Pojęcia całki - jest to działanie odwrotne do pochodnej.
2
f 2 ( x ) =5x +6x Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.
F( x ) =?
3
x 6x
F( x ) =5 �" + +C gdzie stała C może byc dowolną liczbą
3 2
+"f ( x )dx = F( x ) + C
F 2 ( x ) = f ( x )
Wzory:
xn+1
1.
xndx = + C dla n `" -1
+"
n +1
gdy x = -1 to
2. 1
dx = ln|x|+C
+"
x
Cf (x)dx = C f (x)dx
3.
+" +"
f ( x ) ą g( x ) dx = ( x )dx ą g( x )dx
4. ( )
+" +"f +"
1
5. dx = ln( x -1)dx + C
+"
x -1
Przykład:
1
1
2
1 1 x3 x
�ł �łdx
+5x2 + x =+" dx +5+" + xdx = ln|x|+5�" + + C =
x2dx
�ł
+" �ł +"
�ł łł 1
x x 3
1
2
3
5 3
2
= ln|x|+ x3 + x + C
3 2
Przykład:
x2 x0+1 x2
( x +1)dx = xdx + 1 = + + C = + x + C
+" +" +"dx
2 0 +1 2
Przykład:
1 -1
�ł �ł
5 1
-2
2
�ł dx x x x =
+"3 +5 x + + �łdx = 3+" ++" 5 dx +5+" + +"
�ł
x2 x łł
1 1
+1 - +1 6 1
-2+1
5 2
x0+1 x x x 5
-1
5 2
= 3 + + 5 + + C = 3x + x + 5( -1)x + 2x + C =
1 - 2 + 1
1
0 + 1 6
1 + - + 1
5 2
6 1
5
-1
5 2
= 3x + x - 5x + 2x + C
6
Przykład:
1
dx = podstawiamy ( x -1) = t liczymy pochodną stronami:
+"
x -1
( x -1)2 dx = 1
dx = dt
1 1
dx = dt = ln|t|+C = ln( x -1)dx + C
+" +"
x -1 t
Przykład:
1
dx = podstawiamy ( 3x + 2 ) = t liczymy pochodną stronami:
+"
3x + 2
3dx = dt
dt
dx =
3
1 dt 1 1 1
= dt = ln|t|+C =
+" +"
t 3 3 t 3
1
= ln|3x +2|+C
3
Przykład:
3x +5 dx = podstawiamy ( 3x +5) = t liczymy pochodną stronami:
( )
+"
3dx = dt
dt
dx =
3
1
1 +1 3 3
2
1 1 1 t 1 2 2
2 2 2
3x + 5 dx = tdx = tdt = t dt = �" + C = �" �" t + C = t + C =
( )
+" +" +" +"
1
3 3 3 3 3 9
+ 1
2
3
2
= 3x + 5 + C
( )
2
9
Przykład:
2 3 3
�łx �ł
�ł
x +5�łdx = podstawiamy ( x +5) =t liczymy pochodną stronami:
+"
�ł łł
2dx
3x =dt
dt
x2dx =
3
1
1 +1 2 3
2
dt 1 1 t 1 2 2
�ł
2 3
�ł �ł
= t = t dt = �" + C = �" �" t + C = �" x3 + 5�ł 2 + C
+" +"
�ł łł
1
t 3 3 3 3 9
+ 1
http://notatek.pl/calki-pojecia-calki?notatka
2
Uproszczenia możliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy poniższy przykład:
1
dx = podstawiamy ( 2x +1) = t liczymy pochodną stronami:
+"
2x +1
2dx = dt
dt
dx =
2
1 dt 1
= = ln|2x +1|+C
+"
t 2 2
Uproszczenie 1.
Końcowy wzór:
Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
ln| f ( x )|+C
1 1 2 1 2 1
dx = �" dx =
Przykład1:
+" +" +" dx = ln|2x + 1|+C
2x + 1 2 2x + 1 2 2x + 1 2
( ) ( )
1 1 2x 1 2x 1
dx = �" dx = dx = ln| x2 + 5|+C
+" +" +"
Przykład2:
2 �ł
x2 + 5 �ł �ł �ł �ł
x2 + 5�ł 2 �ł x2 + 5�ł 2
�ł łł �ł łł
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
dx
+"
Rozwiążmy następujący przykład:
x2 + 5x + 6
Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.
-5 - 1 -5 + 1
x1 = = -3 x1 = = -2
" =1
" = b2 - 4ac = 25 - 24 = 1
2 2