Całki
Made by spajder
Ostatnia aktualizacja: 2006-07-08
Jeśli zauwa\
ysz błędy, napisz na adres : [e-mail]
1. Wprost z definicji:
f '(x)dx = f (x) + C
+"
+"dx = x + C
+"adx = ax + C
ln | x | +C;n = -1
ńł
�ł
xndx = xn+1
�ł
+"
+ C;n `" -1
�ł
ół n +1
x
a
x
+"a dx = ln a + C
+"sin xdx = - cos x + C
dx
= arcsin x + C
+"
1- x2
x
+"e dx = ex + C
+"cos xdx = sin x + C
dx
= tg x + C
+"
cos2 x
dx
= - ctg x + C
+" 2
sin x
dx
+"1+ x2 = arctg x + C
+"sinh xdx = cosh x + C
+"cosh xdx = sinh x + C
dx
= tgh x + C
+"
cosh2 x
dx
= ctg h + C
+" 2
sinh x
dx
= arsinh x + C
+"
1+ x2
dx
= arcosh x + C
+"
x2 -1
dx
+"1- x2 = artgh x + C; x "(-1,1)
dx
= arctgh x + C; x "(- ",-1)*" (1,")
+"
x2 -1
2. Wyprowadzenia:
1
x
dx
t =
dx 1 dx 1 1 dt 1 1 x
a
a
1) = = = = = arctan t + C = arctan + C
+" +" +" +"1+ 2
x
a2 + x2 a2 1+ ( x)2 dt = dx a a a
1+ ( )2 a t a
a
a a
ńł
�ł
2) zało\
enia : x " R \
�ł żł
UółkĄ + Ą �ł
2
k"Z
t = cos x
sin x - sin x dt
dx = = - dx = - = -ln | t | +C = -ln | cos x | +C
+"tg xdx = +" +" +"
cos x dt = -sin xdx cos x t
ńł
3) zało\
enia: x " R \
�ł żł
UółkĄ �ł
k"Z �ł
t = sin x
cos x dt
dx = = = ln | t | +C = ln | sin x | +C
+"ctg xdx = +" +"
sin x dt = cos xdx t
4) zało\
enia : x " R+
1
u = ln x
1
=
�" xdx = x ln x - = x ln x - x + C = x(ln x -1) + C
x
+"ln xdx = dv = 1 du= x = x ln x - +" +"dx
x
v
5) zało\
enia: x - a `" 0
Aln | t | +C;n = 1 Aln | x - a | +C;n = 1
ńł ńł
t = x - a
Adx dx dt
�ł �ł
= A = = A = A = A
�ł �ł
+" +" +" n
(x - a)n (x - a)n dt = dx t
�ł1- n t1-n + C;n `" 1 �ł1- n (x -1)1-n + C;n `" 1
ół ół
6) zało\
enia ax + b `" 0 ; a �" c `" 0
d b d b ad - bc
x + x + + -
cx + d c c c c c ad - bc dx
c a c a
dx = dx = dx = =
+" +" +" +"(1+ acb )dx = a +"dx + a �" ac +"
b b b
ax + b a a a
x + x + x + x +
a a a a
b
c ad - bc dt c ad - bc c ad - bc b
t = x +
= = + = x + ln | t | +C = x + ln | x + | +C
a
+"dx a2 +"
a t a a2 a a2 a
dt = dx
7) zało\
enia: n " Z )" (3,")
u = sinn-1 x du = (n -1)sinn-2 x cos x
n n-1
=
+"sin xdx = +"sin xsin xdx = dv = sin x
v = -cos x
n-1 n-2 n-2
- sin x cos x + -1)sin x cos2 xdx = - cos x sinn-1 x + (n -1)
+"(n +"sin x cos2 xdx =
n-1 n-2
- cos xsin x + (n -1)
+"sin x(1- sin2 x)xdx =
n-1 n-2 n n
- cos xsin x + (n -1)
+"sin xdx - (n -1)+"sin xdx = +"sin xdx
stąd:
1 n -1
n n-2
+"sin xdx = - n cos x sinn-1 x + n +"sin xdx
8) zało\
enia n " Z )" (3,")
u = cosn-1 x du = -sin x cosn-2 x
n n-1
=
+"cos xdx = +"cos x cos xdx = dv = cos x v = sin x
2 n-2
sin x cosn-1 x + -1)cosn-2 xsin xdx = sin x cosn-1 x + (n -1)
+"(n +"cos x(1- cos2 x)dx =
n-2 n
sin x cosn-1 x + (n -1)
+"cos xdx - +(n -1)+"cos xdx
stąd:
1 n -1
n n-2
+"cos xdx = n sin x cosn-1 x + n +"cos xdx
9) zało\
enia: a2 - x2 > 0
1
x
dx
t =
dx 1 dx dt x
a
a
= = = = = arcsin t + C = arcsin + C
+" +" +" +"
2
a
x
a2 - x2 a 1- ( x)2 dt = dx
1- ( )2 1- t
a
a a
10) zało\
enia: a2 - x2 e" 0
a2 - x2 dx xdx
a2 - x2 dx = dx = a2 - x =
+" +" +" +"
a2 - x2 a2 - x2 a2 - x2
u = x
du = 1
dx
x
= a2 + x a2 - x2 - a2 - x2dx
dv = +" +"
a2 - x2
a2 - x2 v = - a2 - x2
stąd:
a2 dx x a2 x x
a2 - x2 dx = + a2 - x2 = 9 = arcsin + a2 - x2 + C
+" +"
2 2 a 2
a2 - x2 2
k > 0
11) zało\
enia :
t = x + x2 + k
dx x x + x2 + k dt
= dt = (1+ )dx = dx = = ln | t | +C = ln | x + x2 + k | +C
+" +"
t
x2 + k x2 + k x2 + k
dx dt
=
t
x2 + k
12) zało\
enia : k > 0
u = x
du = 1
x2 + k x dx
x
x2 + kdx = dx = x dx + k = =
+" +" +" +" dv =
v = x2 + k
x2 + k x2 + k x2 + k
x2 + k
dx
= k + x x2 + k - x2 + kdx = x2 + kdx
+" +" +"
x2 + k
stąd:
k dx x k x
x2 + kdx = + x2 + k = 11 = ln | x + x2 + k | + x2 + k + C
+" +"
2 2 2 2
x2 + k
13) zało\
enia: f (x) `" 0
t = f (x)
f '(x) dt
dx = = = ln | t | +C = ln | f (x) | +C
+" +"
f (x) dt = f '(x)dx t
14) zało\
enia: m `" ąn
�ł
1 łł 1 1
�łsin
śł
+"sin mxsin nxdx = �ł xsin y = 2[cos(x - y) - cos(x + y) �ł = 2 +"cos[x(m - n)]dx - 2 +"cos[x(m + n)]dx =
t = x(m - n) u = x(m + n)
=
dt = (m - n)dx du = (m + n)du
1 1
+"cos[x(m - n)](m - n)dx - 2(m + n) +"cos[x(m + n)](m + n)dx =
2(m - n)
1 1 sin t sin u sin[x(m - n)] sin[x(m + n)]
+"costdt - 2(m + n) +"cosudu = 2(m - n) - 2(m + n) + C = 2(m - n) - 2(m + n) + C
2(m - n)
15) zało\
enia: m `" ąn
�ł
1 łł
�łcos
śł
+"cos mx cos nxdx = �ł x cos y = 2 [cos(x + y) + cos(x - y) �ł =
1 1 t = x(m + n) u = x(m - n)
+"cos[x(m + n)]dx + 2 +"cos[x(m - n)]dx = dt = (m + n)dx du = (m - n)dx =
2
1 1
+"cos[x(m + n)](m + n)dx + 2(m - n) +"cos[x(m - n)](m - n)dx =
2(m + n)
1 1 sint sinu sin[x(m + n)] sin[x(m- n)]
+"costdt + 2(m - n) +"cosudu = 2(m + n) + 2(m - n) +C = 2(m + n) + 2(m- n) +C
2(m + n)
16) zało\
enia: m `" ąn
�ł
1 łł 1 1
�łsin
śł
+"sinmxcosnxdx= �ł xcosx = 2[sin(x + y) + sin(x - y) �ł = 2 +"sin[x(m + n)]dx + 2 +"sin[x(m - n)]dx =
t = x(m + n) u = x(m - n)
=
dt = (m + n)dx du = (m - n)dx
1 1
+"sin[x(m + n)](m + n)dx + 2(m - n) +"sin[x(m - n)](m - n)dx =
2(m + n)
1 1 cost
+"sin tdt + 2(m - n) +"sin udu = - 2(m + n) =
2(m + n)
cosu cos[x(m + n)] cos[x(m - n)]
- + C = - - + C
2(m - n) 2(m + n) 2(m + n)
17) zało\
enia : m `" 0
t = mx
1 1 sin t sin mx
+"cos mxdx = dt = mdx = m +"cos x �" mdx = m +"costdt = m + C = m + C
18) zało\
enia : m `" 0
t = mx
1 1 cost cos mx
+"sin mxdx = dt = mdx = m +"sin x �" mdx = m +"sin tdt = - m + C = - m + C
Ą
19) zało\
enia : m `" 0;mx `" kĄ + ;k " Z
2
t = cos mx
sin mx 1 - msin mx 1 dt ln | t |
dx = = - dx = - = - + C =
+"tg mxdx = +" +" +"
cos mx dt = -msin mx m cos mx m t m
ln | cos mx |
+ C
m
20) zało\
enia : m `" 0;mx `" kĄ ;k " Z
t = sin mx
cos mx 1 m cos mx 1 dt ln | t |
dx = = dx = = + C
+"ctg mxdx = +" +" +"
sin mx dt = m cos mxdx m sin mx m t m
ln | sin mx |
+ C
m
ln t
ńł
+ C;n = -1
�ł
t = ax + b
1 1
�ł
n
21) + b)n dx = =
n+1
+"(ax +"(ax + b)n adx = a +"t dt = �ł t a + C;n `" -1 =
dt = adx a
�ł
�ł
óła(n +1)
ln(ax + b)
ńł
+ C;n = -1
�ł
�ł
a
�ł(ax + b)n+1
�ł
+ C;n `" -1
�ł
a(n +1)
ół
22) zało\
enia: b `" 0;a + b cos x `" 0
t = a + b cos x
sin x 1 - b cos xdx 1 dt 1 ln | a + b cos x |
dx = = - = - = - ln | t | +C = - + C
+" +" +"
a + b cos x dt = -bsin x b a + b cos x b t b b
23) zało\
enia: a,b " R+
3
3
2
t = a + bx
1 1 1 t 2
2
a + bxdx = = a + bx �" bdx = tdt = �" + C = �"t + C =
+" +" +"
3
dt = bdx b b b 3b
2
2
(a + bx)3 + C
3b
24) zało\
enia: x2 + px + q `" 0; p - 4q < 0
ln | t | +C;n = 1 ńł
ńł ln | x2 + px + q | +C;n = 1
2x + p t = x2 + px + q dt
�ł �ł
dx = = = =
t1-n
(x2 + px + q)1-n
�ł �ł
+" +" n
+ C;n `" 1
(x2 + px + q)n dt = (2x + p)dx t
�ł1- n + C;n `" 1 �ł
ół
ół 1- n
1
ńł 1
ńł
ln | t | +C;n = 1
�ł
�ł2 ln | x2 +1| +C;n = 1
xdx t = x2 +1 1 2xdx 1 dt
�ł
2
25) = = = = =
�ł �ł
+" +" +"
(x2 +1)n 2 (x2 +1)n 2 tn �ł t1-n + C;n `" 1 �ł (x2 +1)1-n + C;n `" 1
dt = 2xdx
�ł
ół 2 - 2n
ół2(1- n)
26) zało\
enia: n " Z;n > 1
dx x2 +1- x2 x2 +1 x2dx
= dx = -
+" +" +" +"
(x2 +1)n (x2 +1)n (x2 +1)n (x2 +1)n
dx x2dx
Oznaczmy In = , więc 26.1 In = In-1 -
+" +"
(x2 +1)n (x2 +1)n
u = x du = 1
x2dx xdx
x -1
= x = =
+" +"
(x2 +1)n (x2 +1)n dv = (x2 +1)n v = (2 - 2n)(x2 +1)n-1
- x dx - x 1 dx
+ = + =
+" +"
(2 - 2n)(x2 +1)n-1 (2 - 2n)(x2 +1)n-1 (2 - 2n)(x2 +1)n-1 (2 - 2n) (x2 +1)n-1
-1 x 1
= �" + In-1
2n - 2 (x2 +1)n-1 (2 - 2n)
podstawiając do <26.1>:
1 x 1
In = In-1 + �" - In-1
+"
2n - 2 (x2 +1)n-1 2 - 2n
dx
a poniewa\
: In = to:
+"
(x2 +1)n
dx 1 x 2n - 3 dx
= �" +
+" +"
(x2 +1)n 2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2 (x2 +1)n-1
27) zało\
enie: " = p2 - 4q < 0;n " Z+
dx dx dx dx
= = = =
+" +" +" +"
p "
(x2 + px + q)n p2 p2 p p2 - 4q
(x2 + px + + q - )n [(x + )2 - ]n [(x + )2 - ]n
2 4
4 4 2 4
2dx
2x - p
t =
- " dx - " - "
- �
- "
( )n = = ( )n �" =
+" +"
2dx
2x - p 2x - p
4 4 2
dt =
[( )2 +1]n [( )2 +1]n
- "
- " - "
1
n-
- " dt
2
( )
+" 2
4 (t +1)n
tutaj nale\
y skorzystać ze wzoru <26> (dla n>1).
28) Zało\
enia: n " Z+ ; p2 - 4q < 0
2B 2B
2x + + p - p - p
Ax + B A A 2x + p A
A A
dx = dx = dx + dx =
+" +" +" +"
(x2 + px + q)n 2 (x2 + px + q)n 2 (x2 + px + q)n 2 (x2 + px + q)n
t = x2 + px + q A dt A 2B - Ap dx
= = + �" =
+" n +"
2 t 2 A (x2 + px + q)n
dt = (2x + p)dx
2x - p
A Ap dx
ńł
u =
ln | t | +(B - ) ;n = 1
�ł +"
2 2 (x2 + px + q)n 4q - p2
�ł
= 27 = =
�ł n1-n
2dx
At Ap dx
�ł
du =
(B - ) ;n `" 1
+"
�ł
2(1- n) 2 (x2 + px + q)n
4 p - q2
ół
ńł
4q
A Ap - p2
2x - p
�ł ln(x2 + px + q) + (B - )( ) arctg + C
2 2 2
�ł
4q - p2
=
�ł
1
n-
A(x2 + px + q)1-n Ap - " du
�ł
2
+ (B - )( )
+" n
�ł
2(1- n) 2 4
(u2 +1)
ół
tutaj zastosować wzór <26>
29) Zało\
enia: b " R+
t = x - k
dx dt 1 t 1 x - k
= = = 1 = arctg + C = arctg + C
+" +" 2
(x - k)2 + b dt = dx t + b
b b b b
30) Zało\
enia : sin x `" 0
x
t = tg
2
dx dx dx dt x
dx
= = = = = ln | t | +C = ln | tg | +C
+" +" +" +"
dt =
x x x x
sin x t 2
x
2sin cos 2 tg cos2
cos2
2 2 2 2
2
31) Zało\
enia : cos x `" 0
Ą
dx �ł Ą łł dx dt t
t = + x
= cos x = sin( + x) = = = = 30 = ln | tg | +C =
�ł śł 2
+" +" +"
Ą
cos x 2 sin t 2
�ł �ł
dt = dx
sin( + x)
2
Ą x
ln | tg( + ) | +C
4 2
32) Zało\
enia: sin x cos x `" 0
t = 2x
dx dx 2dx dt t
= = = = = 30 = ln | tg | +C = ln | tg x | +C
+" +" +" +"
1
sin x cos x sin 2x dt = 2dx sin t 2
sin 2x
2
33) Zało\
enia : sin x cos x `" 0
2
dx (sin x + cos2 x)dx sin2 xdx - cos2 xdx dx dx
= = - = - =
+" 2 +" 2 +" 2 +" +" +" 2
sin x cos2 x sin x cos2 x sin x cos2 x sin2 x cos2 x cos2 x - sin x
tg x - ctg x + C
ńł
34) Zało\
enia : x " R \ + kĄ
�ł żł
UółĄ �ł
2
k"Z �ł
2
sin xdx (1- cos2 x)dx dx cos2 xdx
2
= = - = tg x - x + C
+"tg xdx = +" +" +" +"
cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x
ńł
35) Zało\
enia : x " R \
�ł żł
UółkĄ �ł
k"Z �ł
2 2
cos2 xdx (1- sin x)dx dx sin xdx
2
= = - = - ctg x - x + C
+"ctg xdx = +" 2 +" 2 +" 2 +" 2
sin x sin x sin x sin x
ńł
36) zało\
enia : n " Z;n > 2; x " R \ + kĄ
�ł żł
UółĄ �ł
2
k"Z �ł
2
sin x 1- cos2 x 1
n n-2 2 n-2 n-2 n-2
+"tg xdx = +"tg x �" tg xdx = +"tg x �" cos2 x dx = +"tg x �" cos x = +"tg x �" (cos2 x -1)dx =
t = tg x
dx 1
n-2 n-2 n-2 n-2 n-1 n-2
+"tg x �" cos2 x - +"tg xdx = dt = dx = +"t dt - +"tg xdx = n -1t - +"tg xdx =
cos2 x
1
n-2
tgn-1 - xdx
+"tg
n -1
�ł
37) zało\
enia: n " Z;n > 2; x " R \ kĄ
żł
U�ł �ł
�ł
k"Z �ł
�ł
2
cos2 x 1- sin x
n n-2 n-2 n-2
dx =
+"ctg xdx = +"ctg x �" ctg2 xdx =+"ctg x �" sin2 x dx = +"ctg x �" sin 2
x
t = ctg x
n-2
1 dx
n-2 n-2
-
+"ctg x �" (sin2 x -1)dx = +"ctg x �" sin 2 +"ctg xdx = dt = - dx =
x
sin2 x
1 1
n-2 n-2 n-1 n-2 n-2
- dt -
+"t +"ctg xdx = - n -1t - +"ctg xdx = - n -1ctgn-1x - +"ctg xdx
du = 1
u = x
x cos cx 1 sin cx x cos x
1
38) x sin cxdx = = - +
+" +"coscxdx = c2 - c + C
v = - coscx
dv = sin cx c c
c
39) zało\
enia: sin cx `" 0
t = cx
dx 1 dt 1 t 1 cx
= = = 30 = ln | tg | +C = ln | tg | +C
+" +"
sin cx dt = cdx c sin t c 2 c 2
40) zało\
enia: n "{- 2,-1}
du = 1
n+1 n+1
u = x
n+1 x(ax + b) (ax + b) dx
n
(ax + b)
x(ax + b) dx = = - =
n
+" +"
v =
dv = (ax + b) a(n +1) a(n +1)
a(n +1)
n+1 n+1
n+2
t = ax + b
x(ax + b) 1 x(ax + b) 1 t
n+1
= -
+"t dt = a(n +1) - a2(n +1) �" n + 2 + +C =
dt = adx a(n +1) a2(n +1)
n+1 n+2 n+1
x(ax + b) (ax + b) a(n + 2)x(ax + b) -(ax + bn+2)+ C =
- + C =
a(n +1) a2(n +1)(n + 2) a2(n +1)(n + 2)
a(n + 2)x - ax - b a(n -1)x - b
n+1 n+1
(ax + b) �" + C = (ax + b) + C
a2(n +1)(n + 2) a2(n +1)(n + 2)
41) zało\
enie : ax + b `" 0
t = ax + b
xdx 1 (t - b)dt 1 b dt t b ax + b b
= dt = adx = = = - ln a + C = - ln ax + b + C =
+" +" +"dt - +"
ax + b a at a2 a2 a2 a2 a2 a2
t
t - b
x =
a
x b b
+ - ln ax + b + C
a a2 a2
b
Poniewa\
jest stałą mo\
na ją włączyć do stalej całkowania. Tak więc:
a2
xdx x a
= - ln ab + b + C
+"
ax + b a b2
42) zało\
enia: ax + b `" 0
t = ax + b
2
xdx 1 (t - b) dt 1 dt 1 dt 1 1 1
= dt = adx = = - = ln t - �" + C =
+" 2 +" 2 +" +" 2
a at a2 t a2 t a2 a2 - t
(ax + b)
t - b
x =
a
1 1 1 1
ln t + = + ln ax + b + C
a2 a2t a2(ax + b) a2
ax + b `" 0; n " {1,2}
43) zało\
enia:
t = ax + b
2-n
xdx 1 (t - b)dt 1 b 1 t b t1-n
1-n -n
= dt = adx = =
+" n +" t +"t dt - a2 +"t = a2 �" 2 - n - a2 �" 1- n + C =
a at a2
(ax + b)
t - b
x =
a
t(1- n)- b(2 - n) (ax + b)(1- n)- 2b + bn ax - nax + b - bn - 2b + bn
t1-n �" - +C = + C = + C =
n-1 n-1
a2(2 - n)(1- n)
a2(2 - n)(1- n)(ax + b) a2(2 - n)(1- n)(ax + b)
a(1- n)x - b a(1- n)x - b
+ C = + C
n-1 n-1
a2(2 - n)(1- n)(ax + b) a2(n -1)(n - 2)(ax + b)
44) zało\
enia:
ax + b `" 0
t = ax + b
2
2
x2dx 1 (t - b) dt 1 t - 2tb + b2 1 dt
�ł
= dt = adx = = dt = dt + b2 łł =
+" +" +" +"tdt - 2b+" +" śł
ax + b a a2t a3 t a3 �ł t
t - b �ł �ł
x =
a
2
2
�ł łł
�ł łł
1 t 1 (ax + b)
- 2bt + b2 ln t + C = - 2b(ax + b)+ b2 ln ax + b + C
�ł śł
śł
a3 �ł 2 a3 �ł 2
�ł �ł
�ł
45) zało\
enia: ax + b `" 0
t = ax + b
2
2
x2dx 1 (t - b) dt 1 t - 2tb + b2 1 dt dt
�ł
= dt = adx = = dt = + b2 2 łł =
+" 2 +" 2 +" 2 +"dt - 2b+" +" śł
a a2t a3 t a3 �ł t t
(ax + b) �ł �ł
t - b
x =
a
�ł łł �ł łł
1 b2t 1 b2
- 2b ln t - + C = + b - 2b ln ax + b - + C
śł
a3 �łt a3 �łax ax + bśł
�ł �ł �ł �ł
46) zało\
enia: ax + b `" 0
t = ax + b
2
2
x2dx 1 (t - b) dt 1 t - 2tb + b2 1 dt dt dt
�ł
= dt = adx = = dt = - 2b + b2 3 łł =
+" 3 +" +" +" +" 2 +" śł
a a2t3 a3 t3 a3 �ł t t t
(ax + b) �ł �ł
t - b
a =
a
�ł
�ł łł
1 2b b2 1 2b b2 łł
t + - + C = ax + b + - + C
śł
śł
2 2
a3 �łln t 2t a3 �łln ax + b
2(ax + b)
�ł �ł
�ł �ł
ax + b `" 0; n " {1,2,3}
47) zało\
enia:
t = ax + b
2
2
x2dx 1 (t - b) dt 1 t - 2bt + b2 1
2-n 1-n
= dt = adx = = = [+"t dt - 2b dt + b2 -ndt]=
+" n +" n +" n +"t +"t
a a2t a3 t a3
(ax + b)
t - b
x =
a
3-n 2-n
�ł
�ł łł
1 t 2bt b2t1-n 1 1 2b b2 łł
- + + C = + - + C
śł
śł
n-3 n-2 n-1
a3 �ł3 - n 2 - n 1- n a3 �ł- (n - 3)(ax + b) (n - 2)(ax + b) (n -1)(ax + b)
�ł �ł
�ł �ł
48) zało\
enia: x(ax + b) `" 0;b `" 0
dx
+"
x(ax + b)
Funkcję podcałkową rozbijam na sumę ułamków prostych:
1 A B
a" +
x(ax + b) x ax + b
1 a" A(ax + b)+ Bx
Podstawiam x = 0 :
1
1 a" Ab �! A =
b
b
Postawiam x = -
a
b a
�ł
1 a" B �"�ł- �ł
�! B = -
�ł
a b
�ł łł
Tak więa :
dx 1 dx a dx 1 1 ax + b
= - =< 21 >= ln x - ln ax + b + C = ln + C
+" +" +"
x(ax + b) b x b ax + b b b x
49) zało\
enia: abx(ax + b) `" 0
dx
+"
x2(ax + b)
Rozbijam funkcję podcalkowa na sume ulamków prostych :
1 A B C
a" + +
x2(ax + b) x x2 ax + b
2
1 a" Ax(ax + b)+ B(ax + b)+ Cx
podstawiam x = 0 :
1
1 a" Bb �! B =
b
b
podstawiam x = -
a
2
2
b a
�ł �ł
1 a" C �" - �ł
�! C =
�ł
a b2
�ł łł
Rozpisuj ę :
2
1 a
2
1 a" Ax(ax + b)+ (ax + b)+ x
b b2
2
a a
2
1 a" Aax + Abx + x + 1 + x2
b b2
2
�ł �ł
a a
�ł �łx
2
�ł
1 a" Aa + �ł + Ab + + 1
�ł �ł
�ł
b2 �łx �ł b
łł
�ł łł
stąd:
a2 a
0 = Aa + �! A = -
b2 b2
Tak więa :
dx a dx 1 dx a2 dx a 1 a
= - + + =< 21 >= - ln x - + ln ax + b + C =
+" +" +" +"
x2(ax + b) b2 x b x2 b2 ax + b b2 bx b2
1 a ax + b
- + ln + C
bx b2 x
50) zało\
enia: abx(ax + b) `" 0
dx
+" 2
x2(ax + b)
Funkcję podcałkową rozbijam na sumę ułamków prostych.
1 A B C D
a" + + +
2 2
x x2 ax + b
x2(ax + b) (ax + b)
2 2
1 a" Ax(ax + b) + B(ax + b) + Cx2(ax + b)+ Dx2
podstawiam x = 0
1
1 a" Bb2 �! B =
b2
b
podstawiam x = -
a
2
�ł- b
�ł
1 a" D �"
�ł �ł
a
�ł łł
a2
D =
b2
podstawiam :
1 a2
2 2
1 a" Ax(ax + b) + (ax + b) + Cx2(ax + b)+ x2
b2 b2
1 a2
1 a" Ax(a2 x2 + 2abx + b2)+ (a2 x2 + 2abx + b2)+ Cx2(ax + b)+ x2
b2 b2
a2 2a a2
1 a" Aa2 x3 + 2Aabx2 + Ab2 x + x2 + x +1+ Cax3 + Cbx2 + x2
b2 b b2
�ł �ł
2a2 2a
�ł �łx
�ł �ł
1 a" (Aa2 + Ca)x3 +
�ł2Aab + b2 + Cb�łx2 + �ł Ab2 + b �ł +1
�ł łł
�ł łł
a więw:
ńł
�ł
Aa2 + Ca = 0
�ł
2a2
�ł2Aab + + Cb = 0
�ł
b2
�ł
2a
�ł
Ab2 + = 0
�ł
ół b
z ostatniego równania wyliczam:
2a
Ab2 = -
b
2a
A = -
b3
podstawiam do rownania pierwszego :
2a3
Ca =
b3
2a2
C =
b3
tak więc:
dx 2a dx 1 dx 2a2 dx a2 dx
= - + + + =< 21 >=
+" 2 +" +" +" +" 2
b3 x b2 x2 b3 ax + b b2
x2(ax + b) (ax + b)
2a 1 2a a �ł 1 1 2 ax + b �ł
�ł
- ln x - + ln ax + b + + C = -a�ł + - ln �ł + C
�ł
b3 b2 x b3 b2(ax + b) b2(ax + b) ab2 x b3 x
�ł łł
51) zało\
enia: x2 - a2 `" 0
dx dx
=
+" +"
x2 - a2 (x - a)(x + a)
rozkładam funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:
1 A B
a" +
(x - a)(x + a) x - a x + a
1 a" A(x + a)+ B(x - a)
podstawiam x = a
1
1 a" 2Aa �! A =
2a
podstawiam x = -a
1
1 a" -2Ba �! B = -
2a
tak więc:
dx 1 dx 1 dx 1 1 x - a
= - =< 21 >= (ln x - a - ln x + a )+ C = ln + C
+" +" +"
x2 - a2 2a x - a 2a x + a 2a 2a x + a
52) zało\
enia : x2 - a2 `" 0
x 1
ńł
t = - artgh t + C;t "(-1,1)
�ł
dx 1 dx 1 dt
a a
= - = = = =
�ł
+" +" +"1- 2
1
x2 - a2 a2 �ł x �ł2 dt = dx a t
�ł- artgh t + C;t "(- ",-1)*" (1,")
1- �ł �ł
a ół a
a
�ł łł
1 x
ńł
- artgh + C; x "(- a, a)
�ł
a a
�ł
1 x
�ł- artgh + C; x "(- ",-1)*" (1,")
ół a a
53) zało\
enia: a2 - x2 e" 0 a
1 3
t = a2 - x2 1 1 1 3
2 2
x a2 - x2 dx = = - dt = - t + C = - (a2 - x2) + C
+" +"t
2 3 3
dt = -2xdx
cos 2x +1 1 1 1 1
2
54) xdx = dx =
+"cos +" +"cos 2xdx + 2 +"dx =< 17 >= 4 sin 2x + 2 x + C
2 2
cos 2x -1 1 1 1
2
1
55) xdx = dx =
4
+"sin +" +"cos 2xdx - 2 +"dx =< 17 > sin 2x - 2 x + C
2 2
56) zało\
enia : a2 - x2 > 0
x = a sin t
dx x x
= t = arcsin = = t + C = arcsin + C
+" +"dt
a a
a2 - x2
dx
dt =
a2 - x2
57) zało\
enia :
a2 - x2 > 0
x = a sin t
a2 - x2 x
2
a2 - x2 dx = dx = t = arcsin = (a2 - a2 sin2 t)dt = a2(+"dt - tdt)=
+" +" +" +"sin
a
a2 - x2
dx
dt =
a2 - x2
u = 2t
1- cos 2t 1 1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł
2
dt = a2 �ł - +
�ł �ł
+"a �ł+"dt - +" +"dt 2 +"dt 2 +"cos2tdt �ł = du = 2du = a2 �ł 2 +"dt + 4 +"cosudu�ł =
2
�ł łł �ł łł �ł łł
1 1 �ł 1 x 1 x �ł
�ł �ł�ł
a2 �ł t + sin u + C = a2 �ł arcsin + sin�ł2arcsin + C =
�ł �ł �ł �ł�ł
�ł
2 4 2 a 4 2
�ł łł �ł łł
�ł łł
2
�ł
�ł 1 x 1 x x �ł 1 x x x
�łcos�łarcsin �ł�ł + C = a2 �ł arcsin + 1- �ł �ł
�ł �ł
a2 �ł arcsin + sin�łarcsin + C
�ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł
�ł
�ł �ł
2 a 2 a a 2 a 2a a
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł
�ł łł
2
a2 x ax x a2 x x
�ł �ł
arcsin + 1- �ł �ł
+ C = arcsin + a2 - x2 + C
2 a 2 a 2 a 2
�ł łł
x = asinht
x2 + a2 x
x2 + a2 dx = dx = t = arsinh = (a2 + a2 sinh2 t)dt =
+" +" +"
a
x2 + a2
dx
dt =
x2 + a2
58)
u = 2t
cosh2x -1 a2 a2
a2 + a2 2 tdt = sinh2 x = = a2 +
+"dt +"sinh +"dt 2 +"cosh2tdt - 2 +"dt = du = 2dt
2
a2 a2 a2t a2 a2 x a2 x x
�ł
�ł
+"dt + 4 +"coshudu = 2 + 4 sinh(u)+ C = 2 arsinh a + 2 cosh(arsinh a)sinh�łarsinh a �ł + C =
2
�ł łł
sinh(arsinh x) = x
a2 x a2 x x2 a2 x x
= arsinh + �" �" +1 + C = arsinh + x2 + a2 + C
cosh(arsinh x) = x2 +1 2 a 2 a a2 2 a a
x = a sinh t
dx x x
59) = t = arsinh = = t + C = arsinh + C
+" +"dt
a a
a2 + x2
dx
dt =
a2 + x2
60) zało\
enia: a2 - x2 > 0; x `" 0
x = asint
a2 - x2 dx a2 - x2 x a2 - a2 sin2 t dt
= dx = t = arcsin = dt = a - a
+" +" +" +" +"sintdt
x a asint sint
x a2 - x2
dx
dt =
a2 - x2
t x 1- cosx 1- cost
< 30 >=aln tg + acost + C == aln + acost + C =
2 2 sin x sint
x
�ł x2
1- cos�łarcsin
�ł �ł 1- 1-
sin(arcsinx)= x
a x
�ł
�ł łł a2 + a 1- x2 + C =
aln + acos�łarcsin + C =< >= aln
�ł �ł
x
x a cos(arcsinx)= 1- x2
�ł a2
�ł łł
sin�łarcsin
�ł �ł
a
a
�ł łł
a - a2 - x2 x
aln + a2 - x2 + C = -aln + a2 - x2 + C =
x
a - a2 - x2
x(a + a2 - x2 ) x(a + a2 - x2 )
a2 - x2 - a ln + C = a2 - x2 - a ln + C =
a2 - a2 + x2
(a - a2 - x2 )(a + a2 - x2 )
x(a + a2 - x2) a + a2 - x2
a2 - x2 - a ln + C = a2 - x2 - a ln + C
x2 x
61) a2 - x2 > 0; x `" 0
t = a2 - x2 u2 = t
2
a2 - x2 dx x a2 - x2 dx 1 tdt u du
= = dt = -2xdx = - = 2udu = dt = - =
+" +" +" +"
x x2 2 a2 - t a2 - u2
x2 = a2 - t t = u
2
- u + a2 - a2 du 1 u - a a u - a
du = + a2 2 = < 51 >= u + a2 �" ln + C = u + ln + C =
+" +"du +"
a2 - u2 u - a2 2a u + a 2 u + a
a t - a a a2 - x2 - a
t + ln + C = a2 - x2 + ln + C
2 2
t + a
a2 - x2 + a
62) zało\
enia: a2 - x2 > 0
x = asint
x2dx x 1- cos2x 1- cos2t
2
= t = arcsin = sin2 tdt = a2 2 tdt =< sin2 x = >= a2 dt =
+" +"a +"sin +"
a 2 2
a2 - x2
dx
dt =
a2 - x2
u = 2t
a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2
+"dt - 2 +"cos2tdt = du = 2dt = 2 +"dt - 4 +"cosudu = 2 t - 4 sinu + C = 2 t - 4 sin 2t + C =
2
sin(arcsinx)= x
a2 a2 a2 x a2 x x
�łcos�łarcsin �ł
t - sint cost + C = arcsin - sin�łarcsin + C =< >=
�ł �ł �ł �ł
2 2 2 a 2 a a cos(arcsin)= 1- x2
�ł łł �ł łł
a2 x a2 x x2 a2 x x
arcsin - �" �" 1- + C = arcsin - a2 - x2 + C
2 a 2 a a2 2 a 2
t = a2 + x2 1 1 1 3
63) x a2 + x2 dx = = tdt = t3 + C = (a2 + x2) + C
+" +"
2 3 3
dt = 2xdx
x = a sinh t
x(a2 + x2)dx x
2
x a2 + x2 dx = = t = arsinh = sinh t(a2 + a2 sinh t)dt =
+" +" +"a
a
64) a2 + x2
dx
dt =
a2 + x2
a3 tdt + a3 3 tdt =< sinh2 x = cosh2 x -1 >= a3 tdt + a3 t(cosh2 t -1)dt =
+"sinh +"sinh +"sinh +"sinh
u = cosht
a3
= a3 (u2 -1)du = a3 cosht + u3 - a3u + C =
+"sinhtdt + a3+"
du = sinhtdt 3
2
�ł �ł
a3 a3 a3 x a3 x2
�ł
u3 + C = cosh3 t + C = cosh3�łarsinh + C =< cosh(arsinh x) = 1+ x2 >= �ł �ł
�ł �ł
�ł1+ + C =
3 3 3 a 3 a2 �ł
�ł łł
�ł łł
1 3
(a2 + x2) + C
3
65)
1
1 1
2
-
xdx t = x2 + a2 1 2xdx 1 dt 1 1 t
2 2
= = = = dt = �" + C = t + C =
+" +" +" +"t 2 1
x2 + a2 dt = 2xdx 2 x2 + a2 2 t 2
2
a2 + x2 + C
66)
x = asinht
xdx x x
�ł
= t = arsinh =
�ł
+" +"asinhtdt = a cosht + C = acosh�łarsinh a �ł =
a
�ł łł
x2 + a2
dx
dt =
x2 + a2
x2
=< cosh(arsinh x) = x2 +1 >= a 1+ + C = x2 + a2 + C
a2
67) zało\
enia: x `" 0
x
t = tgh
2
dx dx dx dx
dx
= = = = =
+" +" +" +"
dt =
x x x x x x x
sinh x
x
2sinh cosh 2 tgh cosh cosh 2 tgh cosh2
2cosh2
2 2 2 2 2 2 2
2
dt x
= ln t + C = ln tgh + C
+"
t 2
t = cx
1 1 1 1
68) cxdx =
+"sinh +"sinh cx �" cdx = dt = cdx = c +"sinh tdt = c cosh t + C = c cosh cx + C
c
t = cx
1 1 1 1
69) cxdx =
+"cosh +"cosh cx �" cdx = dt = cdx = c +"cosh tdt = c sinh t + C = c cosh cx + C
c
cosh2x -1 cosh2x -1 1 1 1 1
2
70) xdx = sinh2 x = = dx =
+"sinh +" +"cosh2x - 2 +"dx =< 69 > 4 sinh2x - 2 x + C
2 2 2
71)
cosh 2x +1 cosh 2x +1 1 1
2 2
dx =
+"cosh xdx = cosh x = 2 = +" +"cosh 2xdx + 2 +"dx =< 69 >=
2 2
1 1
sinh 2x + x + C
4 2
72) zało\
enia: x > 0;a > 0;a `" 1
ln xdx 1 1 ln x x x
=
a
+"log xdx = +" +"ln xdx = 4 = ln a x(ln x -1)+ C = x �" ln a - ln a + C = x loga x - ln a + C
ln a ln a
73) zało\
enia: x > 0;a > 0;a `" 1
1
u = loga x
x 1 x
du =
dx = x loga x -
a x ln a
+"log xdx = dv = 1 v = x = x loga x - +" +"dx = x loga x - ln a + C
x ln a ln a
t = cosh x
sinh x dt
74) xdx = dx = = = ln t + C = ln cosh x + C = ln cosh x + C
+"tgh +" +"
cosh x dt = sinh xdx t
75) zało\
enia: x `" 0
t = sinh x
cosh x dt
dx = = = ln t + C = ln sinh x + C
+"ctghxdx = +" +"
sinh x dt = cosh xdx t
Spis treści:
Funkcja Całka Zało\
enia Numer
Całki funkcji wymiernych
1
1 1 x
arctg
a2 - x2 a a
Aln | x
A ńł - a | +C;n = 1
5
�ł
A
�ł
(x - a)n
x - a `" 0
�ł1 - n (x -1)1-n + C;n `" 1
ół
cx + d c ad - bc b 6
x + ln | x + |
ax + b `" 0;a �"c `" 0
a a2 a
ax + b
21
ln(ax+b)
ńł
+C;n = -1
(ax + b)n
�ł
�ł
a
n+1
�ł(ax+b)
�ł
+C;n `" -1
�ł
a(n+1)
ół
2x + p 24
x2 + px + q `" 0; p - 4q <
ńł
ln | x2 + px + q | +C;n = 1
�ł
(x2 + px + q)n �ł
(x2 + px + q)1-n
+ C;n `" 1
�ł
ół 1- n
x 25
1
ńł
�ł2 ln | x2 +1| +C;n =1
(x2 +1)n
�ł
(x2 +1)1-n
�ł
+ C;n `" 1
ół 2 - 2n
1 1 x 2n - 3 dx 26
�" +
+" n " Z;n > 1
2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2 (x2 +1)n-1
(x2 +1)n
1
27
dx n-
- " dt
2
( )
p2 - 4q < 0;n " Z+
+"
(x2 + px + q)n
4 (t2 +1)n
Ax + B 28
ńł
4q
A Ap - p2 2x - p
(x2 + px + q)n �ł 2 ln(x2 + px + q) + (B - 2 )( 2 )arctg 4q - p2 + C n " Z+; p2 - 4q < 0
�ł
�ł
1
n-
A(x2 + px + q)1-n Ap - " du
�ł
2
+ (B - )( )
+" n
�ł
2(1- n) 2 4
(u2 +1)
ół
1 x - k 29
1
arctg
b " R+
b b
(x - k)2 + b
a(n -1)x - b 40
n+1
n
(ax + b)
x(ax + b) n "{- 2,-1}
a2(n +1)(n + 2)
x x b b 41
+ - ln ax + b + C
ax + b `" 0
a a2 a2
ax + b
1 1 42
x
+ ln ax + b
2
ax + b `" 0
a2(ax + b) a2
(ax + b)
x a(1- n)x - b 43
ax + b `" 0;n "{1,2}
n n-1
(ax + b) a2(n -1)(n - 2)(ax + b)
2
ax + b `" 0 44
x2 �ł łł
1 (ax + b)
- 2b(ax + b)+ b2 ln ax + b
�ł śł
ax + b
a3 �ł 2
�ł
ax + b `" 0 45
x2 �ł łł
1 b2
+ b - 2b ln ax + b -
2
(ax + b) a3 �łax ax + bśł
�ł �ł
ax + b `" 0 46
x2 �ł łł
1 2b b2
ax + b + -
3 śł
2
(ax + b) a3 �łln ax + b
2(ax + b)
�ł �ł
47
�ł łł ax + b `" 0;n "{1,2,3}
x2 1 1 2b b2
+ -
śł
n-3 n-2 n-1
n
a3 �ł- (n - 3)(ax + b) (n - 2)(ax + b) (n -1)(ax + b)
(ax + b) �ł �ł
1 48
1 ax + b x(ax + b)`" 0;b `" 0
- ln
x(ax + b)
b x
49
1 abx(ax + b) `" 0
1 a ax + b
- + ln
x2(ax + b)
bx b2 x
50
1 abx(ax + b) `" 0
�ł 1 1 2 ax + b �ł
- a�ł + - ln �ł
2
�ł �ł
x2(ax + b) b2(ax + b) ab2x b3 x
�ł łł
51
1 1 x - a x2 - a2 `" 0
ln
2
2a x + a
x2 - a
52
1
1 x x2 - a2 `" 0
ńł
- artgh + C; x "(- a,a)
2 �ł
x2 - a a a
�ł
1 x
�ł- arctg + C; x "(- ",-1)*" (1,")
ół a a
Całki funkcji niewymiernych
1 x 9
a2 - x2 > 0
arcsin
a
a2 - x2
1 x 56
a2 - x2 > 0
arcsin
a
a2 - x2
10
a2 x x a2 - x2 > 0
a2 - x2
arcsin + a2 - x2
2 a 2
57
a2 x x
a2 - x2 > 0
a2 - x2
arcsin + a2 - x2
2 a 2
1 k > 0 11
ln | x + x2 + k |
x2 + k
1 x 59
arsinh
a
x2 + a2
x k > 0 12
x2 + k
ln | x + x2 + k | + x2 + k
2
58
a2 x x
a2 + x2
arsinh + x2 + a2
2 a a
2 23
a,b" R+
a + bx
(a + bx)3
3b
1 3 53
a2 - x2 e" 0
x a2 - x2
- (a2 - x2)
3
60
a2 - x2 > 0; x `" 0
a2 - x2
a + a2 - x2
a2 - x2 - a ln
x
x
61
a2 - x2 > 0; x `" 0
a2 - x2
a a2 - x2 - a
ln
x
2
a2 - x2 + a
62
x2 a2 x x a2 - x2 > 0
arcsin - a2 - x2
2 a 2
a2 - x2
1 3 63
x a2 + x2
(a2 + x2)
3
1 3 64
x a2 + x2
(a2 + x2)
3
65
x
x2 + a2
x2 + a2
 66
x
x2 + a2
x2 + a2
Całki funkcji trygonometrycznych
tg x
- ln | cos x | 2
ńł
x " R \
�ł żł
UółkĄ + Ą �ł
2
k"Z �ł
ctg x
ln | sin x | 3
ńł
x " R \
�ł żł
UółkĄ �ł
k"Z �ł
1 n -1 n " Z )" (3,") 7
sinn x
n-2
- cos xsinn-1 x +
+"sin xdx
n n
1 n -1 n " Z )" (3,") 8
cosn x
n-2
sin x cosn-1 x +
+"cos xdx
n n
m `" ąn
sin mx sin nx sin[x(m - n)] sin[x(m + n)] 14
-
2(m - n) 2(m + n)
cos mx cos nx m `" ąn 15
sin[x(m + n)] sin[x(m - n)]
+
2(m + n) 2(m - n)
m `" ąn
sin mx cos nx cos[x(m + n)] cos[x(m - n)] 16
- -
2(m + n) 2(m + n)
cos mx m `" 0 17
sin mx
m
sin mx cos mx m `" 0 18
-
m
tgmx
ln | cos mx | m `" 0 19
m
ctgmx
ln | sin mx | m `" 0 20
m
sin x ln | a + b cos x | b `" 0;a + b cos x `" 0 22
-
a + b cos x b
1 sin x `" 0 30
x
ln tg
sin x
2
1 Ą x cos x `" 0 31
ln | tg( + ) |
cos x 4 2
1 ln | tg x | sin x cos x `" 0 32
sin x cos x
tg x - ctg x
1 sin x cos x `" 0 33
2
sin x cos2 x
tg x - x
34
tg2 x ńł
" R \ + kĄ
�ł żł
UółĄ �ł
2
k"Z �ł
- ctg x - x
35
ctg2 x ńł
x " R \
�ł żł
UółkĄ �ł
k"Z �ł
ńł
�ł
1
tgn x
n-2
n " Z;n > 2; x " R \ + kĄ
�ł żł
UółĄ 36
tgn-1 - xdx
+"tg 2
k"Z �ł
n -1
�ł
1 37
ctgn x
n-2
n " Z;n > 2; x " R \ kĄ
- ctgn-1 x - żł
U�ł �ł
�ł
+"ctg xdx
k"Z �ł
n -1 �ł
xsin cx sin cx x cos x 38
-
c2 c
1 1 cx sin cx `" 0 39
ln | tg |
sin cx c 2
1 1 54
cos2 x
sin 2x + x
4 2
1 1 55
sin2 x
sin 2x - x
4 2
Całki funkcji hiperbolicznych
sinh cx 1 68
cosh cx
c
cosh cx 1 69
sinh cx
c
2
1 1 70
sinh x
sinh 2x - x
4 2
1 1 71
cosh2 x
sinh 2x + x
4 2
1 x `" 0 67
x
ln tgh
sinh x
2
tgh x ln cosh x 74
ctgh x x `" 0 75
ln sinh x
Całki funkcji wykładniczych
Całki funkcji logarytmicznych
ln x x(ln x -1) 4
x " R+
1 x x > 0;a > 0;a `" 1 72
loga x
x(ln x -1) = x loga x -
ln a ln a
x x > 0;a > 0;a `" 1 73
loga x
x loga x -
ln a
Całki funkcji arcus
Całki funkcji area
Wzory rekurencyjne
1 n -1 n " Z )" (3,") 7
sinn x
n-2
- cos xsinn-1 x +
+"sin xdx
n n
1 n -1 n " Z )" (3,") 8
cosn x
n-2
sin x cosn-1 x +
+"cos xdx
n n
1 1 x 2n - 3 dx n " Z;n > 1 26
�" +
+"
(x2 +1)n 2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2 (x2 +1)n-1
ńł
�ł
1
tgn x
n-2
n " Z;n > 2; x " R \ + kĄ
�ł żł
UółĄ 36
tgn-1 - xdx
+"tg 2
k"Z �ł
n -1
�ł
1 37
ctgn x
n-2
n " Z;n > 2; x " R \ kĄ
- ctgn-1 x - żł
U�ł �ł
�ł
+"ctg xdx
k"Z �ł
n -1 �ł
Inne
f '(x) ln | f (x) | f (x) `" 0 13
f (x)