Podstawowe pochodne
f(x) f (x)
xÄ… Ä…xÄ…-1
sin x cos x
cosx - sin x
1
tgx
cos2 x
1
loga x
x ln a
ax ax ln a
1 Pochodna iloczynu funkcji
fg (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0).
2 Pochodna ilorazu funkcji
Jeżeli g(x0) = 0 to:

f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
(x0 = .
g g2(x0)
3 Pochodna funkcji zlożonej
Niech Õ b¸ funkcja różniczkowaln¸ w punkcie x0 , a f funkcja różniczkowaln¸ w punkcie
edzie ¸ a ¸ a
y0 = Õ(x0). Wtedy funkcja f ć% Õ jest różniczkowalna w x0 oraz
(f ć% Õ) (x0) = f Õ(x0) Õ (x0)
Podstawowe calki
f(x) xÄ…, Ä… = -1 x-1 ax sin x cos x

xÄ…+1 ax
f(x)dx ln |x| - cos x sin x
Ä…+1 ln a
1 1 1 1
"
f(x) ex
cos2 x sin2 x 1+x2 2 1-x2
f(x)dx tgx -ctg x arctgx arcsin x ex
WZÓR NA CALKOWANIE PRZEZ CZEŚCI
¸
Niech f, g b¸ a funkcjami różniczkowalnymi w przedziale U. Zakladamy, że funkcja fg ma
ed¸
funkcj¸ pierwotn¸ Wtedy funkcja f g ma funkcj¸ pierwotn¸ oraz
e a. e a
f (x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g (x)dx (1)
WZÓR NA CALKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE
Jeżeli funkcja f : (a, b) ‚" R R ma funkcj¸ pierwotn¸ F, a funkcja Ć : (Ä…, ²) ‚" R
e a
(a, b) ‚" R jest różniczkowalna, to funkcja pierwotn¸ funkcji f(Ć(x))Ć (x) jest funkcja F ć% Ć oraz
¸ a
f(Ć(x))Ć (x)dx = f(y)dy, (2)
gdzie y = Ć(x).