Fakt 4.1.4 (pochodne ważniejszych funkcji elementarnych)
Funkcja Pochodna Zakres zmienności
c
0
c " R
n " N, x " R
xn nxn-1
p p-1
p " {-1, -2, -3, ...}, x `" 0
x px
Ä… " R, x > 0
xÄ… Ä…xÄ… -1
cos x
sin x x " R
cos x
- sin x x " R
Funkcja Pochodna Zakres zmienności
tg x Ä„
1
x `" + kĄ , gdzie k " Z
= 1 + tg2 x
2
cos2 x
ctg x x `" kĄ , gdzie k " Z
- 1
= -1 - ctg2 x
2
sin x
x x
0 < a `" 1, x " R
a a ln a
x " R
ex ex
shx chx x " R
chx shx x " R
thx 1 x " R
2
ch x
x `" 0
cthx - 1
2
sh x
arcsin x
1
x < 1
1 - x2
arccosx
- 1
x < 1
1 - x2
arctgx
1 x " R
1 + x2
arcctgx
- 1 x " R
1 + x2
0 < a `" 1, x " R
1
loga x
x ln a
x > 0
ln x 1
x
g
Uwaga. Do obliczania pochodnych funkcji postaci f oraz log g stosujemy wzory:
f
g
ln g
f = eg ln f
log g =
f
ln f
Fakt 4.5.3 (pochodne wyższych rzędów ważniejszych funkcji)
Funkcja n-ta pochodna Zakres zmienności
x " R
ex ex
sin x x " R
nĄ
öÅ‚
sinëÅ‚ x +
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
cos x
x " R
nĄ
öÅ‚
cosëÅ‚ x +
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
m! n d" m, x " R
xm
xm-n
(m - n)!
1 x `" 0
(-1)n n!
x
xn+1
ln x x > 0
(-1)n-1(n -1)!
xn
Fakt 7.2.4 (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)
Funkcja Całka nieoznaczona Zakres zmienności
0 C
x " R
n " N *" {0}, x " R
xn xn+1
+ C
n + 1
p p+1
p " {-2, -3, -4, ...}, x `" 0
x
x
+ C
p + 1
Ä… " R \ {-1}, x > 0
xÄ… xÄ… +1
+ C
Ä… + 1
1 x `" 0
ln x + C
x
x x
0 < a `" 1, x " R
a a
+ C
ln a
x " R
ex ex + C
sin x - cos x + C x " R
cos x
sin x + C x " R
Funkcja Całka nieoznaczona Zakres zmienności
x `" kĄ , gdzie k " Z
1 - ctg x + C
2
sin x
Ä„
1 tg x + C
x `" + kĄ , gdzie k " Z
2
cos2 x
1 arctgx + C lub - arcctgx + C x " R
1 + x2
1 arcsin x + C lub - arccos x + C
x < 1
1 - x2
shx chx + C x " R
chx shx + C x " R
1 - cthx + C x `" 0
2
sh x
1 thx + C x " R
2
ch x
Uwaga. W powyższej tabeli symbol C oznacza dowolną stałą rzeczywistą.
Fakt 7.2.5 (tabela całek ważniejszych typów funkcji)
Wzór Zakres zmienności
n+1
n" N *"{0}
f
n /
f (x) f (x)dx = + C
+"
n + 1
/
f (x) `" 0
f (x)
dx = ln f (x) + C
+"
f (x)
/
f (x) `" 0
f (x) 1
dx = - + C
+" 2
f (x) f (x)
f (x) / f ( x)
x " D
f
+"e f (x)dx = e + C
/
f (x) > 0
f (x)
dx = 2 f (x) + C
+"
f (x)
Uwaga. Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z reguł różniczkowania funkcji złożonych oraz definicji całki nieoznaczonej.