))2 = |f (a)|2.
vx(a) vy(a) vx(a) u x(a)
(e) Jeżeli f : &! - C jest odwzorowaniem klasy C1 takim, że f (a) istnieje i f (a) = 0, to dla pewnego
otwartego otoczenia U ‚" &! punktu a, odwzorowanie f|U : U - V jest C1 dyfeomorfizmem na pewne
1
otwarte otoczenie punktu b := f(a) i jeżeli g := (f|U )-1, to g (b) istnieje i g (b) = .
f (a)
Przykład 2.1.6. (a) Funkcja exp ma pochodną zespoloną w dowolnym punkcie oraz exp (z) = exp(z),
z " C.
Istotnie, ponieważ exp(x + iy) = ex(cos y + i sin y), zatem funkcja exp jest klasy CÉ(R2, C). Ponadto, dla
z = x + iy, mamy
" exp 1 " exp " exp 1
(z) = (z) + i (z) = ex(cos y + i sin y) + iex(- sin y + i cos y) = 0,
"z 2 "x "y 2
co oznacza, że w każdym punkcie spełnione są równania Cauchy ego Riemanna, czyli exp (z) istnieje dla
" exp
dowolnego z. Ponadto, exp (z) = (z) = exp(z), z " C.
"x
(b) Niech D ‚" C" bÄ™dzie obszarem, w którym istnieje gaÅ‚Ä…z jednoznaczna logarytmu . Wtedy (z) =
1/z, z " D.
Istotnie, niech b " D, a := (b). Do funkcji f := exp stosujemy Ćwiczenie 2.1.5(e), z którego wnioskujemy,
1 1 1
że (b) = = = .
f (a) exp( (b)) b
Ćwiczenie 2.1.7. sin z = cos z, cos z = - sin z, z " C.
Dla drogi (tzn. krzywej kawaÅ‚kami klasy C1) Å‚ : [Ä…, ²] - C oraz funkcji ciÄ…gÅ‚ej f = u + iv : Å‚" - C
definiujemy
²
fdz := udx - vdy + i vdx + udy = f(Å‚(t))Å‚ (t)dt.
Å‚ Å‚ Å‚ Ä…
Zauważmy, że
f(z)dz (Å‚) f ,
Å‚"
Å‚
gdzie
²
(Å‚) = |Å‚ (t)|dt
Ä…
oznacza dÅ‚ugość krzywej Å‚, zaÅ› dla Õ : A - C kÅ‚adziemy
Õ := sup{|Õ(z)| : z " A}.
A
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
11
2.1. Pochodna zespolona
2
Propozycja 2.1.8 (Wzór Cauchy ego Greena ). Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem p spójnym, którego brzeg
3
składa się z p dróg Jordana zorientowanych dodatnio względem D. Niech f " C1(D) . Wówczas
"f
(Å›)
1 f(Å›)
"Å›
f(z) = dÅ› + dÅ› '" dÅ› , z " D.
2Ä„i Å› - z Å› - z
"D D
W szczególności, jeżeli f " C1(D) oraz f (z) istnieje dla dowolnego z " D, to
1 f(Å›)
f(z) = dÅ›, z " D.
2Ä„i Å› - z
"D
Dowód. Ustalmy K(a, µ) ‚"‚" D. Wówczas, na mocy wzoru Greena (zastosowanego do obszaru Dµ := D \
K(a, µ)), mamy
f(Å›) f(Å›) f(Å›) f(Å›)
dÅ› - dÅ› = dÅ› = d dÅ›
Å› - a Å› - a Å› - a Å› - a
"D C(a,µ) "Dµ Dµ
"f "f
(Å›) (Å›)
"Å› "Å›
= - dÅ› '" dÅ› - - dÅ› '" dÅ›,
µ-0
Å› - a Å› - a
Dµ D
przy czym okrÄ…g C(a, µ) utożsamiamy z krzywÄ… [0, 2Ä„] t - a + µeit. Utożsamienie to bÄ™dziemy stosować
konsekwentnie w przyszłości.
Z drugiej strony,
1 f(Å›)
dÅ› - f(a) max{|f(Å›) - f(a)| : Å› " C(a, µ)} - 0.
µ0+
2Ä„i Å› - a
C(a,µ)
Propozycja 2.1.9. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem i niech f = u + iv : D - C bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a. Wtedy NWSR:
b
(i) dla dowolnych a, b " D, całka f(z)dz := f(z)dz nie zależy od wyboru drogi ł łączącej a i b w D;
a Å‚
(ii) funkcja f posiada pierwotną zespoloną, tzn. istnieje funkcja F : D - C taka, że F (z) = f(z) dla
dowolnego z " D.
Dowód. (ii) =Ò! (i):
² ²
f(z)dz = F (Å‚(t))Å‚ (t)dt = (F ć% Å‚) (t)dt = F (Å‚(²)) - F (Å‚(Ä…)).
Å‚ Ä… Ä…
(ii) =Ò! (i): Niezależność caÅ‚ki f(z)dz od drogi caÅ‚kowania jest równoważna niezależnoÅ›ci caÅ‚ek
Å‚
udx - vdy, vdx + udy
Å‚ Å‚
od drogi caÅ‚kowania, co oznacza, że istniejÄ… funkcje Õ, È " C1(D, R) takie, że
"Õ "Õ "È "È
= u, = -v, = v, = u.
"x "y "x "y
Niech F := Õ + iÈ. Wtedy F jest klasy C1, speÅ‚nia w każdym punkcie równania Cauchy ego Riemanna oraz
F = Õ x + iÈx = u + iv = f.
Propozycja 2.1.10 (Indeks punktu względem drogi zamkniętej). Niech ł : [0, 1] - C będzie dowolną
drogą zamkniętą. Wtedy całka krzywoliniowa
1
1 1 1 Å‚ (t)
Indł(a) := dz = dt, a " C \ ł",
2Ä„i z - a 2Ä„i Å‚(t) - a
Å‚ 0
nosząca nazwę indeksu punktu a względem drogi ł, przyjmuje wartości całkowite, stałe w każdej składowej
spójnej zbioru C \ ł", przy czym Indł = 0 w składowej nieograniczonej zbioru C \ ł".
2
George Green (1793 1841) matematyk i fizyk angielski.
3
Tzn. f " C1(&!), gdzie &! ‚" C jest zbiorem otwartym takim, że D ‚" &!.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
12
2. Funkcje holomorficzne I
Odnotujmy, że Indł(a) jest oczywiście niezależny od zmiany parametryzacji drogi ł.
Dowód. Z twierdzenia o funkcjach danych całką wynika, że Indł jest funkcją ciągłą. Ponadto,
1 (Å‚)
| Indł(a)| - 0.
a "
2Ä„ dist(a, Å‚")
Pozostaje więc wykazać, że Indł(a) " Z dla dowolnego a " C \ ł". Ustalmy a i niech
x
Å‚ (t)
h(x) := dt, 0 x 1.
Å‚(t) - z
0
Jest to funkcja ciągła, różniczkowalna poza skończoną liczbą punktów, h(0) = 0, h(1) = 2Ąi Indł(a). Za-
uważmy, że
(e-h(Å‚ - a)) = e-h(-h (Å‚ - a) + Å‚ ) = 0
poza skończoną liczbą punktów. Tak więc e-h(ł - a) = const = ł(0) - a. Wynika stąd, że
Å‚ - a
eh = ,
Å‚(0) - a
a stąd eh(1) = 1, a więc h(1) = 2Ąi Indł(a) = 2Ąi k dla pewnego k " Z.
Ćwiczenie 2.1.11. (a)
1, gdy z " K(a, r)
IndC(a,r)(z) = .
0, gdy z " K(a, r)
/
(b) Niech ł : [0, 1] - C będzie zamknięta drogą Jordana zorientowaną dodatnio względem int ł. Wtedy
1, gdy z " int Å‚
Indł(z) = .
0, gdy z " ext Å‚
Propozycja 2.1.12. Niech ł : [0, 1] - C będzie dowolna krzywą zamkniętą, niech a " C \ ł" i niech
r := dist(a, Å‚"). Niech Ãj : [0, 1] - C bÄ™dzie drogÄ… zamkniÄ™tÄ… takÄ…, że Ãj - Å‚ r/4, j = 1, 2. Wtedy
[0,1]
Indà (a) = Indà (a). W szczególności, wzór
1 2
IndÅ‚(a) := lim IndÃ(a), a " C \ Å‚",
Ã-droga zamkniÄ™ta
Ã-Å‚ -0
[0,1]
definiuje Indł : C \ ł" - Z dla dowolnej krzywej zamkniętej ł : [0, 1] - C.
Dowód. Niech
Ã1 - a
à := .
Ã2 - a
Zauważmy, że
Ã1(Ã2-a)-(Ã1-a)Ã2
à Ã1 Ã2
(Ã2-a)2
= = - .
Ã1-a
à Ã1 - a Ã2 - a
Ã2-a
Ponadto,
2
Ã1 - Ã2 r 2
4
|Ã - 1| = = .
3
Ã2 - a r 3
4
Ostatecznie
1 1
1 Ã1(t) Ã2(t) 1 Ã (t)
Indà (a) - Indà (a) = - dt = dt = IndÃ(0) = 0.
1 2
2Ä„i Ã1(t) - a Ã2(t) - a 2Ä„i Ã(t)
0 0
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
13
2.1. Pochodna zespolona
4
Twierdzenie 2.1.13 (Twierdzenie Cauchy ego Goursata ). Niech &! ‚" C bÄ™dzie otwarty i niech f :
&! - C będzie taka, że f (z) istnieje dla dowolnego z " &!.
(a)
f(z)dz = 0
"T
dla dowolnego zwartego trójkąta T = conv{a, b, c}, przy czym "T rozumiemy jako łamaną zamkniętą [a, b, c, a].
Wynik pozostaje prawdziwy dla wszystkich funkcji f " C(T ) takich, że f (z) istnieje dla dowolnego
z " int T .
(b) Niech D ‚"‚" &! bÄ™dzie obszarem, którego brzeg skÅ‚ada siÄ™ ze skoÅ„czonej liczby Å‚amanych Jordana
5 " "
zorientowanych dodatnio wzglÄ™dem D: tzn. "D = Å‚0 *" · · · *" Å‚p-1, int Å‚j ‚"‚" int Å‚0, j = 1, . . . , p - 1,
int Å‚j ‚"‚" ext Å‚k, j, k = 1, . . . , p - 1, j = k. Wtedy
p-1
f(z)dz := f(z)dz = 0.
"D Å‚j
j=0
Wynik pozostaje prawdziwy dla wszystkich funkcji f " C(D) takich, że f (z) istnieje dla dowolnego z " D.
6
(c) Jeżeli zaÅ‚ożymy dodatkowo, że f " C1(&!) , to dla dowolnego obszaru D ‚"‚" &!, którego brzeg
składa się ze skończonej liczby dróg Jordana zorientowanych dodatnio względem D, mamy
f(z)dz = 0.
"D
Dowód. (a) Przypadek, w którym T jest zdegenerowany jest oczywisty (Ćwiczenie). Dalej zakładamy, że
1 1
T nie jest zdegenerowany. Trójkąt T0 := T dzielimy przy pomocy środków boków p := (a + b), q = (b + c),
2 2
1
r := (c + a) na cztery trójkąty T0,1 = conv{a, p, r}, T0,2 := conv{p, b, q}, T0,3 := conv{q, c, r}, T0,4 :=
2
conv{p, r, q}. Wtedy
4
f(z)dz = f(z)dz.
"T0 "T0,j
j=1
Niech T1 oznacza jeden spośród trójkątów T0,1, . . . , T0,4, dla którego
f(z)dz = max f(z)dz : j = 1, 2, 3, 4 .
"T1 "T0,j
Oczywiście,
f(z)dz 4 f(z)dz .
"T0 "T1
Teraz powtarzamy rozumowanie rekurencyjnie i otrzymujemy zstępujący ciąg trójkątów (Tj) " taki, że
j=1
("Tj) = 2-j ("T0) oraz
f(z)dz 4j f(z)dz , j " N.
"T0 "Tj
"
Niech {a} := Tj, f(z) = f(a) + f (a)(z - a) + Ä…(z)(z - a), gdzie Ä…(z) - 0 przy z - a. Odnotujmy,
j=1
że funkcja z - f(a) + f (a)(z - a) ma oczywiście pierwotną. Korzystając z Propozycji 2.1.9, mamy
f(z)dz 4j (f(a) + f (a)(z - a) + Ä…(z)(z - a))dz = 4j Ä…(z)(z - a)dz
"T0 "Tj "Tj
2 2
4j ("Tj) max{|Ä…(z)(z - a)| : z " "Tj} 4j ("Tj) Ä… = ("T0) Ä… - 0.
"Tj "Tj
j+ "
Jeżeli tylko założymy, że f " C(T ) oraz f (z) istnieje dla dowolnego z " int T , to na podstawie po-
przedniego dowodu, mamy f(z)dz = 0 dla dowolnego trójkÄ…ta T ‚" int T . Ustalmy punkt d " int T
"T
4
Edouard Goursat 1858 1936 matematyk francuski.
5
Camille Jordan (1838 1922) matematyk francuski.
6
W przyszłości zobaczymy, że założenie to jest automatycznie spełnione Twierdzenie 2.2.5
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
14
2. Funkcje holomorficzne I
i niech T = Ts := conv{a + s(d - a), b + s(d - b), c + s(d - c)} ‚" int T , s " (0, 1). Pokażemy, że
f(z)dz - f(z)dz przy s - 0 (co zakończy dowód). Mamy:
"Ts "T
f(z)dz - f(z)dz
[a+s(d-a),b+s(d-b)] [a,b]
1
|f(a + s(d - a) + t(1 - s)(b - a)))(1 - s) - f(a + t(b - a))|(b - a)dt - 0
s0
0
(wobec jednostajnej ciągłości f na T ) i analogicznie dla pozostałych odcinków.
(b) Poprzez triangulację (Ćwiczenie).
(c) Korzystamy ze wzoru Greena z Analizy oraz z równań Cauchy ego Riemanna:
f(z)dz = udx - vdy + i vdx + udy = (-vx - u y) + i (u x - vy) = 0.
"D "D "D D D
Propozycja 2.1.14. Niech G ‚" C bÄ™dzie obszarem gwiazdzistym wzglÄ™dem punktu c i niech f : G - C
bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… takÄ…, że f(z)dz = 0 dla dowolnego zwartego trójkÄ…ta T ‚" G (np. f (z) istnieje
"T
dla dowolnego z " G Twierdzenie 2.1.13). Wtedy f ma w G pierwotną zespoloną. W szczególności, na
podstawie Propozycji 2.1.9, f(z)dz = 0 dla dowolnej drogi zamkniętej w G.
Å‚
Dowód. Zdefiniujmy
F (z) := f(Å›)dÅ›, z " G.
[c,z]
Ustalmy a " G. Korzystając z założenia o zerowaniu się całki po brzegu trójkąta, dla małych h mamy
F (a + h) - F (a) 1
- f(a) = (f(z) - f(a))dz max{|f(z) - f(a)| : z " [a, a + h]} - 0.
h h h0
[a,a+h]
Propozycja 2.1.15 (Wzór caÅ‚kowy Cauchy ego). (a) Niech G ‚" C bÄ™dzie obszarem gwiazdzistym i niech
ł : [0, 1] - G będzie dowolną drogą zamkniętą. Niech f : G - C będzie taka, że f (z) istnieje dla dowolnego
z " G. Wtedy
1 f(z)
f(a) Indł(a) = dś, a " G \ ł".
2Ä„i z - a
Å‚
(b) Niech f : K(a, r) - C będzie funkcją ciągłą taką, że f (z) istnieje dla dowolnego z " K(a, r).
Wtedy
1 f(Å›)
f(z) = dÅ›, Å› " K(a, r).
2Ä„i Å› - z
C(a,r)
W szczególności, dla z = a dostajemy:
" twierdzenie o wartości średniej po okręgu
2Ä„
1 f(Å›) 1
f(a) = dÅ› = f(a + rei¸)d¸ =: J(f; a, r),
2Ä„i Å› - a 2Ä„
C(a,r) 0
oraz nierówność
2Ä„
1
|f(a)| |f(a + rei¸)|d¸ = J(|f|; a, r),
2Ä„
0
" twierdzenie o wartości średniej po kole
r 2Ä„ r 2Ä„
1 1 1
f(a) = sds f(a + sei¸)d¸ = f(a + sei¸)sd¸ds = |f|dL2 := A(f; a, r),
Ä„r2 0 0 Ä„r2 0 0 Ä„r2 K(a,r)
oraz nierówność
1
|f(a)| |f|dL2 = A(|f|; a, r).
Ä„r2 K(a,r)
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
15
2.1. Pochodna zespolona
Dowód. (a) Ustalmy punkt a " G \ ł" i niech
f(z)-f(a)
, jeżeli z " G \ {a}
z-a
g(z) := .
f (a), jeżeli z = a
Oczywiście g jest ciągła oraz g (z) istnieje dla z " G \ {a}. Na podstawie Twierdzenia 2.1.13(a) dostajemy
g(z)dz = 0 dla dowolnego zwartego trójkÄ…ta T ‚" G. Teraz, na podstawie Propozycji 2.1.14,
"T
f(z) - f(a)
0 = g(z)dz = dz,
z - a
Å‚ Å‚
a stÄ…d
1 f(z) 1 f(a)
dz = dz = f(a) Indł(a).
2Ä„i z - a 2Ä„i z - a
Å‚ Å‚
(b) Ustalmy z " K(a, r). Na podstawie (a) mamy
2Ä„
1 f(Å›) 1 f(a + seit)
f(z) = f(z) IndC(a,s)(z) = dÅ› = seitdt, |z - a| < s < r.
2Ä„i Å› - z 2Ä„ z - a - seit
C(a,s) 0
Teraz pozostaje przejście graniczne s - r. Aby móc skorzystać z twierdzenia Lebesgue a o zmajoryzowanym
przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, wystarczy upewnić się, że funkcja podcałkowa ma całkowalną
majorantÄ™:
f K(a,r)
f(a + seit)
seit r, |z - a| + µ < s < r.
z - a - seit µ
Twierdzenie 2.1.16. Niech D ‚" C bÄ™dzie dowolnym obszarem i niech f : D - C bÄ™dzie taka, że f (z)
istnieje dla dowolnego z " D. Niech a, b " D i niech ł0, ł1 : [0, 1] - D będą dowolnymi drogami łączącymi
a i b, które są homotopijne w D. Wtedy
f(z)dz = f(z)dz.
Å‚0 Å‚1
Dowód. Niech H : [0, 1]×[0, 1] - D bÄ™dzie homotopiÄ… Å‚Ä…czÄ…cÄ… te drogi, tzn. H jest odwzorowaniem ciÄ…gÅ‚ym
7
takim, że H(0, ·) = Å‚0, H(1, ·) = Å‚1, H(s, 0) = a, H(s, 1) = b, s " [0, 1] . Ponieważ H jest jednostajnie
ciÄ…gÅ‚e, znajdziemy ´ > 0 takie, że jeżeli |s - s | ´ i |t - t | ´, to |H(s , t ) - H(s , t )| < r :=
dist(H([0, 1]×[0, 1]), "D). Ustalmy n 1/´ i niech sj = tj := j/n, j = 0, . . . , n. Niech aj,k = H(sj, tk) i niech
Ãk oznacza Å‚amanÄ… [ak,0, ak,1, . . . , ak,n-1, ak,n]. Zauważmy, że Gj,k := K(aj,k, r) ‚" D, Gj,k jest obszarem
gwiazdzistym oraz H(s, t) " Gj,k dla |s-sj| ´ i |t-tk| ´, j, k = 1, . . . , n. KorzystajÄ…c z Propozycji 2.1.14
wnioskujemy teraz, że f(z)dz = f(z)dz, k = 1, . . . , n, a stąd f(z)dz = f(z)dz.
Å‚0|[tk-1,tk ] [a0,k-1,a0,k] Å‚0 Ã0
Podobnie, f(z)dz = f(z)dz. Teraz wystarczy wykazać, że f(z)dz = f(z)dz, j = 1, . . . , n.
Å‚1 Ãn Ãj-1
Ãj
Wiemy, że
f(z)dz = 0, j, k = 1, . . . , n.
[aj-1,k-1
,aj-1,k
,aj,k,aj,k-1,aj-1,k-1
]
Dodając te całki dla k = 1, . . . , n i redukując całki po przeciwnie przebieganych odcinkach, dostajemy żądany
wzór.
Jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy:
Twierdzenie 2.1.17 (Twierdzenie Cauchy ego Goursata i wzór Cauchy ego dla obszarów jednospójnych).
Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D - C bÄ™dzie taka, że f (z) istnieje dla
7
Odnotujmy, że H(s, ·) nie musi być drogÄ… dla 0 < s < 1 por. Ćwiczenie 2.1.18.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
16
2. Funkcje holomorficzne I
dowolnego z " D. Wtedy całka f(z)dz zależy wyłącznie od końców drogi ł : [0, 1] - D zob. Propozycja
Å‚
2.1.9. W szczególności,
1 f(z)
f(z)dz = 0 oraz f(a) Indł(a) = dś, a " D \ ł",
2Ä„i z - a
Å‚ Å‚
dla dowolnej drogi zamkniętej ł : [0, 1] - D.
Ćwiczenie 2.1.18. Niech D, ł0, ł1 i H będą takie, jak w założeniach Twierdzenia 2.1.16. Korzystając
z dowodu tego twierdzenia, pokazać, że istnieje homotopia H0 : [0, 1] × [0, 1] - D dróg Å‚0 i Å‚1 taka, że
H0(s, ·) jest drogÄ… dla dowolnego 0 < s < 1.
Obserwacja 2.1.19. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem i niech f : D - C" bÄ™dzie taka, że f (z) istnieje
dla dowolnego z " D. Załóżmy, że L jest gałęzią jednoznaczną funkcji log f w D (tzn. exp L a" f). Wtedy
f
L = f /f. W szczególności, L jest pierwotną funkcji , co wobec Propozycji 2.1.9, oznacza, że dla dowolnych
f
b
f (z) f (z)
a, b " D, całka dz := dz nie zależy od wyboru drogi ł łączącej a i b w D.
a f(z) Å‚ f(z)
Istotnie, wiemy, że dla dowolnego a " D, w pewnym otoczeniu punktu a mamy L = ć% f + 2kĄi, gdzie
jest gałęzią logarytmu w otoczeniu f(a), zaś k " Z (Ćwiczenie 1.4.3). Pozostaje skorzystać z Przykładu
2.1.6(b).
Propozycja 2.1.20. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D - C" bÄ™dzie
8
taka, że f (z) istnieje dla dowolnego z " D . Wtedy f ma w D jednoznaczną gałąz logarytmu L, która
musi być postaci
z
f (Å›)
L(z) = dś + Log f(a) + 2kĄi, z " D,
f(Å›)
a
dla pewnego k " Z.
Dowód. Funkcja f /f ma w każdym punkcie obszaru D pochodną zespoloną. Pozwala to poprawnie określić
funkcjÄ™
z
f (Å›)
h(z) := dÅ› + Log f(a), z " D,
f(Å›)
a
gdzie a jest dowolnie ustalonym punktem z D. Wiemy, że h = f /f w D, a stąd
(fe-h) = f e-h - fe-hh a" 0.
Oznacza to, że
fe-h = const = f(a)e-h(a) = f(a)e- Log f(a) = 1,
czyli eh a" f. Tak więc h jest gałęzią jednoznaczną logarytmu f. Mamy eh = f = eL. Ostatecznie, (h -
L)/(2Ąi) jako funkcja ciągła o wartościach całkowitych, jest stała.
2.2. Funkcje holomorficzne
Definicja 2.2.1. Niech &! ‚" C bÄ™dzie otwarty i niech f : &! - C. Powiemy, że f jest holomorficzna w &!
"
(f " O(&!)), jeżeli dla dowolnego punktu a " &! istnieje szereg potęgowy an(z - a)n o dodatnim
n=0
"
promieniu zbieżności R oraz liczba 0 < r min{R, dist(a, "&!)} takie, że f(z) = an(z - a)n, z "
n=0
K(a, r).
Jeżeli f " O(C), to mówimy, że f jest funkcją całkowitą.
Jeżeli G ‚" C jest otwarty, zaÅ› f : &! - G jest bijekcjÄ… takÄ…, że f " O(&!), f-1 " O(G), to mówimy, że
f jest odwzorowaniem biholomorficznym.
8
W przyszłości (Twierdzenie 2.2.5) zobaczymy, że istnienie f (z) dla dowolnego z " D wynika z istnienia f (z) dla
dowolnego z " D.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
17
2.2. Funkcje holomorficzne
Propozycja 2.2.2. Niech
"
f(z) := an(z - a)n, |z - a| < R.
n=0
gdzie R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego. Wtedy f (z) istnieje dla dowolnego z " K(a, R) oraz
prawdziwy jest wzór na różniczkowanie pod znakiem szeregu
"
f (z) = nan(z - a)n-1, z " K(a, R). ( )
n=1
Ponadto, promień zbieżności szeregu ( ) jest równy R, co oznacza, że funkcja f ma w każdym punkcie z "
K(a, r) wszystkie pochodne zespolone oraz
"
n
f(k)(z) = k! an(z - a)n-k, z " K(a, R).
k
n=k
f(n)(a)
W szczególności, f " C "(K(a, R), C) oraz an = , n " Z+, czyli
n!
f(z) = Taf(z), z " K(a, R),
gdzie
"
f(n)(a)
Taf(z) := (z - a)n
n!
n=0
9
oznacza szereg Taylora funkcji f w punkcie a.
Dowód. Ćwiczenie.
Zdefiniujmy promień zbieżności szeregu Taylora funkcji f w punkcie a
d(Taf) := sup{r 0 : szereg Taf(z) jest zbieżny jednostajnie w K(a, r)}.
Wniosek 2.2.3. Jeżeli f " O(&!), to f ma w każdym punkcie z " &! wszystkie pochodne zespolone, f "
CÉ(&!, C) oraz f(k) " O(&!) dla dowolnego k " N.
Lemat 2.2.4 (Lemat o produkcji funkcji holomorficznych). Niech ł : [0, 1] - C będzie dowolną drogą
i niech g : ł" - C będzie dowolną funkcją ciągłą. Zdefiniujmy
1 g(Å›)
f(z) := dÅ›, z " C \ Å‚".
2Ä„i Å› - z
Å‚
Wtedy f " O(C \ Å‚"),
k! g(Å›)
f(k)(z) = dÅ›, z " C \ Å‚", k " N,
2Ä„i (Å› - z)k+1
Å‚
tzn. prawdziwy jest wzór na różniczkowanie pod znakiem całki, oraz
"
f(n)(a)
f(z) = (z - a)n = Taf(z), a " C \ Å‚", |z - a| < dist(a, Å‚").
n!
n=0
W szczególności, d(Taf) dist(a, ł"), a " C \ ł".
9
Brook Taylor (1717 1783) matematyk angielski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
18
2. Funkcje holomorficzne I
Dowód. Ustalmy a " C \ Å‚", niech r := dist(a, Å‚") i niech 0 < ¸ < 1. Wtedy dla z " K(a, ¸r) i Å› " Å‚" mamy
"
1 1 1 (z - a)n
= · = ,
z-a
Å› - z Å› - a - (Å› - a)n+1
1
Å›-a
n=0
z-a
przy czym szereg jest zbieżny jednostajnie ponieważ | | ¸. Wynika stÄ…d, że
Å›-a
"
1 g(Å›)
f(z) = dÅ› (z - a)n, z " K(a, r).
2Ä„i (Å› - a)n+1
Å‚
n=0
Twierdzenie 2.2.5 (Charakteryzacja funkcji holomorficznych). Niech &! ‚" C bÄ™dzie otwarty i niech f :
&! - C. Wtedy NWSR:
(i) f (z) istnieje dla dowolnego z " &!;
"f
(ii) fR(z) istnieje dla dowolnego z " &! oraz (z) = 0, z " &! (tzn. f spełnia w każdym punkcie równania
"z
Cauchy ego Riemanna);
(iii) f " C(&!, C) oraz f(z)dz = 0 dla dowolnego trójkÄ…ta zwartego T ‚"‚" &! (równoważność (i) Ð!Ò! (iii)
"T
10
to tzw. twierdzenie Morery );
(iv) f " C(&!, C) oraz dla dowolnego obszaru gwiazdzistego G ‚" &! funkcja f ma w G pierwotnÄ… zespolonÄ…;
(v) f " C(&!, C) oraz dla dowolnego koÅ‚a K(a, r) ‚"‚" &! zachodzi wzór
1 f(Å›)
f(z) = dÅ›, z " K(a, r);
2Ä„i z - Å›
C(a,r)
(vi) dla dowolnego a " &! funkcja f ma w punkcie a wszystkie pochodne zespolone f(n)(a), n " N, oraz
"
f(n)(a)
f(z) = (z - a)n, |z - a| < dist(a, "&!);
n!
n=0
(vii) f " O(&!).
Prop. 2.1.2 Tw. Prop. 2.1.14 (*) Prop. 2.2.2
Lemat 2.2.4 Def. 2.2.1
Dowód. (i) Ð!Ò! (ii) =2.1.13 (iii) Ð!Ò! (iv) =Ò! (v) =Ò! (vi) =Ò! (vii) =Ò! (i),
Ò!
gdzie (*) wynika z następującego rozumowania: Na podstawie Propozycji 2.1.15, (v) zachodzi dla funkcji F
i K(a, r) ‚"‚" G. StÄ…d, na podstawie implikacji (v) =Ò! (vii), F " O(G). Teraz, na podstawie Wniosku 2.2.3,
f (z) istnieje dla dowolnego z " &! i możemy zastosować Propozycję 2.1.15 do f.
Obserwacja 2.2.6. Mając Twierdzenie 2.2.5, możemy przetłumaczyć szereg wyników formułowanych po-
przednio dla funkcji mających w każdym punkcie pochodne zespolone na język funkcji holomorficznych.
Dotyczy to np. Propozycji 2.1.15, 2.1.17, 2.1.20.
Twierdzenie 2.2.7 (Twierdzenie Cauchy ego Goursata i wzór Cauchy ego dla obszarów jednospójnych).
Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f " O(D). Wtedy caÅ‚ka f(z)dz zależy
Å‚
wyłącznie od końców drogi ł : [0, 1] - D. W szczególności, f(z)dz = 0 oraz
Å‚
1 f(z)
f(a) Indł(a) = dś, a " D \ ł",
2Ä„i z - a
Å‚
dla dowolnej drogi zamkniętej ł : [0, 1] - D.
Propozycja 2.2.8. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D - C" bÄ™dzie
holomorficzna. Wtedy f ma w D jednoznaczną gałąz logarytmu L, która musi być postaci
z
f (Å›)
L(z) = dś + Log f(a) + 2kĄi, z " D,
f(Å›)
a
f
dla pewnego k " N. W szczególności, każda gałąz logarytmu f holomorficzna i L = .
f
10
Giacinto Morera (1856 1909) matematyk włoski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
19
2.2. Funkcje holomorficzne
Twierdzenie 2.2.9 (Twierdzenie Cauchy ego Goursata i wzór Cauchy ego dla obszarów p spójnych). Niech
D ‚" C bÄ™dzie obszarem p spójnym takim, którego brzeg skÅ‚ada siÄ™ z p dróg Jordana zorientowanych dodatnio
" "
wzglÄ™dem D, tzn. "D = Å‚0 *" · · · *"Å‚p-1, int Å‚j ‚"‚" int Å‚0, j = 1, . . . , p - 1, int Å‚j ‚"‚" ext Å‚k, j, k = 1, . . . , p - 1,
j = k. Niech f " O(&!), gdzie &! ƒ" D. Wtedy
1 f(z)
f(z)dz = 0 oraz f(a) = dÅ›, a " D.
2Ä„i z - a
"D "D
Jeżeli "D składa się z p łamanych Jordana zorientowanych dodatnio względem D, to wynik pozostaje
prawdziwy dla f " O(D) )" C(D).
Dowód. Wynik wynika bezpośrednio z Twierdzenia 2.1.13 oraz faktu, że drugi ze wzorów jest konsekwencją
pierwszego. Istotnie, ustalmy a " D i niech
f(z)-f(a)
, gdy z = a
z-a
g(z) := .
f (a), gdy z = a
Wtedy g " O(&!) (odp. g " O(D) )" C(D)) (por. dowód Propozycji 2.1.15(a)). Na podstawie pierwszej części
twierdzenia mamy g(z)dz = 0, czyli
"D
p-1 p-1
1 f(z) 1 f(a) 1 f(a)
dz = dz = dz = f(a) Indł (a) = f(a) Indł (a) = f(a).
j 0
2Ä„i z - a 2Ä„i z - a 2Ä„i z - a
"D "D Å‚j
j=0 j=0
Obserwacja 2.2.10. Zauważmy, że Twierdzenie 2.2.9 zachodzi dla f " O(D) )" C(D) dla znacznie szerszej
klasy obszarów, niż obszary p spójne ograniczone łamanymi Jordana.
Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem p spójnym takim, którego brzeg skÅ‚ada siÄ™ z p dróg Jordana zorientowa-
" "
nych dodatnio wzglÄ™dem D, "D = Å‚0 *" · · · *" Å‚p-1. Przypuśćmy, że każdÄ… z dróg Å‚j możemy aproksymować
ciągiem dróg Jordana (łj,k) " w ten sposób, że:
k=1
" Å‚j,k - Å‚j jednostajnie na [0, 1],
" jeżeli dla pewnego przedziaÅ‚u [a, b] ‚" [0, 1] funkcja Å‚j|(a,b) przedÅ‚uża siÄ™ do funkcji klasy C1([a, b]), to
dla dowolnego k " N funkcja łj,k|(a,b) przedłuża się do funkcji klasy C1([a, b]) oraz łj,k - łj jednostajnie
na [a, b],
" dla dowolnego k " N, drogi Jordana ł0,k, . . . , łp-1,k ograniczają pewien obszar p spójny Dk w ten
sposób, że Dk ‚"‚" D.
Wtedy dla dowolnej funkcji f " O(D) )" C(D) mamy f(z)dz = 0, k " N, a stÄ…d f(z)dz -
"Dk "Dk
f(z)dz. Istotnie, jeżeli przedziaÅ‚ [a, b] ‚" [0, 1] jest jak powyżej, to
"D
b b
f(z)dz = f(Å‚j,k(t))Å‚j,k(t)dt - f(Å‚j(t))Å‚j(t)dt = f(z)dz,
Å‚j,k|[a,b] a a Å‚j|[a,b]
przy czym zbieżność całek wynika z jednostajniej zbieżności funkcji podcałkowych.
Pytanie dla jakiej klasy obszarów taka aproksymacja ma miejsce pozostawiamy jako Ćwiczenie. W tej
chwili zauważmy tylko, że tak jest jeżeli każda droga Jordana łj jest ściśle gwiazdzista względem pewnego
punktu aj " int łj w tym sensie, że:
Å‚0,k(t) := a0 + (1 - 1/k)(Å‚0(t) - a0) " int Å‚0, Å‚j,k(t) := aj + (1 + 1/k)(Å‚j(t) - aj) " ext Å‚j,
t " [0, 1], j = 1, . . . , p - 1, k 1.
Wiemy również z Analizy, że tak jest jeżeli każda droga łj jest klasy C1 i łj(t) = 0, t " [0, 1], oraz łj(0) =
Å‚j(1), j = 0, . . . , p - 1.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
20
2. Funkcje holomorficzne I
2.3. Podstawowe własności funkcji holomorficznych
Jako natychmiastowe wnioski z Twierdzenia 2.2.5 dostajemy.
Propozycja 2.3.1. (a) O(&!) jest algebrÄ….
(b) Złożenie funkcji holomorficznych jest funkcją holomorficzną.
11
(c) Jeżeli f : &! - G jest bijekcją, f " O(&!) oraz f (z) = 0, z " &! , to f-1 " O(G).
12
Propozycja 2.3.2 (Twierdzenie Weierstrassa ). Niech (fk) " ‚" O(&!) i niech fk - f0 niemal
k=1
jednostajnie w &!. Wtedy f0 " O(&!).
Dowód. OczywiÅ›cie f0 " C(&!, C). Ponadto, dla dowolnego koÅ‚a K(a, r) ‚"‚" &! mamy
1 fk(Å›)
fk(z) = dÅ›, z " K(a, r), k " N.
2Ä„i z - Å›
C(a,r)
Ponieważ fk - f0 jednostajnie na C(a, r), dostajemy
1 f0(Å›)
f0(z) = dÅ›, z " K(a, r).
2Ä„i z - Å›
C(a,r)
Teraz wystarczy skorzystać z Twierdzenia 2.2.5(v) .
Lemat 2.3.3. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem i niech f = u + iv " O(D). Jeżeli |f| = const, to f = const.
Dowód. Niech u2 + v2 = c = const. Przypadek c = 0 jest trywialny. Załóżmy więc, że c > 0. Różniczkując
dostajemy
uu x + vvx = 0,
uu y + vvy = 0,
co, wobec równań Cauchy ego Riemanna, daje
uu x - vu y = 0,
vu x + uu y = 0.
Wyznacznik tego układu to u2 + v2 = 0. Wynika stąd, że u x = u y = vx = vy = 0, a więc f = const.
Propozycja 2.3.4 (Zasada identycznoÅ›ci). Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem i niech f, g " O(D),
A := {z " D : f(z) = g(z)}.
Jeżeli zbiór A ma punkt skupienia w D, to f a" g.
W szczególności, jeżeli f " O(D), f a" 0, to zbiór f-1(0) składa się z punktów izolowanych.
Dowód. Zastępując (f, g) przez (f - g, 0), redukujemy pytanie do przypadku g a" 0. Niech
D0 := {a " D : "r>0 : f = 0 w K(a, r)}.
Zbiór D0 ‚" A jest oczywiÅ›cie otwarty. Aby zobaczyć, że jest niepusty, niech a bÄ™dzie punktem skupienia
zbioru A, tzn. dla pewnego ciÄ…gu (ak) " ‚" A \ {a} mamy ak - a. Mamy oczywiÅ›cie f(a) = 0. Niech
k=1
k := sup{n " Z+ : "0 m n : f(m)(a) = 0}.
Jeżeli k = + ", to Taf = 0, a stąd f = 0 w K(a, d&!(a)) =: K(a, R). Przypuśćmy, że k < + ". Ponieważ
f(z) = Taf(z), z " K(a, R), wnioskujemy, że f(z) = (z - a)kf(z), z " K(a, R), gdzie f " O(K(a, R)),
f(a) = 0. Z drugiej stronie, ponieważ f(ak) = 0, dostajemy f(ak) = 0, k " N. Wynika stąd, że f(a) = 0, co
prowadzi do sprzeczności.
Powyższe rozumowanie pokazuje również, że zbiór A jest domknięty w D, a więc D0 = D.
11
W przyszłości zobaczymy (Propozycja ??), że jeżeli f : &! - C jest injektywnym odwzorowaniem holomorficznym,
to f (z) = 0, z " &!.
12
Karl Weierstrass (1815 1897) matematyk niemiecki.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
21
2.3. Podstawowe własności funkcji holomorficznych
Obserwacja 2.3.5. Niech P będzie wielomianem zespolonym dwóch zmiennych zespolonych. Wobec zasady
identyczności, jeżeli P (sin x, cos x) = 0 dla x " R, to P (sin z, cos z) = 0 dla z " C.
Obserwacja ta pozwala na automatyczne przenoszenie wzorów trygonometrycznych z przypadku rze-
czywistego na zespolony.
2 tg z
Ćwiczenie: Czy da się na tej drodze uzyskać wzór tg 2z = ?
1-tg2 z
Ćwiczenie 2.3.6. Niech I ‚" R bÄ™dzie przedziaÅ‚em otwartym i niech f " CÉ(I, C). Wtedy istniejÄ… obszar
D ‚" C i funkcja f " O(D) takie, że D )" R = I oraz f = f na I.
Propozycja 2.3.7 (Zasada maksimum). Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem, f " O(D), f a" const. Wtedy:
(a) |f| nie przyjmuje w D maksimum lokalnego.
(b) |f| nie przyjmuje minimum lokalnego w żadnym punkcie a " D takim, że f(a) = 0.
(c) Jeżeli D jest ograniczony, to
|f(z)| < sup{lim sup |f(w)| : Å› " "D}, z " D.
wÅ›
(d) Jeżeli D jest ograniczony oraz |f| przedłuża się do funkcji półciągłej z góry na D, to
|f(z)| < max |f|, z " D.
D
Dowód. (a) Przypuśćmy, że |f(z)| |f(a)|, z " K(a, r) ‚"‚" D. Na podstawie Propozycji 2.1.15(b) mamy
1
|f(a)| |f|dL2 |f(a)|.
Ä„r2 K(a,r)
Wynika stąd, iż |f(z)| = |f(a)| dla prawie wszystkich z " K(a, r), co wobec ciągłości funkcji f, implikuje, że
|f(z)| = |f(a)| dla wszystkich z " K(a, r). Teraz, korzystając z Lematu 2.3.3 wnioskujemy, że f = const na
K(a, r), i ostatecznie, na podstawie zasady identyczności, że f a" const w D; sprzeczność.
(b) Stosujemy (a) do funkcji 1/f (określonej w otoczeniu punktu a).
(c) Ustalmy z0 " D i niech (Dk) " bÄ™dzie ciÄ…giem obszarów takim, że z0 ‚" D1 ‚" Dk ‚" Dk+1 ‚"‚" D,
k=1
"
D = Dk. Dla każdego k istnieje punkt wk " Dk taki, że |f(wk)| = maxD |f|. Wobec (a) oraz zasady
k=1
k
identyczności, mamy |f(z0)| < |f(wk)| |f(wk+1)|. Przechodząc do podciągu, możemy założyć, że wk -
Å› " "D. Wtedy |f(z0)| < lim supk+ " |f(wk)| lim supwÅ› |f(w)|.
(d) wynika z (c).
Dla dowolnego zbioru zwartego K ‚" C niech
K(r) := K(a, r).
a"K
Zauważmy, że K(r) jest również zbiorem zwartym (Ćwiczenie).
Dla zbioru otwartego &! ‚" C niech d&!(a) := sup{r > 0 : K(a, r) ‚" &!}, a " &!. OczywiÅ›cie, d&!(a) =
dist(a, "&!) o ile &! = C i dC a" + ". Jeżeli &! = C, to |d&!(a) - d&!(b)| |a - b|, a, b " &!; w szczególności, d&!
jest funkcją ciągła.
Dla dowolnego zbioru A ‚" &! niech d&!(A) := inf{d&!(a) : a " A}. Zauważmy, że K(r) ‚" &! dla 0 < r <
d&!(K) (Ćwiczenie).
Propozycja 2.3.8 (Nierówności Cauchy ego). (a) Niech f " O(K(a, r)), |f| C. Wtedy
n!
|f(n)(a)| C, n " N.
rn
(b) Niech f " O(&!). Wtedy dla dowolnego zbioru zwartego K ‚"‚" &! oraz 0 < r < d&!(K) mamy
n!
f(n) f , n " N.
K
rn K(r)
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
22
2. Funkcje holomorficzne I
Dowód. (a) Na podstawie Wzoru Całkowego Cauchy ego (Propozycja 2.1.15), dla dowolnego 0 < s < r,
mamy
2Ä„
n! f(Å›) n! |f(a + sei¸)| n!
|f(n)(a)| = dÅ› d¸ C, n " N.
2Ä„i (Å› - a)n+1 2Ä„ sn sn
C(a,s) 0
(b) wynika z (a).
Wniosek 2.3.9 (Twierdzenie Weierstrassa). Niech (fk) " ‚" O(&!) i niech fk - f0 niemal jednostajnie
k=1
(n) (n)
w &!. Wtedy f0 " O(&!) oraz, dla dowolnego n " N, mamy fk - f0 niemal jednostajnie w &!.
Dla zbioru &! ‚" C niech Lp(&!) := Lp(&!) )" O(&!), 1 p + ". H "(&!) := L "(&!) to przestrzeÅ„ funkcji
h h
holomorficznych ograniczonych. L2(&!) jest przestrzeniÄ… unitarnÄ… z iloczynem skalarnym
h
L2 (&!) × L2(&!) (f, g) - fgdL2.
h h
&!
Propozycja 2.3.10. Niech &! ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym.
(a) Dla dowolnego zbioru zwartego K ‚" &! mamy
1
f |f|dL2, f " O(&!), 0 < r < d&!(K).
K
Ä„r2 K(r)
(b) Dla dowolnego zbioru zwartego K ‚" &! mamy
1/p
1
f (L(K(r)))1/q |f|pdL2 , f " O(&!), 0 < r < d&!(K), 1 p < + ",
K
Ä„r2
K(r)
gdzie 1/p + 1/q = 1.
(c) Lp(&!) jest przestrzeniÄ… Banacha, 1 p + ".
h
(d) L2 (&!) jest przestrzeniÄ… Hilberta.
h
Dowód. (a) wynika natychmiast z nierówności |f(a)| A(|f|; a, r), 0 < r < d&!(a), a " K.
13
(b) wynika z (a) i nierównoÅ›ci Höldera .
(c) i (d) wynikajÄ… z (b) i twierdzenia Weierstrassa.
"
Obserwacja 2.3.11. Dla f = akzk " O(K(r)) i 0 < s < r mamy
k=0
" "
2Ä„ 2Ä„
1 1
J(|f|2; a, s) = |f(a + sei¸)|2d¸ = aka sk+ ei(k- )¸d¸ = |ak|2s2k.
2Ä„ 2Ä„
0 0
k, =0 k=0
Zauważmy, że powyższa równość daje alternatywny dowód zasady maksimum: jeżeli |f(z)| |f(a)|,
z " K(a, r), to
"
|ak|2s2k = J(|f|2; a, s) |f(a)|2 = |a0|2, 0 < s < r,
k=0
a stąd ak = 0, k = 1, 2, . . . , a więc f jest stała. Z równości tej dostajemy również alternatywny dowód
nierówności Cauchy ego: jeżeli |f(z)| C, z " K(a, r), to
"
C
|ak|2s2k = J(|f|2; a, s) C2, 0 < s < r, a stÄ…d |ak| , k " Z+.
rk
k=0
Zauważmy, że dla 0 < s < r mamy
" "
s 2Ä„ s
1 1 s2k
A(|f|2; a, s) = |f(a + Äei¸)|2d¸ ÄdÄ = 2Ä„ |ak|2Ä2k+1dÄ = |ak|2 ,
Ä„s2 0 0 Ä„s2 0 k=0 k + 1
k=0
13
Otto Hölder (1859 1937) matematyk niemiecki.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
23
2.3. Podstawowe własności funkcji holomorficznych
skąd wynika, że
"
r2k+2
|f|2dL2 = Ä„ |ak|2 .
k + 1
K(r)
k=0
Podobnie, dla 0 < s < r mamy
s2k+2
f(z)zkdL2(z) = ak|zk|2dL2 = Ä„ak .
k + 1
K(s) K(s)
W szczególności, ciąg (zk) " stanowi układ ortogonalny zupełny w L2(K(r)) oraz
k=0 h
" "
r2k+2
|f|2dL2 = |akzk|2dL2 = Ä„ |ak|2 .
k + 1
K(r) K(r)
k=0 k=0
14
Propozycja 2.3.12 (Twierdzenie Liouville a ). Niech f " O(C). Wtedy f " Pd(C) wtedy i tylko wtedy,
gdy dla pewnych stałych R, C > 0 mamy:
|f(z)| C|z|d, |z| R, (2.3.1)
lub, równoważnie,
|f(z)| M(1 + |z|)d, z " C,
dla pewnej stałej M > 0.
Dowód. Sprawdzenie, że każdy wielomian zespolony spełnia (2.3.1) pozostawiamy jako Ćwiczenie.
"
Załóżmy teraz, że nierówność (2.3.1) jest spełniona. Wiemy, że f(z) = anzn, z " C, gdzie, na
n=0
podstawie nierówności Cauchy ego, dla r R i n > d mamy
f(n)(0) Crd
|an| = = Crd-n - 0.
r+ "
n! rn
15
Propozycja 2.3.13 (Lemat Schwarza ). (a) Niech f " O(K(r)), |f| C, f(0) = 0. Wtedy
|f(z)| C|z|/r, z " D, |f (0)| C/r
0
Ponadto, jeżeli |f(z0)| = C|z0|/r dla pewnego z0 " K"(r) lub też |f (0)| = C/r, to f(z) = Cei¸ z/r, z " K(r),
dla pewnego ¸0 " R.
(b) Niech f " O(K(r)), |f| C, f(0) = · · · = f(k-1)(0) = 0 (k " N). Wtedy
|f(z)| C(|z|/r)k, z " D, |f(k)(0)| k!C/rk.
0
Ponadto, jeżeli |f(z0)| = C(|z0|/r)k dla pewnego z0 " K"(r) lub |f(k)(0)| = k!C/rk, to f(z) = Cei¸ (z/r)k,
z " K(r), dla pewnego ¸0 " R.
Dowód. (a) wynika z (b).
(b) Niech
f(z)
, z " K"(r)
zk
g(z) := , z " K(r).
f(k)(0)
, z = 0
k!
Oczywiście g " O(K(r)) (Ćwiczenie). Ponadto, na podstawie zasady maksimum, mamy
|g(z)| sup lim sup |g(w)| C/rk, z " K(r),
Å›"C(r) wÅ›
skÄ…d natychmiast wynika teza.
14
Joseph Liouville (1809 1882) matematyk francuski.
15
Hermann Schwarz (1789 1857) matematyk niemiecki.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
24
2. Funkcje holomorficzne I
Dla dowolnego obszaru D ‚" C niech Aut(D) oznacza zbiór wszystkich odwzorowaÅ„ biholomorficznych
f : D - D. Jest to oczywiście grupa (ze składaniem). Przypomnijmy (Obserwacja 1.3.1(10)), że grupa
AutH(D) składająca się ze wszystkich homografii przekształcających D na D ma postać
AutH(D) = {śha : ś " T, a " D},
gdzie
z - a
ha(z) := , z " C \ {1/a}.
1 - az
Zauważmy, że (ha)-1 = h-a. Ponadto,
1 - a z - (z - a)(-a) 1 - |a|2
h a(z) = = .
(1 - a z)2 (1 - a z)2
1
W szczególności, h a(a) = .
1-|a|2
Propozycja 2.3.14. Aut(D) = AutH(D). W szczególności, grupa Aut(D) działa tranzytywnie na D.
Dowód. Ustalmy g " Aut(D). Wtedy f := hg(0) ć% g " Aut(D) oraz f(0) = 0. Wystarczy wiec pokazać, że
zbiór Aut0(D) := {f " Aut(D) : f(0) = 0} to grupa obrotów. Z lematu Schwarza zastosowanego do f i do
f-1 wnioskujemy, że |f(z)| = |z|, z " D, skąd natychmiast wynika teza.
Zdefiniujmy
z - z 1
m(z , z ) := = |hz (z )|, z , z " D, Å‚(z) := = h z(z), z " D.
1 - z z 1 - |z|2
16
Lemat 2.3.15 (Lemat Schwarza-Picka ). Niech f " O(D, D). Wtedy:
(a) m(f(z ), f(z )) m(z , z ), z , z " D.
(b) Å‚(f(z))|f (z)| Å‚(z), z " D.
(c) NWSR:
(i) f " Aut(D);
(ii) m(f(z ), f(z )) = m(z , z ), z , z " D;
(iii) m(f(z0), f(z0 )) = m(z0, z0 ) dla pewnych z0, z0 " D, z0 = z0 ;
(iv) Å‚(f(z))|f (z)| = Å‚(z), z " D;
(v) Å‚(f(z0))|f (z0)| = Å‚(z0) dla pewnego z0 " D.
Dowód. (a) Ustalmy z0, z0 " D i zdefiniujmy g := hf(z ) ć% f ć% h-z . Wtedy g " O(D, D) oraz g(0) = 0. Stąd,
0 0
na podstawie lematu Schwarza, |g(z)| |z|, z " D. PodstawiajÄ…c z := hz (z0) dostajemy
0
m(f(z0), f(z0 )) = |hf(z )(f(z0))| = |hf(z ) ć% f ć% h-z ć% hz (z0)| |hz (z0)| = m(z0, z0 ).
0 0 0 0 0
(b) Ustalmy z0 " D i niech g := hf(z ) ć% f ć% h-z . Wtedy g(0) = 0, więc na mocy lematu Schwarza mamy
0 0
|g (0)| 1, czyli
1 1
|h f(z )(f(z0))f (z0)h -z (0)| = |f (z0)|(1 - |z0|2) = Å‚(f(z0))|f (z0)| 1,
0 0
1 - |f(z0)|2 Å‚(z0)
co natychmiast daje (b).
(c) Implikacje (i) =Ò! (ii) (odp. (i) =Ò! (iv)) wynikajÄ… z (a) (odp. (b)). Implikacje (ii) =Ò! (iii) (odp. (iv)
=Ò! (v)) sÄ… trywialne. Jeżeli zachodzi (iii), to funkcja g zdefiniowana w dowodzie (a) speÅ‚nia równość |g(z0)| =
|z0| dla z0 := hz (z0) = 0. Z lematu Schwarza wynika więc, że g jest obrotem, a wiec, w szczególności,
0
automorfizmem D. Pozostaje zauważyć, że ze wzoru na g wynika teraz, że f musi być automorfizmem
D. Jeżeli zachodzi (v), to funkcja g zdefiniowana w dowodzie (b) spełnia warunek |g (0)| = 1. Jest więc
automorfizmem. Dalej postępujemy, jak powyżej.
16
Georg Pick (1859 1942) matematyk austriacki.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
25
2.4. Rodziny normalne, twierdzenia Montela i Vitalego
2.4. Rodziny normalne, twierdzenia Montela i Vitalego
Definicja 2.4.1. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem. Powiemy, że rodzina R ‚" O(D) jest normalna, jeżeli
z dowolnego ciÄ…gu (fn) " ‚" R można wybrać podciÄ…g (fn ) " taki, że fn - f niemal jednostajnie w D
n=1 k k=1 k
17
, gdzie albo f : D - C, albo f a" ".
Lemat 2.4.2. Każda rodzina lokalnie normalna jest normalna.
Dowód. Dla a " D niech Ua ‚" D bÄ™dzie koÅ‚em o Å›rodku w punkcie a takim, że rodzina R|U jest normalna.
a
"
Na podstawie twierdzenia Lindelöfa, istnieje ciÄ…g (ak) " ‚" D taki, że D = Ua . Ustalmy dowolny
k=1 k=1 k
ciÄ…g (f0,n) " ‚" R. Dla k " N, niech (fk,n) " bÄ™dzie podciÄ…giem ciÄ…gu (fk-1,n) " takim, że fk,n - fk
n=1 n=1 n=1
niemal jednostajnie na Ua . Przekątniowa metoda wyboru daje podciąg (fn ) " taki, że fn - fk niemal
k =1
jednostajnie na Ua . Korzystając z tego, że D jest obszarem, bez trudu wykluczamy sytuację, w której
k
fk (Ua ) ‚" C ale fk a" " dla pewnych k , k (Ćwiczenie).
k
18
Propozycja 2.4.3 (Twierdzenie Montela ). Niech (fk) " ‚" O(&!) bÄ™dzie ciÄ…giem lokalnie ograniczo-
k=1
nym. Wtedy istnieje podciąg (fk ) " zbieżny punktowo na &!.
n n=1
W szczególnoÅ›ci, dla dowolnego obszaru D ‚" C, każda niemal jednostajnie ograniczona rodzina R ‚"
O(D) jest normalna.
Dowód. Na wstÄ™pie zauważmy, że ciÄ…g (fk) " jest rodzinÄ… równociÄ…gÅ‚Ä…. Istotnie, jeżeli K(a, 2r) ‚"‚" &!
k=1
i |fk(Å›)| C, Å› " C(a, 2r), k " N, to dla z " K(a, r) mamy
2Ä„
1 1 1 C 1 C
|fk(z) - fk(a)| = fk(Å›) - dÅ› |z - a| d¸ |z - a|.
2Ä„i Å› - z Å› - a 2Ä„ |a + 2rei¸ - z| r
C(a,2r) 0
Niech A ‚" &! bÄ™dzie dowolnym zbiorem przeliczalnym gÄ™stym. StosujÄ…c przekÄ…tniowÄ… metodÄ™ wyboru do-
stajemy podciąg (fk ) " , który jest zbieżny punktowo na A. Wobec równociągłości, podciąg ten musi być
n n=1
lokalnie jednostajnie zbieżny. Istotnie, niech K(a, r) ‚"‚" &! dla pewnego a " A, i niech µ > 0. Wobec rów-
nociÄ…gÅ‚oÅ›ci, istnieje 0 < ´ r taka,że |fk (z) - fk (a)| µ dla z " K(a, ´) i wszystkich n " N. Ponadto,
n n
istnieje n0 takie, że dla n, m n0 zachodzi |fk (a) - fk (a)| µ. Wtedy dla z " K(a, ´) i n, m n0 mamy
n m
|fk (z) - fk (z)| |fk (z) - fk (a)| + |fk (a) - fk (a)| + |fk (a) - fk (z)| 3µ.
n m n n n m m m
19 20
Ostatni fragment dowodu to nic innego niż twierdzenie Arzeli Ascoliego .
Odnotujmy, że twierdzenie to może być znacznie wzmocnione zob. Twierdzenie ??.
21
Propozycja 2.4.4 (Twierdzenie Vitalego ). Niech (fk) " ‚" O(D) bÄ™dzie ciÄ…giem lokalnie ograniczo-
k=1
nym. Załóżmy, że ciÄ…g ten jest zbieżny punktowo na pewnym zbiorze A ‚" D majÄ…cym punkt skupienia w D.
Wtedy (fk) " jest zbieżny niemal jednostajnie w D.
k=1
Dowód. Wobec twierdzenia Montela wystarczy pokazać, że ciąg (fk) " jest zbieżny punktowo na D. Przy-
k=1
puśćmy, że dla pewnego a " D istnieją dwa podciągi (fk ) " i (fs ) " takie, że limn+ " fk (a) =
n n=1 n n=1 n
limn+ " fs (a). Wobec twierdzenia Montela możemy założyć, że fk - p, fs - q niemal jednostajnie
n n n
w D, gdzie p, q " O(D). Wiemy, że p = q na A, a stąd, wobec zasady identyczności, p a" q. W szczególności,
p(a) = q(a) sprzeczność.
17
Jako ciÄ…g funkcji D - C w sensie metryki na C.
18
Paul Montel (1876 1975) matematyk francuski.
19
Cesare Arzelá (1847 1912) matematyk wÅ‚oski.
20
Giulio Ascoli (1843 1896) matematyk włoski.
21
Giuseppe Vitali (1875 1932) matematyk włoski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
26
2. Funkcje holomorficzne I
2.5. Zasada symetrii Riemanna Schwarza
Twierdzenie 2.5.1 (Zasada symetrii Riemanna Schwarza). Niech C1, C2 ‚" C bÄ™dÄ… okrÄ™gami wÅ‚aÅ›ciwymi lub
nie. Niech D ‚" int C1 bÄ™dzie obszarem (jeżeli Cj jest prostÄ…, to int Cj definiujemy jako jednÄ… z półpÅ‚aszczyzn,
na które Cj dzieli C). Załóżmy, że ("D) )" C1 zawiera pewien otwarty łuk (odcinek) L. Niech f " O(D) )"
j
C(D *" L) bÄ™dzie taka, że f(L) ‚" C2. Niech C z - z",C " C oznacza operator symetrii wzglÄ™dem Cj,
j = 1, 2. Zdefiniujmy,
f(z), jeżeli z " D *" L
f(z) := .
1 2 1
(f(z",C ))",C , jeżeli z",C " D
1
Wtedy f " O(D *" L *" D",C ).
W szczególności, jeżeli C1 = C2 = R, to
f(z), jeżeli z " D *" L
f(z) := .
f(z), jeżeli z " D
Dowód. Po obłożeniu stosownymi homografiami i skorzystaniu z tego, iż homografie przekształcają punkty
symetryczne na symetryczne (por. Obserwacja 1.3.1), sprowadzamy dowód do przypadku C1 = C2 = R. Ten
zaś przypadek wynika łatwo z twierdzenia Morery Ćwiczenie.
Wniosek 2.5.2. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem takim, że L1 ‚" "D, gdzie L1 jest obrazem pewnego otwartego
Å‚uku analitycznego, tzn. L1 = Å‚1((0, 1)), Å‚1 : (0, 1) - C jest injektywnym odwzorowaniem analitycznym
takim, że Å‚1(t) = 0, t " (0, 1). Niech f " O(D) )" C(D *" L1) bÄ™dzie taka, że f(L1) ‚" L2, gdzie L2 jest obrazem
pewnego otwartego łuku analitycznego, L2 = ł2((0, 1)). Wtedy f przedłuża się holomorficznie poprzez L1,
tzn. istniejÄ… obszar D ƒ" D *" L1 oraz f " O(D) takie, że f = f na D *" L1.
Dowód. Wystarczy pokazać (Ćwiczenie), że dla dowolnego a " L1 istnieje r > 0 takie, że L1 dzieli K(a, r)
na dwa obszary oraz istnieje funkcja fa " O(K(a, r)) taka, że fa = f na K(a, r) )" (D *" L1).
Niech Å‚j : Uj - C bÄ™dzie holomorficznym rozszerzeniem funkcji Å‚j (Ćwiczenie 2.3.6), gdzie Uj ‚" C jest
obszarem i Uj )" R = (0, 1). Możemy założyć, że łj(z) = 0, z " Uj, j = 1, 2. Ustalmy a = ł1(t1) " L1. Niech
f(a) = ł2(t2). Wtedy istnieją otoczenia V1, V2 punktów t1 i t2 takie, że:
" V1 )" R =: L jest pewnym otwartym odcinkiem,
" Å‚1|V - Å‚1(Vj) =: Wj jest biholomorficzne, j = 1, 2,
j
" L1 dzieli W1 na dwa obszary,
" f(W1) ‚" W2.
Niech G := (ł1|V )-1(D )" W1), g := (ł2|V )-1 ć% f ć% ł1|V : G *" L - C. Wtedy g " O(G) )" C(G *" L)
1 2 1
i g(L) ‚" R. Teraz wystarczy skorzystać ze zwykÅ‚ej zasady symetrii (Ćwiczenie).
2.6. Twierdzenie Cauchy ego Dixona
Będzie to wersja twierdzenia i wzoru całkowego Cauchy ego.
Twierdzenie 2.6.1 (Twierdzenie Cauchy ego Dixona). Niech &! ‚" C bÄ™dzie dowolnym zbiorem otwartym.
N
Niech ł := cjłj będzie cyklem, tzn. formalną kombinacją (łańcuchem) dróg zamkniętych łj : [0, 1] -
j=0
&!, cj " C, j = 0, . . . , N. Wtedy NWSR:
(i) dla dowolnej funkcji f " O(&!) mamy
1 f(z)
f(a) Indł(a) = dz, a " &! \ ł",
2Ä„i z - a
Å‚
gdzie
N N N
"
IndÅ‚ := cj IndÅ‚ , · · · := cj . . . , Å‚" := Å‚j ;
j
Å‚ Å‚j
j=0 j=0 j=0
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
27
2.6. Twierdzenie Cauchy ego Dixona
(ii) dla dowolnej funkcji f " O(&!) mamy
f(z)dz = 0;
Å‚
(iii) Indł(a) = 0 dla dowolnego a " C \ &!, tzn. cykl ł jest homologiczny zeru w &!.
Dowód. (i) =Ò! (ii): Stosujemy (i) do funkcji (z - a)f.
1
(ii) =Ò! (iii): Stosujemy (ii) do funkcji .
z-a
(iii) =Ò! (i): Mamy sprawdzić, że
1 f(z) - f(a)
dz = 0.
2Ä„i z - a
Å‚
Zdefiniujmy
f(z)-f(w)
, jeżeli z = w
z-w
g(z, w) := , (z, w) " &! × &!.
f (z), jeżeli z = w
Wiemy, że g jest holomorficzna za względu na każdą zmienną. Ponadto jest ciągła. Ciągłość poza prze-
kÄ…tnÄ… jest oczywista. Dla (a, a) " &! × &! i K(a, r) ‚"‚" &! mamy
1 1 f(Å›) f(Å›) f(Å›)
g(z, w) - g(a, a) = - - dÅ›
2Ä„i z - w Å› - z Å› - w (Å› - a)2
C(a,r)
1 1 1
= f(Å›) - dÅ› - 0,
2Ä„i (Å› - z)(Å› - w) (Å› - a)2 (z,w)(a,a)
C(a,r)
ponieważ funkcja podcałkowa dąży jednostajnie (względem ś) przy (z, w) - (a, a).
Niech
1
g(z, w)dz, jeżeli w " &!
2Ä„i Å‚
h(w) := .
f(z)
1
dz, jeżeli w " C \ &!
2Ä„i Å‚ z-w
Przypomnijmy, że na podstawie lematu o produkcji funkcji holomorficznych, funkcja
1 f(z)
h0
C \ Å‚" w - dz
2Ä„i z - w
Å‚
jest holomorficzna. Odnotujmy, że h0(w) - 0 przy w - ".
Z własności indeksu wynika, że Indł = 0 w każdej składowej C\ł", która przecina C\&!. W szczególności,
Indł = 0 w pewnym otoczeniu U brzegu &!, skąd wynika, że h = h0 w U.
Teraz pokażemy, że h " O(&!). Z Analizy wiemy, że h " C(&!). Skorzystamy z warunku Morery. Dla
dowolnego trójkÄ…ta T ‚"‚" &!, korzystajÄ…c z twierdzenia Fubiniego, mamy
g(w)dw = g(z, w)dw dz = 0.
"T Å‚ "T
Wykazaliśmy, że h " O(C) oraz h(w) - 0 dla w - ". Z zasady maksimum wynika, że h a" 0, co
kończy dowód.
Wniosek 2.6.2. Wobec Twierdzenia 2.1.16, jeżeli droga zamknięta ł : [0, 1] - &! jest homotopijna ze stałą,
to jest homologiczna zeru w &!.
Ćwiczenie 2.6.3. Czy krzywa homologiczna zeru w &! musi być homotopijna ze stałą ?
Definicja 2.6.4. O"(&!) := {f " O(&!) : f-1(0) = "}.
Propozycja 2.6.5. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem. Wtedy NWSR:
(i) dowolna funkcja f " O(D) ma pierwotnÄ…;
(ii) dowolna funkcja f " O"(D) ma gałąz jednoznaczną logarytmu;
(iii) dla dowolnej funkcji f " O"(D) istnieje p = p(f) " N2 takie, że f ma gałąz jednoznaczną p tego
pierwiastka;
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
28
2. Funkcje holomorficzne I
(iv) każda droga zamknięta ł : [0, 1] - D jest homologiczna zeru w D;
(v) zbiór C \ D jest spójny.
Dowód. (i) =Ò! (ii): Niech g " O(D) bÄ™dzie taka, że g = f /f. Możemy zaÅ‚ożyć, że dla pewnego a " D
mamy eg(a) = f(a). Mamy
eg g egf - egf
= = 0,
f f2
a więc eg = f.
(ii) =Ò! (iii): f = eg = (eg/p)p.
(iii) =Ò! (ii): Wystarczy pokazać, że funkcja f /f ma pierwotnÄ…. Na podstawie Propozycji 2.1.9 trzeba
f (z)
pokazać, że dz = 0 dla dowolnej drogi zamkniętej ł w D. Niech
Å‚ f(z)
p1
p1 := p(f), g1 " O"(D), g1 = f,
p2 p1p2
p2 := p(g1), g2 " O"(D), g2 = g1, g2 = f, . . . ,
pk p1···pk
pk := p(gk-1), gk " O"(D), gk = gk-1, gk = f, . . . .
Połóżmy qk := p1 · · · pk + ". Wtedy
qk-1
f qkgk gk gk
= = qk ,
qk
f gk gk
a stÄ…d
1 f (z) 1 gk(z)
Indfć%ł(0) = dz = qk dz = qk Indg ć%ł(0), k " N,
k
2Ä„i f(z) 2Ä„i gk(z)
Å‚ Å‚
co oznacza, że qk| Indfć%ł(0) dla dowolnego k " N, a to jest możliwe tylko, gdy Indfć%ł(0) = 0.
1
(ii) =Ò! (iv): Ustalmy a " D i g " O(D) bÄ™dzie taka, że eg = z - a. Wtedy egg = 1, czyli g = , co
/
z-a
1
oznacza, że funkcja ma pierwotną. Teraz, korzystając z Propozycji 2.1.9, wnioskujemy, że Indł(a) = 0.
z-a
(iv) =Ò! (i): Wynika z Twierdzenia Cauchy ego Dixona oraz Propozycji 2.1.9.
(iv) =Ò! (v): Gdyby zbiór C \ D nie byÅ‚ spójny, wtedy miaÅ‚by skÅ‚adowÄ… zwartÄ… takÄ…, że U := D *" K
jest otwarty. Niech G := int Q będzie zbiorem otwartym opartym na siatce kwadratowej o oczku Qj,k :=
j j+1
k k+1
[ , ] × [ , ] (dla dostatecznie dużego m) tak, by K ‚" G ‚"‚" U,
m m m m
Q := Qj,k.
Qj,k: Qj,k‚"D,
Qj,k)"K ="
G jest zbiorem otwartym, którego brzeg "G może być utożsamiany z formalnÄ… kombinacjÄ… Å‚1 + · · · + Å‚N
Å‚amanych Jordana. Wtedy IndÅ‚(a) = 1 dla a " K. W szczególnoÅ›ci, IndÅ‚ (a) = 0 dla pewnych a " K ‚" C\D
j
oraz j " {1, . . . , N} sprzeczność.
(v) =Ò! (iv): Wiemy, że IndÅ‚(a) = 0 dla a " D ", gdzie D " oznacza skÅ‚adowÄ… nieograniczonÄ… C \ Å‚"
(Indł( ") := 0). Oczywiście (C \ D) )" D " = ". Pozostaje jeszcze skorzystać ze stałości Indł na C \ D.
2.7. Jednowymiarowe rozmaitości zespolone
Definicja 2.7.1. Powiemy, że przestrzeń topologiczna Hausdorffa M jest jednowymiarową rozmaitością
zespolonÄ…, jeżeli istnieje ukÅ‚ad map (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A, zwany atlasem, taki, że
" UÄ… ‚" M jest zbiorem otwartym w M, ÕÄ… : UÄ… - ÕÄ…(UÄ…) ‚" C jest homeomorfizmem, ÕÄ…(UÄ…) jest
zbiorem otwartym w C (co, z definicji, oznacza, że (UÄ…, ÕÄ…) jest mapÄ…), Ä… " A,
" UÄ… = M,
Ä…"A
" Õ² ć% Õ-1 " O(ÕÄ…(UÄ… )" U²)) dla dowolnych Ä…, ² " A.
Ä…
Powiemy, że mapa (U, È) jest zgodna z atlasem (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A, jeżeli ten atlas po doÅ‚Ä…czeniu mapy (V, È)
pozostaje atlasem, czyli È Ä‡% Õ-1 " O(ÕÄ…(UÄ… )" V )) i ÕÄ… ć% È-1 " O(È(V )" UÄ…)) dla dowolnego Ä… " A.
Ä…
-1
Jeżeli mapy (V1, È1) i (V2, È2) sÄ… zgodne z atlasem (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A, to Èj ć% Èk " O(Èk(Vj )" Vk)) dla
dowolnych j, k " {1, 2} Ćwiczenie. W szczególnoÅ›ci, atlas (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A, po doÅ‚Ä…czeniu obu map pozostaje
atlasem.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
29
2.8. Funkcje holomorficzne w "
Atlas (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A nazywamy atlasem maksymalnym, jeżeli każda mapa z nim zgodna należy do niego.
Jeżeli do danego atlasu dołączymy wszystkie mapy z nim zgodne, to otrzymamy atlas maksymalny.
W tym sensie każdy atlas generuje atlas maksymalny. Od tej chwili, mówiąc o atlasie na M będziemy zawsze
mieć na myśli atlas maksymalny generowany przez dany atlas.
Spójne zespolone rozmaitości jednowymiarowe nazywamy powierzchniami Riemanna .
Definicja 2.7.2. Niech M bÄ™dzie jednowymiarowÄ… rozmaitoÅ›ciÄ… zespolonÄ… z atlasem (UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A. Powiemy,
że funkcja f : M - C jest holomorficzna (f " O(M)), jeżeli f ć% Õ-1 " O(ÕÄ…(UÄ…)) dla dowolnego Ä… " A.
Ä…
Niech N bÄ™dzie jakÄ…Å› innÄ… jednowymiarowÄ… rozmaitoÅ›ciÄ… zespolonÄ… z atlasem (V², Ȳ)²"B. Powiemy, że
odwzorowanie ciągłe f : M - N jest holomorficzne (f " O(M, N)), jeżeli
Ȳ ć% f ć% Õ-1 " O(ÕÄ…(UÄ… )" f-1(V²))), (Ä…, ²) " A × B.
Ä…
Aatwo sprawdzić (Ćwiczenie), że jeżeli odwzorowanie f : M - N jest holomorficzne względem atlasów
(UÄ…, ÕÄ…)Ä…"A i (V², Ȳ)²"B, to jest holomorficzne wzglÄ™dem maksymalnych atlasów generowanych przez te
atlasy.
Zauważmy, że powyższe definicje są zgodne i zgadzają się Definicją 2.2.1.
Obserwacja 2.7.3. C jest zwartą powierzchnią Riemanna. Na C będziemy zawsze rozważać atlas maksy-
malny generowany przez atlas dwuelementowy (C, id), (C", I), gdzie I(z) := 1/z oznacza inwersjÄ™.
Obserwacja 2.7.4. Niech M będzie jednowymiarową rozmaitością zespoloną.
(a) Wszystkie wyniki, w których ingerują wyłącznie lokalne własności funkcji holomorficznych przenoszą
siÄ™ na rozmaitoÅ›ci, np. twierdzenie Weierstrassa: jeżeli (fk) " ‚" O(M) oraz fk - f lokalnie jednostajnie,
k=1
to f " O(M).
(b) Jeżeli M jest spójna, to zachodzi dla niej zasada identyczności: jeżeli f, g " O(M, N) są takie, że
zbiór A := {x " M : f(x) = g(x)} ma punkt skupienia w M, to f a" g.
Istotnie, niech D0 := {a " M : f = g w pewnym otoczeniu punktu a}. Jest to oczywiście zbiór otwarty.
Pokażemy, że niepusty. Niech a " A )" D. Wobec ciÄ…gÅ‚oÅ›ci f i g mamy f(a) = g(a) =: b. Niech (U, Õ), (V, È)
bÄ™dÄ… dowolnymi mapami w otoczeniach punktów a i b. Możemy zaÅ‚ożyć, że U jest spójne oraz f(U) ‚" V .
Z definicji wiemy, że funkcje f0 := È Ä‡% f ć% Õ-1 i g0 := È Ä‡% g ć% Õ-1 sÄ… holomorficzne na obszarze Õ(U) ‚" C oraz
równe na zbiorze Õ(A) majÄ…cym punkt skupienia Õ(a) w tym obszarze. StÄ…d, na podstawie zwykÅ‚ej zasady
identyczności, f0 a" g0, co daje f = g na U.
Powyższe rozumowanie pokazuje również, że zbiór D0 jest domknięty w D. A więc D0 = D.
(c) Jeżeli M jest spójna, to zachodzi dla niej zasada maksimum: dla f " O(M), jeżeli |f| przyjmuje w M
maksimum lokalne, to f a" const.
(d) Jeżeli M jest spójna i zwarta, to O(M) C. Dla przykładu, O(C) C.
(e) Jeżeli M jest spójna i ośrodkowa, to w O(M) zachodzi twierdzenie Montela i twierdzenie Vitalego.
(f) Sprawdzić, jakie dalsze własności funkcji holomorficznych przenoszą się na rozmaitości. Proszę pa-
miętać o tym ćwiczeniu również w przyszłości !
(g)" Ćwiczenie: Czy jeżeli M jest spójna, to jest ośrodkowa ?
2.8. Funkcje holomorficzne w "
Definicja 2.8.1. Niech &! ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym taki, że " " &!. Niech R > 0 bÄ™dzie takie, że
C \ K(R) ‚" &!. Powiemy, że funkcja f : &! - C jest holomorficzna (f " O(&!)), jeżeli f " O(&! \ { "})
(w sensie Definicji 2.2.1) oraz f jest holomorficzna w ", tzn. funkcja K(1/R) z - f(1/z) " C jest
"
holomorficzna w zwykÅ‚ym sensie, a wiÄ™c istnieje ciÄ…g (an) " ‚" C taki, że szereg anwn jest zbieżny
n=0 n=0
"
w K(1/R) oraz f(z) = an(1/z)n dla |z| > R.
n=0
Zauważmy, że powyższa jest zgodna z Definicją 2.7.2.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
30
2. Funkcje holomorficzne I
2.9. Szeregi Laurenta
22
Definicja 2.9.1. Szeregiem Laurenta o środku a " C nazywamy dowolny szereg postaci
" " "
an(z - a)n = a-n(z - a)-n + an(z - a)n =: S(z) + R(z),
n=- " n=1 n=0
gdzie (an) " ‚" C. Szereg S nazywamy częściÄ… osobliwÄ…, zaÅ› R częściÄ… regularnÄ… szeregu Laurenta.
n=- "
Szeregi potęgowe utożsamiamy z tymi szeregami Laurenta, dla których S a" 0, tzn. a-n = 0 dla dowolnego
n " N.
Zdefiniujmy liczby R-, R+ " {- "} *" [0, + "]:
n
lim supn+ " |a-n|, jeżeli a-n = 0 dla pewnego n " N 1
R- := , R+ := .
n
- ", jeżeli a-n = 0 dla dowolnego n " N
lim supn+ " |an|
Obserwacja 2.9.2. Załóżmy, że R- < R+.
"
(a) Z własności szeregów potęgowych wynika natychmiast, że szereg an(z - a)n jest zbieżny
n=- "
niemal jednostajnie w pierścieniu A(a, R-, R+).
(b) Dla dowolnego zbioru zwartego K ‚"‚" A(a, R-, R+) istniejÄ… staÅ‚e C > 0, ¸ " (0, 1) takie, że
|an(z - a)n| C¸|n|, z " K, n " Z,
co oznacza, że szeregi Laurenta są zbieżne geometrycznie.
"
(c) Na podstawie twierdzenia Weierstrassa, funkcja f(z) := an(z - a)n, z " A(a, R-, R+), jest
n=- "
holomorficzna.
(d) Dla R- < r < R+, całkując wyraz po wyrazie dostajemy:
"
1 f(Å›) 1
dÅ› = an (Å› - a)n-k-1dÅ› = ak, k " Z.
2Ä„i (Å› - a)k+1 2Ä„i
C(a,r) C(a,r)
n=- "
W szczególności, funkcja f wyznacza jednoznacznie współczynniki swojego rozwinięcia.
Propozycja 2.9.3 (Twierdzenie o rozwijaniu w szereg Laurenta). Niech f " O(A(a, r-, r+), 0 r- < r+
+ ". Zdefiniujmy
1 f(Å›)
an(r) := dÅ›, n " Z, r- < r < r+.
2Ä„i (Å› - a)k+1
C(a,r)
"
Wtedy an := an(r) jest niezależne od r, szereg Laurenta an(z - a)n jest zbieżny w A(a, r-, r+) oraz
n=- "
"
f(z) = an(z - a)n, z " A(a, r-, r+).
n=- "
Dowód. Niezależność od r wynika natychmiast z twierdzenia całkowego Cauchy ego zastosowanego do funkcji
holomorficznej A(a, r-, r+) z - f(z)/(z - a)n+1 i obszaru dwuspójnego A(a, r1, r2) ‚"‚" A(a, r-, r+)
przy r- < r1 < r2 < r+. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego dla tego obszaru, dla z " C(a, r)
22
Pierre Laurent (1813 1854) matematyk francuski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
31
2.9. Szeregi Laurenta
i r1 < r < r2 mamy:
1 f(Å›) f(Å›)
f(z) = dÅ› - dÅ›
2Ä„i Å› - z Å› - z
C(a,r2) C(a,r1)
1 1 1
= f(Å›) dÅ› - f(Å›) dÅ›
2Ä„i Å› - a + a - z Å› - a + a - z
C(a,r2) C(a,r1)
1 1 1 1 1
= f(Å›) dÅ› + f(Å›) dÅ›
z-a
Å›-a
2Ä„i Å› - a - z - a
1
1 -
C(a,r2) C(a,r1)
Å›-a
z-a
" "
1 (z - a)n (Å› - a)n
= f(Å›) dÅ› + f(Å›) dÅ›
2Ä„i (Å› - a)n+1 C(a,r1) n=0 (z - a)n+1
C(a,r2)
n=0
" "
= an(z - a)n + a-n-1(z - a)-n-1.
n=0 n=0
Przykład 2.9.4. Typowe zadanie dotyczące rozwijania funkcji holomorficznych w szeregi Laurenta wygląda
następująco. Mamy daną funkcję holomorficzną f " O(C \ {a1, . . . , aN }), gdzie |a1| . . . |aN |. Zadanie
polega na znalezieniu rozwinięcia funkcji f w szereg Laurenta w pierścieniach:
" K(|a1|) o ile a1 = 0,
" A(|aj|, |aj+1|) o ile |aj| < |aj+1|. j = 1, . . . , N - 1,
" A(|aN |, + "),
" A(aj, 0, rj), rj := min{|ak - aj| : k = 1, . . . , N, k = j}, j = 1, . . . , N.
Dla przykładu:
1 1
f(z) := + .
z - 1 z - 2
Rozwinięcie w K(1):
" " "
n
1 z
f(z) = - zn - = - (1 + 1/2n+1)zn.
2 2
n=0 n=0 n=0
Rozwinięcie w A(1, 2):
" " " "
n n
1 1 1 z
f(z) = - = - 1/2n+1zn + z-n.
z z 2 2
n=0 n=0 n=0 n=1
Rozwinięcie w A(2, + "):
" " "
n n
1 1 1 2
f(z) = + = (1 + 1/2n-1)z-n.
z z z z
n=0 n=0 n=1
Rozwinięcie w A(1, 0, 1):
"
1 1 1
f(z) = - = - (z - 1)n.
z - 1 1 - (z - 1) z - 1
n=0
Rozwinięcie w A(2, 0, 1):
"
1 1 1
f(z) = + = (-1)n(z - 2)n + .
1 + (z - 2) z - 2 z - 2
n=0
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
32
2. Funkcje holomorficzne I
2.10. Osobliwości izolowane
Definicja 2.10.1. Punkt a " C nazywamy osobliwością izolowaną funkcji holomorficznej f, jeżeli f jest
holomorficzna co najmniej w pewnym pierścieniu A(a, 0, r).
Oczywiście są też osobliwości nieizolowane, np. punkt 0 dla funkcji f(z) := 1/ sin(1/z).
Jeżeli f " O(A(a, 0, r)), to rozwijamy f w szereg Laurenta
"
f(z) = an(z - a)n, z " A(a, 0, r),
n=- "
i wprowadzamy następującą klasyfikację izolowanych punktów osobliwych:
" punkt pozornie osobliwy, czyli osobliwość usuwalna, jeżeli a-n = 0 dla dowolnego n " N; kładąc
f(a) := a0 dostajemy funkcję holomorficzną w całym kole K(a, r),
" biegun rzędu d (d " N), jeżeli a-n = 0 dla n > d i a-d = 0; funkcję wymierną
d
g(z) := a-n(z - a)-n
n=1
1
nazywamy wtedy częścią główną bieguna funkcji f w punkcie a; zauważmy, że g(z) = p( ), gdzie p jest
z-a
wielomianem stopnia d; oczywiście limza f(z) = ",
" punkt istotnie osobliwy, jeżeli a-n = 0 dla nieskończenie wielu n " N.
1
Liczba resa f := a-1 = f(Å›)dÅ› (0 < ´ < r) nosi nazwÄ™ residuum funkcji f w punkcie a.
2Ä„i C(a,´)
Punkt " nazywamy osobliwością izolowaną funkcji holomorficznej f, jeżeli f jest holomorficzna co
najmniej w pewnym pierścieniu A(r, + ").
Jak poprzednio, mamy też osobliwości nieizolowane w ", np. dla funkcji f(z) := 1/ sin z.
W przypadku osobliwości izolowanej w ", f " O(A(r, + ")),
"
f(z) = anzn, z " A(r, + "),
n=- "
osobliwość klasyfikujemy względem tego, jaką osobliwością jest punkt 0 dla funkcji g(z) := f(1/z), z "
A(0, 1/r). Tak więc:
" " jest punktem pozornie osobliwym, czyli osobliwością usuwalną, jeżeli an = 0 dla dowolnego n " N;
kładąc f( ") := a0 dostajemy funkcję holomorficzną w ",
d
" " jest biegunem rzędu d (d " N), jeżeli an = 0 dla n > d i ad = 0; wielomian anzn nazywamy
n=1
wtedy częścią główną bieguna funkcji f w "; oczywiście limz " f(z) = ",
" " jest punktem istotnie osobliwym, jeżeli an = 0 dla nieskończenie wielu n " N.
Ćwiczenie Jak zdefiniować res " f (residuum funkcji f w ") ?
Propozycja 2.10.2 (Twierdzenie Riemanna o osobliwościach usuwalnych). Dla funkcji f " O(A(a, 0, r))
NWSR:
(i) a jest punktem pozornie osobliwym funkcji f;
(ii) granica limza f(z) istnieje i jest skończona;
(iii) funkcja f jest ograniczona w A(a, 0, µ) dla pewnego 0 < µ < r;
(iv) f " Lp(A(a, 0, µ)) dla pewnych p 2 i 0 < µ < r.
h
Dowód. Implikacje (i) =Ò! (ii) =Ò! (iii) =Ò! (iv) sÄ… oczywiste. Pozostaje do wykazania, że (iv) =Ò! (i). Możemy
"
zaÅ‚ożyć, że a = 0. Ponieważ Lp(K"(µ)) ‚" L2(K"(µ)) możemy zaÅ‚ożyć, że p = 2. Niech f(z) = anzn,
n=- "
z " K"(r). Pokażemy, że a-n = 0 dla dowolnego n " N. Ustalmy n " N. Naszym celem będzie wykazanie, że
"
|a-n| (1/ 2Ä„)µn-1 f L2(K"(·))
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
33
2.10. Osobliwości izolowane
dla 0 < · < µ. Ponieważ f L2(K"(·)) - 0, gdy · - 0, dowód bÄ™dzie zakoÅ„czony. Dla 0 < t < · < µ
liczymy (korzystajÄ…c z nierównoÅ›ci Höldera):
2Ä„ 2Ä„
2 2
1 f(Å›) 1 1
|a-n|2 = dÅ› |f(tei¸)|tnd¸ |f(tei¸)|2d¸ t2n,
2Ä„i Å›-n+1 2Ä„ 2Ä„
C(t) 0 0
a stÄ…d
· 2Ä„
1 1 1
|a-n|2 ·2n-1 |f(tei¸)|2td¸dt = ·2n-2 |f|2dL2.
2Ä„ · 2Ä„
0 0 K"(·)
Obserwacja 2.10.3. 1/z " Lp(D") dla dowolnego 1 p < 2.
h
Wniosek 2.10.4 (Twierdzenie Riemanna o osobliwościach usuwalnych). Dla funkcji f " O(A(r, + "))
NWSR:
(i) " jest punktem pozornie osobliwym funkcji f;
(ii) granica limz " f(z) istnieje i jest skończona;
(iii) funkcja f jest ograniczona w A(µ, + ") dla pewnego µ > r.
Definicja 2.10.5. Niech f " O(K(a, r)). Mówimy, że f ma w punkcie a zero krotności d (d " N), jeżeli
f(k)(a) = 0 dla k d - 1 oraz f(d)(a) = 0. Piszemy wtedy orda f = d.
Oznacza to, że f(z) = (z - a)dg(z), z " K(a, r), gdzie g " O(K(a, r)) i g(a) = 0.
Jeżeli f " O(C \ K(r)) i g(z) := f(1/z), z " A(0, 1/r), to ord " f =: ord0 g.
Propozycja 2.10.6. Dla funkcji f " O(A(a, 0, r)) (odp. f " O(A(r, + "))) oraz d " N, NWSR:
(i) f ma w punkcie a (odp. ") biegun rzędu d;
(ii) istnieje funkcja g " O(K(a, r)) (odp. g " O(C \ K(r))) taka, że g(a) = 0 oraz f(z) = (z - a)-dg(z),
z " K"(a, r) (odp. f(z) = zdg(z), z " A(r, + "));
(iii) funkcja 1/f (dookreślona jako 0 w punkcie a) ma w a zero krotności d.
Dowód. Ćwiczenie.
Propozycja 2.10.7. Jeżeli funkcja f " O(A(a, 0, r)) ma w punkcie a biegun rzędu d, to
(d-1)
1
resa f = lim (z - a)df(z) .
za
(d - 1)!
"
Dowód. Niech f(z) = an(z - a)n, f(z) = (z - a)-dg(z) (tak, jak w Propozycji 2.10.6(b)), g(z) =
n=-d
"
bn(z - a)n. Wtedy a-1 = bd-1 oraz
n=0
(d-1)
1 1 1
lim (z - a)df(z) = lim g(d-1)(z) = g(d-1)(a) = bd-1.
za za
(d - 1)! (d - 1)! (d - 1)!
Przykład 2.10.8.
1 1 (2n - 3)!!
resi = .
(1 + z2)n 2i (2n - 2)!!
Liczymy:
(n-1)
1 1 1 1 (-n)(-n - 1) · · · (-n - n + 2)
resi = lim =
zi
(1 + z2)n (n - 1)! (z + i)n (n - 1)! (2i)2n-1
1 1 (-1)n-1n(n + 1) · · · (2n - 2) 1 (1 · 3 · 5 · · · 2n - 3)(2 · 4 · 6 · · · 2n - 2)
= =
2i (n - 1)! 22n-2(-1)n-1 2i ((n - 1)!)222n-2
1 (2n - 3)!!
= .
2i (2n - 2)!!
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
34
2. Funkcje holomorficzne I
23 24
Propozycja 2.10.9 (Twierdzenie Sochockiego Casoratiego Weierstrassa). Jeżeli f " O(A(a, 0, r))
ma w a punkt istotnie osobliwy, to dla dowolnego 0 < µ < r, zbiór f(A(a, 0, µ)) jest gÄ™sty w C.
Odnotujmy, że twierdzenie to może być znacznie wzmocnione zob. twierdzenie Picarda (Twierdzenie
??).
Dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest i f(A(a, 0, µ)) )" K(b, ´) = ", czyli |f(z) - b| ´ dla dowolnego z "
1
A(a, 0, ´). Niech g(z) := , z " A(a, 0, ´). Ponieważ, |g| 1/´, twierdzenie Riemanna implikuje, że
f(z)-b
funkcja g ma w punkcie a osobliwość usuwalną przedłużenie funkcji g oznaczamy tą samą literą.
1
Jeżeli g(a) = 0, to możemy zaÅ‚ożyć, że g(z) = 0 dla z " K(a, ´). Wtedy też f(z) = +b, z " A(a, 0, ´),
g(z)
co oznacza, że f przedÅ‚uża siÄ™ holomorficznie na K(a, ´) sprzeczność.
Jeżeli g(a) = 0, to dla pewnego d " N mamy g(z) = (z - a)dh(z), z " K(a, ´), gdzie h " O(K(a, ´))
i h(a) = 0. Możemy zaÅ‚ożyć, że h(z) = 0 dla dowolnego z " K(a, ´). Wtedy
1
f(z) = (z - a)-d + b(z - a)d , z " A(a, 0, ´),
h(z)
co oznacza, że f ma w a biegun rzędu d sprzeczność.
Wniosek 2.10.10. Niech f " O(A(a, 0, r)) lub też f " O(A(r, + ")). Wtedy:
" f ma w punkcie a osobliwość usuwalną wtedy i tylko wtedy, gdy granica limza f(z) istnieje i jest
skończona;
" f ma w punkcie a biegun wtedy i tylko wtedy, gdy granica limza f(z) = ";
" f ma w punkcie a osobliwość istotną wtedy i tylko wtedy, gdy granica limza f(z) nie istnieje.
2.11. Funkcje meromorficzne
Definicja 2.11.1. Niech D ‚" C bÄ™dzie obszarem. Powiemy, że funkcja f : D - C jest meromorficzna
(f " M(D)), jeżeli istnieje zbiór S = S(f) ‚" D taki, że:
" S )" D = ",
" f " O(D \ S),
" f ma biegun w każdym punkcie a " S.
Jeżeli &! ‚" C jest zbiorem otwartym, to mówimy, że funkcja f : &! - C jest meromorficzna (f " M(&!)),
jeżeli f|D " M(D) dla dowolnej składowej spójnej D zbioru &!.
Obserwacja 2.11.2. (a) O(&!) ‚" M(&!).
(b) Funkcje meromorficzne są ciągłe.
(c) S(f) = f-1( ").
Propozycja 2.11.3 (Zasada identyczności dla funkcji meromorficznych). Jeżeli f, g " M(D) oraz zbiór
A := {z " D : f(z) = g(z)} ma punkt skupienia w D, to f a" g.
Dowód. Niech S := S(f)*"S(g). Oczywiście, S nie ma punktu skupienia w D. Wynika stąd, że zbiór A)"(D\S)
ma punkt skupienia w obszarze D \ S. Korzystając z zasady identyczności dla funkcji holomorficznych,
wnioskujemy stąd, że f = g w D \ S. Ostatecznie, korzystając z ciągłości f i g, dostajemy f a" g.
Propozycja 2.11.4. M(D) jest ciałem.
Dowód. Niech f, g " M(D), f, g a" 0. Widać, że f + g " M(D) i S(f + g) ‚" S(f) + S(g).
Jeżeli g a" 0, to zbiór A := g-1(0) nie ma punktu skupienia w D (z zasady identyczności). Ponadto,
1/g " O(A )" S(g)). Na podstawie Propozycji 2.10.6 wiemy, że w każdym punkcie a " A funkcja 1/g ma
biegun (rzędu d o ile funkcja g miała w a zero krotności d), zaś w każdym punkcie a " S(f) zero (krotności
d o ile funkcja g miała w a biegun rzędu d). Ostatecznie, S(1/g) = A i 1/g " M(D).
Pozostaje wykazać, że f · g " M(D). OczywiÅ›cie, f · g " O(D \ A), gdzie A := S(f) *" S(g). Ustalmy
f g
a " A)"C. Niech f(z) = (z-a)d f1(z), g(z) = (z-a)d g1(z), z " A(a, 0, r) ‚" D\A, gdzie df , dg " Z (zależnie
23
Julian Sochocki (1842 1927) matematyk polski.
24
Felice Casorati (1835 1890) matematyk włoski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
35
2.12. Twierdzenie o residuach
f
od tego, czy dana funkcja ma zero, czy biegun), f1, g1 " O"(K(a, r)). StÄ…d f(z)g(z) = (z -a)d +dgf1(z)g1(z),
z " A(a, 0, r).
Przypadek a = " pozostawiamy jako Ćwiczenie.
Teraz, korzystajÄ…c z Propozycji 2.10.6, wnioskujemy, że f · g " M(D).
Propozycja 2.11.5. M(D) = O(D, C) \ { "}, gdzie C traktujemy jako jednowymiarową rozmaitość zespo-
lonÄ… (por. Definicja 2.7.2).
Dowód. C wyposażamy w atlas (C, idC), (C", I), gdzie I(z) := 1/z. Przypomnijmy, że funkcja ciągła f :
D - C jest holomorficzna, jeżeli są holomorficzne (w zwykłym sensie) następujące cztery funkcje:
(a) D )" C )" f-1(C) z - f(z) " C,
(b) I(D )" C" )" f-1(C)) z - f(1/z) " C,
(c) D )" C )" f-1(C") z - 1/f(z) " C,
(d) I(D )" C" )" f-1(C")) z - 1/f(1/z) " C.
Niech S := f-1( "). Wobec zasady identyczności (Obserwacja 2.7.4), S )" D = ". Warunki (a) i (b)
oznaczają łącznie, że f " O(D \ S). Ciągłość funkcji gwarantuje, że f ma biegun w każdym punkcie a " S.
Wynika stÄ…d, że O(D, C) \ { "} ‚" M(D).
W drugą stronę niech f " M(D), S := S(f). Wiemy, że f jest ciągła oraz, że f " O(D \ S), co
oznacza, że (a) i (b) są spełnione. Wezmy dowolny punkt a " S )" C, f(z) = (z - a)-dg(z), z " A(a, 0, r),
f " O"(K(a, r)). Wtedy 1/f(z) = (z - a)d(1/g(z)), z " K(a, r), co daje (c). Jeżeli " " S, to f(z) = zkg(z),
z " A(r, + "), g " O"(C \ K(r)). Wtedy 1/f(1/z) = zk(1/g(1/z)), z " K(1/r), co daje (d).
Propozycja 2.11.6. M(C) = R(C).
Dowód. OczywiÅ›cie, R(C) ‚" M(C). Niech f " M(C). Zbiór S(f) musi być skoÅ„czony. Przypadek S(f) = "
jest trywialny wtedy f a" const. Jeżeli S(f) = { "}, to f jest funkcją całkowitą i ponieważ w " ma
biegun, to musi być wielomianem. Przypuśćmy, że S(f) )" C = {a1, . . . , an} i niech
1
gk(z) = pk
z - ak
oznacza część głównÄ… bieguna funkcji f w punkcie ak, k = 1, . . . , n. Zdefiniujmy g := f - (g1 + · · · + gn) "
M(C). Wtedy S(g) ‚" { "}, a wiÄ™c g musi być wielomianem.
Obserwacja 2.11.7. Konstrukcja przeprowadzona w powyższym dowodzie to nic innego, jak rozkład funkcji
wymiernej na ułamki proste.
Propozycja 2.11.8. (a) Aut(C) = AutH(C) = {C z - az + b " C : a " C", b " C} = G.
(b) Aut(C) = AutH(C) = H.
W szczególności, grupa Aut(C) zależy od 4 parametrów rzeczywistych.
Dowód. (a) Jest oczywiste, że G ‚" Aut(C). Niech f " Aut(C). Ponieważ f jest odwzorowaniem wÅ‚aÅ›ciwym,
zatem limz " f(z) = ". Oznacza to, że f ma w nieskończoności biegun, a to z kolei, oznacza, że f jest
wielomianem stopnia d dla pewnego d " N. Ponieważ f jest injektywne musi być d = 1.
(b) Wiemy, że H ‚" Aut(C). Niech f " Aut(C). Jeżeli f( ") = ", to f " Aut(C), a wiÄ™c (wobec
1
(a)), f(z) = az + b " H. Jeżeli f( ") = w0 " C, wtedy g := " Aut(C) oraz g( ") = ", co, wobec
f-w0
poprzedniego przypadku, daje f " H.
2.12. Twierdzenie o residuach
Twierdzenie 2.12.1 (Twierdzenie o residuach). Niech D będzie obszarem p spójnym ograniczonym p dro-
gami Jordana zorientowanymi dodatnio, niech D ‚" &!, gdzie &! jest zbiorem otwartym, i niech f " M(&!)
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
36
2. Funkcje holomorficzne I
bÄ™dzie taka, że S(f) ‚" D (S(f) musi być zbiorem skoÅ„czonym). Wtedy
f(Å›)dÅ› = 2Ä„i resa f.
"D
a"S(f)
Dowód. Jeżeli S(f) = ", to wynik jest oczywisty (przyjmujÄ…c, że · · · := 0). Załóżmy, że S(f) =
a""
{a1, . . . , an}. Niech r > 0 bÄ™dzie tak maÅ‚e, że K(aj, r) ‚"‚" D oraz K(aj, r) )" K(ak, r) = ", j = k. Do
n
obszaru G := D \ K(aj, r) stosujemy wzór Cauchy ego (przypomnijmy, że f " O(&! \ S(f))):
j=1
n n
0 = f(Å›)dÅ› = f(Å›)dÅ› - f(Å›)dÅ› = f(Å›)dÅ› - 2Ä„i resa f.
j
"G "D C(aj,r) "D
j=1 j=1
2.13. Zastosowania do obliczania całek
2Ä„
(I) I := W (cos t, sin t)dt, gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych zespolonych.
0
1 1 1
Przypomnijmy, że dla z = eit mamy cos t = (eit + e-it) = (z + 1/z) oraz sin t = (z - 1/z). Wynika
2 2 2i
stąd, że
1 1 1
I = W (z + 1/z), (z - 1/z) dz = f(z)dz = 2Ä„i resa f,
2 2i iz
T T
a"D
przy założeniu, że funkcja wymierna f nie ma biegunów na T.
+
"
(II) I := f(x)dx, gdzie f " M(&!), H ‚" &!, S(f) = {a1, . . . , aN } ‚" H+.
- "
Niech C+(r) oznacza górną połowę okręgu C(r) utożsamianą z krzywą [0, Ą] t - reit. Stosując
twierdzenie o residuach do obszaru {x + iy " K(R) : y > 0} dla dużych R, dostajemy
N
I = 2Ä„i res ajf - lim f(z)dz.
R+ "
C+(R)
j=1
Nas będą interesować przypadki, gdy limR+ " C+(R) f(z)dz = 0.
(*) Jeżeli dla pewnego ą > 1 mamy |f(z)| C/|z|ą dla z " H+, |z| R0 (np. f(z) = L(z)/M(z) jest
funkcjÄ… wymiernÄ… i deg L deg M - 2), to limR+ " C+(R) f(z)dz = 0.
Istotnie, dla R > R0 mamy
Ä„
f(z)dz |f(Reit)|Rdt Ä„C/RÄ…-1 - 0.
C+(R) 0
Dla przykładu,
"
1 1 (2n - 3)!!
dx = 2Ä„i resi = Ä„ , n " N.
(1 + x2)n (1 + z2)n (2n - 2)!!
- "
(**) (Lemat Jordana) Jeżeli f(z) = g(z)eiz, z " &!, gdzie > 0 i
M(R) := sup{|g(z)| : z " C+(R)} - 0
R+ "
(np. g(z) = L(z)/M(z) jest funkcjÄ… wymiernÄ… i deg L deg M - 1), to limR+ " C+(R) f(z)dz = 0.
Istotnie,
Ä„ Ä„/2
it
f(z)eizdz |g(Reit|eRe(iRe )Rdt 2M(R)R e-R sin tdt
C+(R) 0 0
Ä„/2
Ä„/2
2 Ä„ 2R
Ä„ Ä„
2M(R)R e-R tdt = 2M(R)R - e- t
2R 0
0
Ä„M(R)
= (1 - e-R) - 0.
R+ "
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
37
2.13. Zastosowania do obliczania całek
Dla przykładu,
" "
x sin x xe-ix zeiz ie-1 Ä„
dx = Im dx = Im 2Ä„i resi = Im 2Ä„i = .
1 + x2 1 + x2 1 + z2 2i e
- " - "
(III)
" "
sin x 1 eix
I := dx = Im dx = . . .
x 2 x
0 - "
stosujemy twierdzenie o residuach do obszaru {x + iy " K(R) \ K(r) : y > 0}, 0 < r < R (w którym nie ma
eiz
biegunów funkcji ) i dostajemy
z
1 eiz 1 eiz Ä„
· · · = - Im lim dz = - Im Ä„i res0 = - ,
r0
2 z 2 z 2
C+(r)
gdzie ostatnia równość wynika z następującej obserwacji.
¸2
Jeżeli funkcja f " O(A(a, 0, r0)) ma w punkcie a biegun rzÄ™du 1, 0 ¸1 < ¸2 2Ä„ oraz C¸ (r) oznacza
1
krzywÄ… [¸1, ¸2] t - reit, to
lim f(z)dz = (¸2 - ¸1)i resa f.
¸2
r0
C¸1 (r)
resa f
Istotnie, wiemy, że f(z) = + g(z), z " A(a, 0, r0), gdzie g " O(K(a, r0)). Możemy założyć, że
z-a
|g| M. Wtedy
1
f(z)dz = (resa f) dz + g(z)dz = (¸2 - ¸1)i resa f + g(z)dz
¸2 ¸2 ¸2 ¸2
z - a
C¸1 (r) C¸1 (r) C¸1 (r) C¸1 (r)
oraz
g(z)dz 2Ä„Mr - 0.
¸2
r0
C¸1 (r)
(IV)
" " "
2
I := cos x2dx + i sin x2dx = eiz dz = . . .
0 0 0
stosujemy twierdzenie o residuach do obszaru {Äeit : 0 < Ä < R, 0 < t < Ä„/4} (w którym nie ma biegunów
2
funkcji eiz ) i dostajemy
2 2
· · · = - lim eiz dz + lim eiz dz.
Ä„/4
R+ " R+ "
C0 (R) [0,ReiĄ/2]
zauważmy, że
Ä„/4 Ä„/4 Ä„/4
2 2 2 2
Ä„
eiz dz eRe i(Reit)2Rdt = R e-R sin 2tdt R e-R 2tdt
Ä„/4
C0 (R) 0 0 0
Ä„/4
Ä„ 4R2 Ä„ 2
Ä„
= R - e- t = (1 - e-R ) - 0,
4R2 0 4R R+ "
"
R R "
2 iĄ/4 2 2 Ą
eiz dz = ei(te )2eiĄ/4dt = eiĄ/4 e-t dt - eiĄ/4 e-t dt = eiĄ/4 .
R+ " 2
[0,ReiĄ/2] 0 0 0
Ostatecznie,
"
" "
2Ä„
cos x2dx = sin x2dx = .
4
0 0
(V)
"
eÄ…x
I := dx, 0 < Ä… < 1.
1 + ex
- "
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
38
2. Funkcje holomorficzne I
Stosujemy twierdzenie o residuach do obszaru {x + iy " H+ : -R < x < R, y < 2Ą} (w którym jest jeden
eÄ…z
biegun funkcji f(z) := w punkcie Ä„i). StÄ…d dostajemy
1+ez
I = 2Ąi resĄi f + lim f(z)dz + f(z)dz - f(z)dz
R+ "
[-R,-R+2Ä„i] [-R+2Ä„i,R+2Ä„i] [R,R+2Ä„i]
= -2Ä„i eÄ…Ä„i + lim (A(R) + B(R) - C(R)).
R+ "
Szacujemy:
2Ä„ 2Ä„
e-Ä…R e-Ä…R e-Ä…R
|A(R)| dt dt = 2Ä„ - 0
|1 + e-R+it| 1 - e-R 1 - e-R R+ "
0 0
i podobnie C(R) - 0. Ponadto,
R R
eÄ…(t+2Ä„i) eÄ…x
B(R) = dt = e2Ä…Ä„i dx - e2Ä…Ä„iI.
1 + et+2Ä„i 1 + ex R+ "
-R -R
Ostatecznie,
-2Ä„i eÄ…Ä„i Ä„
I = = .
1 - e2Ä…Ä„i sin Ä…Ä„
2.14. Funkcje holomorficzne dane całką
Propozycja 2.14.1 (Twierdzenie o funkcjach danych caÅ‚kÄ…). Niech I ‚" R, I " {[a, b], [a, b)}, niech D ‚" C
bÄ™dzie obszarem i niech f : I × D - C bÄ™dzie funkcjÄ… taka, że:
(a) f(·, t) " O(D), t " I,
(b) f(z, ·) " C(I), z " D,
(c) f lokalnie ograniczona w I × D,
(c ) dla dowolnego zbioru zwartego K ‚"‚" D istnieje funkcja caÅ‚kowalna gK : [a, b) - R+ taka, że
|f(z, t)| gK(t), (z, t) " K × [a, b) (zauważmy, że jeżeli I = [a, b], to (c ) wynika z (c)).
Zdefiniujmy
b
F (z) := f(z, t)dt, z " D.
a
b
"kf
(k) 25
Wtedy F " O(D) oraz F (z) = (z, t)dt , z " D, k " N.
a "zk
Analogiczny wynik można oczywiście uzyskać dla I = (a, b], czy też I = (a, b) (w ostatnim przypadku
wystarczy wprowadzić punkt pośredni).
j
Dowód. Najpierw niech I = [a, b]. Niech tn,j = a + (b - a), ¾n,j " [tn,j-1, tn,j], n " N, j = 0, . . . , n.
n
Zdefiniujmy
n
b - a
Fn(z) := f(z, ¾n,j) , z " D, n " N;
n
j=1
b
Fn(z) jest sumÄ… aproksymacyjnÄ… poÅ›redniÄ… dla caÅ‚ki f(z, t)dt przy podziale a = tn,0 < · · · < tn,n = b
a
i punktach poÅ›rednich ¾n,1, . . . , ¾n,n. OczywiÅ›cie, Fn " O(D) oraz Fn - F punktowo na D. Aby udowodnić,
że F " O(D) zastosujemy twierdzenie Vitalego. Wystarczy pokazać, że ciąg (Fn) " jest niemal jednostajnie
n=1
ograniczony. Dla dowolnego zbioru zwartego K ‚"‚" D, niech |f| C na K × [a, b]. Wtedy |Fn| C(b - a)
na K dla dowolnego n " N.
(k)
(k)
Ustalmy k " N oraz z " D. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że Fn (z) - F (z). Zauważmy, że
n
"kf b - a
(k)
Fn (z) = (z, ¾n,j) , n " N;
"zk n
j=1
25
Wzór ten oznacza w szczególności, że całka po prawej stronie istnieje.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
39
2.16. Transformacja Laplace a
(k) b
"kf
Fn (z) jest sumÄ… aproksymacyjnÄ… poÅ›redniÄ… dla caÅ‚ki (z, t)dt przy podziale a = tn,0 < · · · < tn,n = b
a "zk
b
"kf
i punktach poÅ›rednich ¾n,1, . . . , ¾n,n. Wobec dowolnoÅ›ci ¾n,j dostajemy istnienie caÅ‚ki (z, t)dt oraz
a "zk
żądaną równość.
26
W przypadku, gdy I = [a, b) , ustalmy bk b i niech
bk
Fk(z) := f(z, t)dt, z " D, k " N.
a
Wobec pierwszej części dowodu, wystarczy pokazać, że Fk - F niemal jednostajnie w D. Ustalmy zbiór
zwarty K ‚"‚" D. Wtedy, dla z " K oraz k, mamy
b b
|Fk(z) - F (z)| = f(z, t)dt gK(t)dt - 0.
k+ "
bk bk
2.15. Funkcja “ Eulera
Niech
Hm := {z " C : Re z > m}, m " R.
Propozycja 2.15.1. (a) Funkcja “ Eulera
" "
“ (z) := tz-1e-tdt = e(z-1) ln t-tdt, z " H0,
0 0
jest poprawnie okreÅ›lona, holomorficzna, “ (1) = 1 oraz “ (z + 1) = z“ (z).
(b) W konsekwencji, “ (z + n) = (z + n - 1) · · · z“ (z), co pozwala przy pomocy wzoru
“ (z + n)
“ (z) := , z " H-n,
(z + n - 1) · · · z
przedÅ‚użyć holomorficznie funkcjÄ™ “ na C \ Z-.
(-1)n
(c) Dla n " Z+, funkcja Eulera ma w punkcie -n biegun rzÄ™du pierwszego oraz res-n “ = .
n!
Dowód. (a), (b) Ćwiczenie.
(c)
“ (z + n + 1) “ (1) (-1)n
lim (z + n)“ (z) = lim (z + n) = = .
z-n z-n
(z + n)(z + n - 1) · · · z (-1) · · · (-n) n!
2.16. Transformacja Laplace a
Niech D(L) oznacza rodzinę wszystkich funkcji f : R+ - C takich, że:
" f jest kawaÅ‚kami ciÄ…gÅ‚a w R+ w tym sensie, że istniejÄ… punkty 0 = t0 < t1 < · · · < tN takie,
że f|(t ,tj) ma ciągłe przedłużenie na [tj-1, tj], j = 1, . . . , N, oraz f|(t ,+ ") ma ciągłe przedłużenie na
j-1 N
[tN , + ").
" istnieją stałe M, m 0 takie, że |f(t)| Memt, t " R+.
Zauważmy, że D(L) jest C algebrą. Dla f " D(L) zdefiniujmy
m(f) := inf{m 0 : "M 0 : |f(t)| Memt, t " R+}.
Oczywiście dla funkcji ograniczonych f mamy m(f) = 0.
27
Dla f " D(L) zdefiniujmy transformatÄ™ Laplace a
"
F (s) = L(f)(s) := f(t)e-stdt, s " Hm(f).
0
26
Uwaga: dopuszczamy b = + ".
27
Pierre Simon de Laplace (1749 1827) astronom, matematyk i fizyk francuski.
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
40
2. Funkcje holomorficzne I
Zauważmy, że funkcja F jest poprawnie określona bowiem dla dowolnego m > m(f) mamy |f(t)| Memt,
t " R+, dla pewnej stałej M 0. Wtedy |f(t)e-st| Me(m-Re s)t, t " R, skąd wynika, że F (s) jest poprawnie
określona dla s " Hm. Z twierdzenia o funkcjach danych całką wynika, że F " O(Hm(f)). Ponadto,
M
|F (s)| - 0.
Re s - m Hm s "
L jest oczywiście operatorem C liniowym.
Ćwiczenie 2.16.1. Sprawdzić i uzupełnić następującą tabelkę.
f(t) F (s)
1
1
s
1
et ( " C)
s-
sin t
cos t
sinh t
cosh t
1 s
f(at) (a > 0) F ( )
a a
É
1
f(t + É) = f(t), t " R+ (É > 0) f(t)e-stdt
1-e-És 0
f(t - b) (b > 0) e-bsF (s)
b
f(t + b) (b > 0) ebs(F (s) - f(t)e-stdt)
0
“ (Ä…+1)
tÄ… (Ä… 0)
sÄ…+1
e-tf(t) ( " C) F (s + )
ecttk-1 1
(k-1)! (s-c)k
(k)
(-t)kf(t) F (s)
k-1
f(k)(t) (f(j) " D(L) )" C(R>0), j = 1, . . . , k) skF (s) - sjf(k-j-1)(0+)
j=0
Jedynym trudniejszym wzorem jest wzór na L(tą). Dla s " H0 mamy
R
t=u/s u 1 1
L(tÄ…)(s) = lim tÄ…e-stdt = lim ( )Ä…e-u du = lim uÄ…e-udu.
r0+ r0+ r0+
s s sÄ…+1
r [rs,Rs] [rs,Rs]
R+ " R+ " R+ "
Pozostaje pokazać, że
"
lim uÄ…e-udu = lim uÄ…e-udu = uÄ…e-udu = “ (Ä… + 1).
r0+ r0+
[rs,Rs] [r|s|,R|s|] 0
R+ " R+ "
W tym celu korzystamy z twierdzenia o residuach dla obszaru ograniczonego drogÄ…
Õ Õ
[r|s|, R|s|] *" C0 (R|s|) *" (-[rs, Rs]) *" (-C0 (r|s|)),
gdzie Õ = Arg s " (-Ä„/2, Ä„/2). Pozostaje oszacować caÅ‚ki po Å‚ukach:
Å„Å‚
Õ òÅ‚ - 0
Ä„
zÄ…e-zdz (Ä|s|)Ä…+1e-Ä|s| cos tdt (Ä|s|)Ä…+1e-Ä|s| cos Õ Ä0+ .
Õ
2 ół - 0
C0 (Ä|s|) 0
Ä+ "
Przykład 2.16.2. Rozważmy równanie
any(n) + · · · + a1y + a0y = f(t),
gdzie y " D(L), y(j) " D(L) )" C(R>0), j = 1, . . . , n, f " D(L). Niech L(f) = F , L(y) = Y , pj := y(j)(0+),
j = 0, . . . , n, P (s) := ansn + · · · + a1s + a0. Dostajemy
n n k-1
F = akL(y(k)) = ak skY - sjpk-j-1 = P Y - Q,
k=0 k=0 j=0
gdzie Q " Pn-1(C).
Oznaczenia
Rozdział 1
Re z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Im z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
| | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
K(a, r) := {z " C : |z - a| < r}, 0 < r + ", K(a, + ") := C, K(r) := K(0, r), D := K(1) . . . . . . . . . . . 1
C(a, r) := {z " C : |z - a| = r} = "K(a, r), T := C(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
K(a, r) := {z " C : |z - a| r}, 0 0 < + ", K(a, 0) := {a}, K(r) := K(0, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A(a, r-, r+) := {z " C : r- < |z - a| < r+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
"
n
z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
C" := C \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
H+ := {x + iy " C : y > 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
exp z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
cos z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
sin z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
tg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ctg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
sinh z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
cosh z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
log z := {w " C : ew = z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Log z := ln |z| + i Arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ab := {ebw : w " log a} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Rozdział 2
fR(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
"f 1 "f "f
(a) := (a) - i (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
"z 2 "x "y
41
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
42
Oznaczenia
"f 1 "f "f
(a) := (a) + i (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
"z 2 "x "y
f (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
fC(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Pn(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
P(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
R(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
(Å‚) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Õ := sup{|Õ(z)| : z " A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A
Indł(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
O(&!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Taf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
d(Taf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
K(r) := K(a, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
a"K
d&!(a) := sup{r > 0 : K(a, r) ‚" &!} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
d&!(A) := inf{d&!(a) : a " A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Lp(&!) := Lp(&!) )" O(&!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
h
H "(&!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Aut(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
z -z
m(z , z ) := | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1-z z
1
Å‚(z) := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1-|z|2
O"(&!) := {f " O(&!) : f-1(0) = "} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
O(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
O(M, N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
O(&!), &! ‚" C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
resa f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
res " f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
orda f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
M(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
S(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
M(&!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Aut(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
AutH(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Hm := {z " C : Re z > m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
D(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
m(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
L(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Indeks nazwisk
Arzela, 25
Ascoli, 25
Casorati, 34
Cauchy, 5, 9, 11, 13 15, 18, 19, 21, 26
Euler, 5, 39
Fréchet, 9
Goursat, 13, 15, 18, 19
Green, 11, 14
Hölder, 22
Jordan, 13, 36
Laplace, 39
Laurent, 30
Liouville, 23
Moivre, 2
Montel, 25
Morera, 18
Pick, 24
Riemann, 2, 9, 26, 29, 32, 33
Schwarz, 23, 24, 26
Sochocki, 34
Taylor, 17
Vitali, 25
Weierstrass, 20, 34
Żukowski, 7
43
Indeks
argument, 1 lemat
główny, 2 Jordana, 36
atlas, 28 o produkcji funkcji holomorficznych, 17
maksymalny, 29 Schwarza, 23
liczba
biegun, 32
sprzężona, 1
w ", 32
zespolona, 1
logarytm
cykl, 26
główny, 6
homologiczny zeru, 27
zaspolony, 6
część
główna bieguna, 32
mapa, 28
główna bieguna w ", 32
zgodna z atlasem, 28
osobliwa szeregu Laurenta, 30
metryka sferyczna, 3
regularna szeregu Laurenta, 30
moduł, 1
rzeczywista, 1
urojona, 1
nierówność
trójkąta, 1
długość krzywej, 10
nierówności Cauchy ego, 21
droga, 10
norma zespolona, 1
funkcja
obrót, 3
całkowita, 16
odwzorowanie
hiperboliczne, 6
afiniczne, 3
holomorficzna, 16, 29
biholomorficzne, 16
meromorficzna, 34
holomorficzne, 29
wykładnicza, 5
konforemne, 3
Żukowskiego, 7
okrąg niewłaściwy, 4
osobliwość
gałąz jednoznaczna, 2
izolowana, 32
argumentu, 2
nieizolowana, 32
pierwiastka, 2
usuwalna, 32
usuwalna w ", 32
holomorficzność w ", 29
homografia, 3
pierwiastek zespolony, 2
elementarna, 3
pierwotna zespolona, 11
homotetia, 3
pochodna
formalna, 9
indeks punktu
zespolona, 9
względem drogi zamkniętej, 11
postać trygonometryczna, 1
względem krzywej zamkniętej, 12
potęga zespolona, 6
inwersja, 3
powierzchnia Riemanna, 29
izolowany punkt osobliwy, 32
promień zbieżności
kosinus, 5 szeregu Taylora, 17
hiperboliczny, 6 punkt
kotangens, 6 istotnie osobliwy, 32
krotność zera funkcji holomorficznej, 33 istotnie osobliwy w ", 32
45
Marek Jarnicki, Wykłady z Funkcji Analitycznych, wersja z 31 maja 2009
46
Indeks
pozornie osobliwy, 32
pozornie osobliwy w ", 32
punkty symetryczne względem okręgu, 4
różniczka Frécheta, 9
residuum, 32
w ", 32
rodzina normalna, 25
rozmaitość zespolona, 28
rzÄ…d bieguna, 32
w ", 32
rzut stereograficzny, 3
sfera Riemanna, 2
sinus, 5
hiperboliczny, 6
szereg
Laurenta, 30
tangens, 6
transformata Laplace a, 39
translacja, 3
tranzytywność, 5
twierdzenie
Cauchy ego Dixona, 26
Cauchy ego Goursata, 13, 15, 18, 19
Liouville a, 23
Montela, 25
Morery, 18
o charakteryzacji funkcji holomorficznych, 18
o funkcjach danych całką, 38
o residuach, 35
o rozwijaniu w szereg Laurenta, 30
o wartości średniej, 14
Riemanna
o osobliwościach usuwalnych, 32, 33
Sochockiego Casoratiego Weierstrassa, 34
Vitalego, 25
Weierstrassa, 20, 22
wzór
całkowy Cauchy ego, 14, 15, 18, 19
Cauchy ego Greena, 11
de Moivre a, 2
wzory
Eulera, 5
zasada
identyczności
dla funkcji holomorficznych, 20, 29
dla funkcji meromorficznych, 34
maksimum, 21, 29
minimum, 21
symetrii Riemanna Schwarza, 26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklady z funkcji analitycznych I M JarnickiWyklad 2 FUNKCJE POCHODNA IN EKOLWyklad 5 FUNKCJE POCHODNA Biol 2012Wykład 8 Funkcje skrótuWykład z chemii analitycznejwykład 5 Funkcje wielu zmiennychWyklad 3 funkcje wprowadzeniewyklad 3 Funkcje gestosci prawdopodobienstwa PL [tryb zgodności]Matematyka Sem 2 Wykład Funkcje Uwikłanewykład z chemii analitycznej (wersja do wydruku)wykład z chemii analitycznej (wersja do wydruku)wykład funkcje rekurencyjnewyklad i funkcje i definicje pieniadzaWyklad Funkcje rekurencyjneWyklad 3 funkcje wprowadzenieChemia analityczna wykładywięcej podobnych podstron