Podstawowe pochodne
f(x) f (x)
xą ąxą-1
sin x cos x
cosx - sin x
1
tgx
cos2 x
1
loga x
x ln a
ax ax ln a
1 Pochodna iloczynu funkcji
fg (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0).
2 Pochodna ilorazu funkcji
Jeżeli g(x0) = 0 to:

f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
(x0 = .
g g2(x0)
3 Pochodna funkcji zlożonej
Niech � b� funkcja różniczkowaln� w punkcie x0 , a f funkcja różniczkowaln� w punkcie
edzie � a � a
y0 = �(x0). Wtedy funkcja f ć% � jest różniczkowalna w x0 oraz
(f ć% �) (x0) = f �(x0) � (x0)
Podstawowe calki
f(x) xą, ą = -1 x-1 ax sin x cos x

xą+1 ax
f(x)dx ln |x| - cos x sin x
ą+1 ln a
1 1 1 1
"
f(x) ex
cos2 x sin2 x 1+x2 2 1-x2
f(x)dx tgx -ctg x arctgx arcsin x ex
WZÓR NA CALKOWANIE PRZEZ CZEŚCI
�
Niech f, g b� a funkcjami różniczkowalnymi w przedziale U. Zakladamy, że funkcja fg ma
ed�
funkcj� pierwotn� Wtedy funkcja f g ma funkcj� pierwotn� oraz
e a. e a
f (x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g (x)dx (1)
WZÓR NA CALKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE
Jeżeli funkcja f : (a, b) �" R R ma funkcj� pierwotn� F, a funkcja Ć : (ą, �) �" R
e a
(a, b) �" R jest różniczkowalna, to funkcja pierwotn� funkcji f(Ć(x))Ć (x) jest funkcja F ć% Ć oraz
� a
f(Ć(x))Ć (x)dx = f(y)dy, (2)
gdzie y = Ć(x).