Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 1
Chemia - Zestaw nr 7. Całki nieoznaczone
1. Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx (na tym przedziale).
2. Całkowanie przez podstawienie. Jeśli funkcja x = f(t) ma ciągłą pochodną f (t) na przedziale T ,
to dla funkcji g(x) określonej na przedziale f(T ) zachodzi

g(x) dx = g[f(t)]f (t) dt
(wzór ten ma zastosowanie w obie strony).
3. Podstawowe wzory całkowania:


xą+1
dx ax
xą dx = + C
= ln |x| + C axdx = + C exdx = ex + C
ą + 1
x ln a
(ą = -1)



dx dx 1 x dx
dx
= arc tg x + C = arc tg + C = tg x + C
= - ctg x + C
1 + x2 a2 + x2 a a cos2 x
sin2 x

dx dx x
" = arc sin x + C " = arc sin + C sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C
|a|
1 - x2 a2 - x2
4. Całkowanie niektórych wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne:
Całki z funkcji postaci sinn x cosm x . Jeżeli któraś z liczb n lub m jest nieparzysta, to stosujemy podstawienie
t = sin x (gdy m jest nieparzyste) względnie t = cos x (gdy n jest nieparzyste). Jeżeli natomiast oba
wykładniki są parzyste, to możemy obniżyć potęgi sin x i cos x za pomocą wzorów trygonometrycznych:
sin2 x = (1/2) - (1/2) cos 2x , cos2 x = (1/2) + (1/2) cos 2x , sin x cos x = (1/2) sin 2x itp.
Jeżeli pod całką są iloczyny sinusów lub cosinusów różnych argumentów, wtedy zamieniamy taki iloczyn na
sumę wg następujących wzorów:

1
sin ą cos � = sin(ą + �) + sin(ą - �)
2

1
cos ą cos � = cos(ą - �) + cos(ą + �)
2

1
sin ą sin � = cos(ą - �) - cos(ą + �)
2
Całki z funkcji tgn x i ctgm x liczymy za pomocą podstawienia odpowiednio t = tg x lub t = ctg x (lub
odpowiednich wzorów rekurencyjnych).
Ogólna metoda całkowania wyrażeń postaci R(sin x, cos x) , gdzie R(x, y) jest funkcją wymierną zmiennych x
i y zostanie podana po omówieniu metod całkowania funkcji wymiernych.
Zadania
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 2
1) Policzyć całki, wykorzystując jedynie wzory
podstawowe:
x + 1 x4 27 + x x2
a) dx b) dx c) " dx d) dx
3
x 1 + x2 3 + x x2 + 1

ex - 4 � 3x + 2x x 1
e) tg2x dx f) dx g) sin2 dx h) dx
3x 2
sin2 x cos2
x

4 - x x2 + x + 1 cos 2x 2 5x
"
i) " dx j) dx k) dx l) + dx
3
x(x2 + 1) cos x - sin x x x

2 + x " "
3
4 4
sin 2x (1 - x)2 -3 + x x - 2 x x
m) dx n) " dx o) " dx
cos x x x x
2) Policzyć całki, w których argument jest funkcją liniową zmiennej x :

1
a) e7xdx b) cos 4xdx c) dx d) e3x+4dx
x + 2
3) Całki
"liczone przez podstawienie
"
1 + ln x e2x 1 x
a) dx; b) " dx; c) sin x cos(cos x)dx; d) e1/x dx; h) " dx;
4 4
x x2
1 + ex
1 + x3

cos(ln x) 1 x
i) dx; j) dx; l) " dx;
x x ln x ln(ln x)
1 + x2
4) Całki liczone części (lub części i przez podstawienie):
przez przez
"
arc sin x
a) xe3x dx, x2e3x dx; b) x2 sin 2x dx; c) x2 ln x dx; d) arc tg 2x - 1 dx; e) dx;
x2
3

xex ln(sin x) ln x
f) arc tg x dx; g) dx; h) dx; i) ln x dx; ln2x dx; j) dx;
(1 + x)2 x
sin2 x

arc tg x
k) arc sin x dx; l) x arc tg x dx; (m) e2x sin 3x dx, e2x cos 3x dx; n) dx.
x4
Uwagi i wskazówki: e) obliczyć dwoma sposobami; g) jest nieco nietypowe; m) całkować dwa razy przez
części, za każdym razem przyjmując konsekwentnie za u ten sam typ funkcji, tzn. wykładniczą lub trygonome-
tryczną (ta mnemotechniczna reguła zabezpiecza nas przed bezproduktywnym powrotem do wyjściowej całki
z tym samym współczynnikiem tzn. plus jeden); w ten sposób doprowadzamy liczoną całkę do tej samej całki
ale z innym współczynnikiem (w szczególności, np. ze znakiem  minus ) i wyliczamy ją z równania w którym
występuje po obu stronach.
5) Proste całki z funkcji trygonometrycznych:

a) sin3 x cos4 x dx; b) sin4 x cos x dx; c) tg4 x dx; d) sin 3x sin 4x sin 5x dx;

e) cos2 x dx; f) sin2 x dx; g) sin2 x cos2 x dx; h) sin4 x cos2 x dx; i) sin4 x dx;

j) sin6 x dx.
Całkowanie funkcji wymiernych.
�(x)
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu (być może równego zeru) i funkcji ,
�(x)
gdzie �(x) i �(x) - wielomiany, takie że stopień �(x) jest mniejszy od stopnia �(x) . W dalszym ciągu
będziemy zakładać, że wszystkie rozważane wielomiany są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych (co
jest naturalne, gdyż zajmujemy się całkowaniem funkcji o wartościach rzeczywistych). Załóżmy że wielomian
�(x) ma k parami różnych pierwiastków rzeczywistych x1, . . . , xk o krotnościach m1 , m2 , . . . , mk od-
powiednio oraz l różnych par pierwiastków zespolonych nierzeczywistych ak+1 ą bk+1i , ak+2 ą bk+2i , . . . ,
ak+l ą bk+li o krotnościach mk+1 , mk+2 , . . . , mk+l odpowiednio (dla wielomianu o współczynnikach rze-
czywistych, a tylko takie tu rozpatrujemy, krotność pierwiastków zespolonych sprzężonych nierzeczywistych
aj + bji oraz aj - bji jest taka sama). Wielomian rozkłada się więc na iloczyn czynników postaci (x - xi)mi
dla i = 1, . . . , n oraz pewnej ilości czynników postaci (ax2 + bx + c)m gdzie trójmian jest nierozkładalny nad
�(x)
R , tzn. " = b2 - 4ac < 0 . Funkcja (gdzie, jeszcze raz podkreślmy, deg �(x) < deg �(x) ) rozkłada się
�(x)
wtedy na sumę tzw. ułamków prostych. Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi xi odpowiada ułamek postaci
A B1 B2 Bk
, każdemu m- krotnemu pierwiastkowi xi odpowiada k ułamków: , , . . . ,
x - xi x - xi (x - xi)2 (x - xi)m
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 3
(tzw. ułamki proste pierwszego rodzaju). Pojedynczemu nierozkładalnemu czynnikowi R = ax2 + bx + c odpo-
Mx + N
wiada tzw. ułamek drugiego rodzaju , a czynnikowi postaci Rm = (ax2 + bx + c)m odpowiada m
ax2 + bx + c
M1x + N1 M2x + N2 Mmx + Nm
ułamków prostych (II rodzaju) postaci , , . . . , , gdzie M1 ,
(ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
N1 , . . , Mm , Nm są liczbami rzeczywistymi. Do scałkowania mamy więc wyrażenia:
.
A B B 1
Ia) dx = A ln |x - xi| + C; Ib) dx = - � + C, m 2;
m - 1 (x - xi)m-1
x - xi (x - xi)m
Mx + N Mx + N
IIb) dx, w szczególności IIa) dx.
(ax2 + bx + c)m ax2 + bx + c
W całkach IIb) i IIa) przede wszystkim wydzielamy część, w której licznik jest (z dokładnością do stałej)
pochodną trójmianu w mianowniku - w tym celu dzielimy licznik ( Mx + N ) przez pochodną trójmianu czyli
(2ax + b)  otrzymujemy pewien iloraz (oczywiście jest to M/(2a) ) i pewną resztę - powiedzmy r . Ponieważ
całka, w której licznik jest pochodną trójmianu występującego w mianowniku, liczy się łatwo - pozostają do

dx
obliczenia całki . Niech R = ax2 + bx + c , " = b2 - 4ac . Mamy:
(ax2 + bx + c)m

dx 2 2ax + b
"
= arc tg " + C
R -" -"
(dla rozważanego przypadku " < 0 ) oraz zachodzi rekurencyjny wzór

dx 2ax + b (4m - 6)a dx
= - - , m > 1.
Rm " � (m - 1)Rm-1 " � (m - 1) Rm-1
W szczególności dla R = x2 + 1

dx x 2m - 3 dx
= + , m > 1.
(x2 + 1)m (2m - 2)(x2 + 1)m-1 2m - 2 (x2 + 1)m-1
(Konieczności stosowania wzorów rekurencyjnych można uniknąć, stosując tzw. metodę Ostrogradskiego - zob.
niżej.)
1) Obliczyć całki:

1 1 3x2 + 8 3
a0) dx; a1) dx; a) dx; b) dx;
1 - x2 x(1 + x2) x3 + 4x2 + 4x (x - 1)(x + 1)

1 1 x + 1 x + 2
c) dx; d) dx; e) dx; f) dx;
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5

2x5 + 6x3 + 1 1 x + 1
g) dx; h) dx; i) dx;
x4 + 3x2 1 + x4 (x2 + x + 2)(x2 + 4x + 5)

x5 + 2 1 1 1
j) dx; k) dx; l) dx; m1) dx;
x3 - 1 (x2 + 1)2 (x2 + 1)3 (x2 + 1)3

x2 (2x + 3)dx 4 dx dx
m2) dx; n) dx; o) ; p) ;
(x2 + 1)3 x3 + x2 - 2x x3 + 4x x2(1 + x2)2

dx dx dx dx
p1) ; r) ; s) ; t) .
x(1 + x2)2 1 + x3 x(x + 1)(x + 2) x2(x + 1)(x + 2)

P (x) P1(x) P2(x)
Metoda Ostrogradskiego: dx = + dx , gdzie P (x) , Q(x)  wielomiany, deg P (x) <
Q(x) Q1(x) Q2(x)
deg Q(x) ( deg oznacza stopień wielomianu); Q2(x) - wielomian, mający te same czynniki nierozkładalne co
Q(x) , taki że każdy z nich występuje w pierwszej potędze; Q1(x) = Q(x)/Q2(x) ; deg P1(x) < deg Q1(x) ,
deg P2(x) < deg Q2(x) ; P1(x) i P2(x) znajdujemy różniczkując wzór i przyrównując współczynniki przy jed-
P2(x)
nakowych potęgach zmiennej x . (Można od razu postulować wyrażenie podcałkowe w postaci rozłożonej
Q2(x)
na ułamki proste.)
Całkowanie funkcji trygonometrycznych  ogólny przypadek funkcji wymiernej sinusa i cosinusa.
Całki z funkcji postaci R(sin x, cos x) , gdzie R(x, y) jest funkcją wymierną zmiennych x i y możemy obliczyć,
x 2t 1 - t2 2t
stosując podstawienie t = tg . Wtedy sin x = , cos x = , tg x = , x = 2 arc tg t + 2kĄ ,
2 1 + t2 1 + t2 1 - t2
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 4
2 dt
dx = . Podstawienie to sprowadza funkcję podcałkową do funkcji wymiernej zmiennej t . Przy powracaniu
1 + t2
x 1 - cos x
do zmiennej x można (choć nie zawsze czyni się z tego użytek) wykorzystać związki tg = lub
2 sin x
x sin x
tg = .
2 1 + cos x
Uwaga. Można wykazać, że:
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ( R(-u, v) = -R(u, v) ), to da się zastosować podstawienie
t = cos x ;
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ( R(u, -v) = -R(u, v) ), to da się zastosować podstawienie
t = sin x ;
Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ( R(-u, -v) = R(u, v) ), to da się zasto-
sować podstawienie t = tg x .
Szczególnym przypadkiem ostatniego jest obliczanie całki z funkcji postaci R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) , gdzie
t2 1
R  funkcja wymierna swoich argumentów; wtedy mamy t = tg x , sin2 x = , cos2 x = ,
t2 + 1 t2 + 1
t 1
sin x cos x = , x = arc tg x + kĄ , dx = dx .
t2 + 1 t2 + 1
1) Obliczyć całki:

1 1 1 1
a) dx; b) dx; c) dx; d) dx;
sin x cos x sin x + cos x sin x + tg x

2 sin5 x 1 - cos x sin3 x
e) dx; f) dx; g) dx; h) dx;
2 + cos x cos3 x 1 + cos x 1 + cos2 x
Całkowanie funkcji niewymiernych.
" " "
n1 n2 nk
" Całki, w których występują pierwiastki x, x, . . . x, całkujemy wykonując podstawienie t =
"
m
x, gdzie m = NWW(n1, n2, . . . nk) (NWW jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb)



ax + b
n
" Całki postaci R x, dx ( R  funkcja wymierna swoich argumentów) sprowadzamy do całki
cx + d

ax + b
n
funkcji wymiernej, stosując podstawienie t = .
cx + d


" Przechodząc teraz do całek postaci R(x, ax2 + bx + c)dx ( R  jak wyżej) odnotujmy najpierw
bardzo szczególną postać, w przypadku której całkowanie jest stosunkowo łatwe. Mianowicie:

Wn(x)
Całki postaci " dx, gdzie Wn(x) jest wielomianem stopnia n możemy policzyć,
ax2 + bx + c
stosując metodę współczynników nieoznaczonych.
Zachodzi następująca równość:


Wn(x) dx
" dx = Wn-1(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Wn-1(x) jest pewnym wielomianem stopnia co najwyżej n - 1 , a  - pewną liczbą rzeczywistą.
Wyrażenie to różniczkujemy obustronnie, mnożymy przez pierwiastek występujący w mianowniku, a
następnie obliczamy  oraz nieznane współczynniki wielomianu Wn-1 , porównując współczynniki przy
kolejnych potęgach zmiennej x . Końcową całkę, po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej i po
odpowiednim podstawieniu, liczymy według jednego z następujących wzorów:


dx x dx
x
" " = arc sin + C " " = ln + x2 + K + C

|a|
a2 - x2 x2 + K


Do omawianego przypadku można również doprowadzić całki postaci Wn(x) ax2 + bx + cdx  przez
sztuczne przeniesienie niewymierności z licznika do mianownika, tzn. przez pomnożenie i podzielenie
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 5

"
dx
wyrażenia podcałkowego przez ax2 + bx + c , a także całki postaci " dx - za
(x - x0)k ax2 + bx + c
1
pomocą podstawienia = t , chociaż nie zawsze daje to najbardziej prosty rezultat.
x - x0


" Ogólnie, całki postaci R(x, ax2 + bx + c)dx (gdzie R  jak wyżej) można sprowadzić za pomocą
przekształcenia trójmianu do postaci kanonicznej i odpowiedniego podstawienia  do całki z funkcji
wymiernej zmiennej y i jednego z wyrażeń:

ć% a2 - y2  wtedy stosujemy podstawienie y = sin t , y = cos t lub y = tgh t ;

ć% y2 + a2  wtedy stosujemy podstawienie y = a tg t lub y = a sinh t lub podstawienie Eulera

(zob. niżej) t = y + y2 + a2 ;

1
ć% y2 - a2  stosujemy podstawienie y = lub y = a cosh t lub podstawienie Eulera t =
cos t

y + y2 - 1
ć% Uwaga: Podstawienie Eulera w dwóch ostatnich przypadkach ma przynajmniej tę zaletę, że działa

jednakowo w obu tych przypadkach - tzn. można rozważać całki z y2 + K z K dowolnego znaku
( K = a2 względnie K = -a2 ). Ponadto przekształcanie wyrażeń zawierających tg lub cosh nie
jest zbyt wygodne...
Oto podstawowe stosowane wtedy wzory:


dx x a2 x x
" = arc sin + C; a2 - x2 dx = arc sin + a2 - x2 + C;
|a| 2 |a| 2
a2 - x2



dx K x
x x
" = ln + x2 + K + C; x2 + K dx = ln + x2 + K + x2 + K + C

2 2
x2 + K
Ogólnie, zachodzi wzór
ńł
1
2ax "
�ł

" ln + b + ax2 + bx + c + C, a > 0
�ł
dx
a
" =
1 2ax + b
�ł
ax2 + bx + c
ół
- " arc sin " , a < 0, " = b2 - 4ac > 0
-a
"


" Ewentualnie, bez sprowadzania do postaci kanonicznej, całki postaci R(x, ax2 + bx + c)dx można
sprowadzić do całki z funkcji wymiernej za pomocą jednego z trzech następujących podstawień Eulera
(zawsze da się zastosować przynajmniej jedno z nich):
"
"
 I podstawienie Eulera (można stosować, gdy a > 0 ): ax2 + bx + c = t + ax ;
"
"
 II podstawienie Eulera (można stosować, gdy c > 0 ): ax2 + bx + c = x t + c ;
 III podstawienie Eulera [można stosować, gdy trójmian ax2 bx + c ma dwa różne pierwiastki
"+
rzeczywiste ą i � tzn. ax2 + bx + c = a(x - ą)(x - �) ]: ax2 + bx + c = t(x - ą) (lub, co na
",
jedno wychodzi, ax2 + bx + c = t(x - �) ).
1) Całki funkcji niewymiernych:


a) x2 + K dx; b1) a2 - x2 dx; x a2 - x2 dx; x2 a2 - x2 dx;
" "

x2dx dx a2 - x2 a2 - x2
b2) " ; " ; dx; dx;
x x2
a2 - x2 x2 a2 - x2

1 3x + 5 1 dx
c) " dx; d) " dx; e) " dx; f) " .
x2 - 4x - 3 9 + 6x - 3x2 x2 1 - x2 (x + 1) x2 + 1
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 6
2) Całki różne:

1 3e2x + 2ex 1
a) " dx; b) x cos2x dx; c) dx; d) dx;
"
e2x + ex - 2
x + 5 + x 3 sin2 x + cos2 x

ln(arc tg x) arc tg x 3 � 2x + 2 � 3x
e) dx; f) dx; g) sin 3x cos 5x dx; h) dx;
1 + x2 x4 2x

ln(x + 1) 1 x
i) " dx; j) dx; k) " dx; l) x2 arc tg x dx;
1 + 3 cos x
x + 1
1 + x - x2


"
x
m) dx; n) cos x ln(ctg x) dx; o) x2 4 1 + x3 dx; p) arc tg x dx;
sin2 x
"

3
1 x + 1 + x cos 2x 2
r) dx; s) " dx; t) dx; u) x3ex dx;
3
2 + 5 tg x sin 2x + 4
x 1 + x

dx x
w) ; x) dx; y) x2 arc sin x dx; z) (arc sin x)2 dx;
1 + tg x x3 - 1

x3 dx 3 dx
za) " dx; zb) " ; zc) " dx; zd) .
x + x - 2 ex + e-x
x2 + 3 x x2 + 2
Trudniejsze całki
2

3 + x2 x3 esin x x cos3 x - sin x
5x ln x - 1
( 1) dx ( 2) " dx ( 3) dx ( 4) dx
cos2 x
ln2 x
(1 + x2)3 1 + x4


1 1 1
( 5) x2 arc sin dx ( 6) tg2 x + 2 dx ( 7) " dx ( 8) dx
4
x (1 - 2x)4
sin3 x cos5 x

"

x ln 1 + 1 + x2
sin 2x arc tg x sin4 x + cos4 x
( 9) " dx (10) dx (11) " dx (12) dx
x4 cos 2x
1 + cos4 x

"1 + x2
1 1 2 tg x - 1 1
(13) " dx (14) dx (15) " dx (16) tg x 1 + dx
sin3 x cos x (1 + cos 2x) 1 + tg x cos4 x
x - x2 - 1

sin3 x x + sin x 1 1
(17) " dx (18) dx (19) " dx (20) " dx
"
5
1 + cos x
cos3 x (1 + x) x - x2 2 1 - x2 + 1 - x2
" "
6
x 1 x2 + x + 1 x + 1
(21) " dx (22) " dx (23) " dx (24) " " dx
"
3 3 6 4
3
(1 + x)2
(x2 + 1) x2 + 1
x2 ( x + 1)3 x7 + x5

x x 1 1
(25) dx (26) dx (27) " dx (28) dx
"
"
3 3
(1 - x)3
(x2 + 1) x2 - 1 (1 + x)2 + 1 + x
1 + x2

arc tg x dx x2 - 1 dx
(29) dx (30) sin8 x dx (31) (32) � "
x2(1 + x2) x2 + 1
sin4 x + cos4 x
1 + x4

x3 1 + x dx cos x
(33) dx (34) x2 sin(ln x) dx (35) ln � (36) " dx
(x - 1)12 1 - x x2 - 1
cos 2x
Wskazówki do całek trudniejszych.


esin x x cos3 x - sin x
(1) t = 1 + x2 , dt = 2x dx ; (2) x = t2 , 2x dx = dt ; (3) dx = xesin x cos x dx -
cos2 x

sin x
esin x dx ; w pierwszej z tych całek u = x , v = . . . , w drugiej u = esin x , v = . . . ; wynik:
cos2 x

1
esin x x - + C ; (4) u = x(ln x - 1) , v = . . . ; (5) u = arc sin(1/x) , v = x2 ; (6) t = tg x ;
cos x
"
dt 1
x = arc tg t + kĄ ; dx = ; z = t + t2 + 2 ;... (7) t = tg x , dt = dx (8) 1 - 2x = t ; (9)
1 + t2 cos2 x
t = cos2 x , dt = -2 sin x cos x dx ; (10) u = arc tg x , v = x( - ; (11) t2 = x2 + 1 , t dt = x dx ; (12)
4)
1 - 2 sin2 x cos2 x 1 1 sin2 2x
t = tg x lub łatwiej: I = dx = - dx ; w pierwszej całce podstawić
cos 2x cos 2x 2 cos 2x
"
tg x = t , w drugiej z = sin 2x ; (13) t = x - x2 - 1 ; (14) t = tg x ; (15) tg x = t ; (16) t = cos2 x , potem
1 1
x
podstawienie Eulera; (17) t = cos x ; (18) u = x + sin x , v = = , v = tg ; (19) albo
2
1 + cos x 2 cos2 x
2
t
x = t2 , potem t = sin z , albo od razu: x = sin2 z ; (20) x = sin t , potem z = tg ; (21) t = x(1/6) ;
2
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 7
"
(22) t = 1 + x(1/3) (23) x2 + x + 1 = (x2 + 1) + x ; w drugiej całce t = x2 + 1 . (24) t = x(1/12) ; (25)



" "
1 x x
3
dx ; t = ; (26) t = 1 + x2 , 2x dx = 3(t2 - 1) � 2t dt ; (27) t = x + x2 - 1 ; (28)
1 - x 1 - x 1 - x

1 1
1 + x = t6 ; (29) t = arc tg x ; (30) wiadomo; (31) t = tg x ; (32) x + = t , 1 - dx = dt ; (33) t = x - 1 ;
x x2
1 + x
(34) u = sin(ln x) , v = x2 ; potem u = cos(ln x) ; (35) t = ; (36) t = sin x .
1 - x
Jeszcze jeden zestaw różnych całek

" " "
x ln x dx ln x dx arc tg x
1. arc tg x dx arc sin x dx dx x cos x dx
(x2 + 1)2 (x + 2)2 x3

x3ex 1
x2 sinh2 x dx x2 ln(x2 + x + 2) dx arc sin3 x dx dx dx
(x + 3)2 e2x + 2ex + 2


"
4
1 + x 1 x + 1 1 x - 2 dx x x
2. " dx dx dx " " dx
4
x + x x2 x x x x( x + 1) x - 1 x - 1

"
dx dx
" " arc tg(1 + x) dx
"
4
x - 1 - x - 1 3x + x


x3 x2 arc sin x dx
3. x3 1 - x2 dx x2 4 - x2 dx " dx " dx dx "
x2
x2 - 1 x2 + x + 1 x x2 - 2

x2 + 2x dx
" dx
x2 + 2x + 3
x ln x 1 - ln2 x

cos x sin 2x
4. dx sin3 x cos5 x dx cos 2x(cos x + sin x)5 dx dx sin3 x cos4 2x dx
cos3 x
1 + 2 sin2 x

dx sin 4x dx sin x dx dx
dx cos x sin 2x cos 3x dx
cos3 x sin x
sin4 x + cos4 x sin4 x + cos4 x sin2 x + cos3 x + 1


dx (e2x + ex) dx dx
5. " " 1 - e2x dx "
ex + 1
e2x + 1 e2x + 2ex + 2

tg x dx e2x dx ln tg x dx
6. x arc tg(1/x2) dx x arc tg2 x dx
ln cos x sin x cos x
sinh2 x

dx dx dx sin x dx dx
7.
1 + sin x + cos x 2 cos x + 3 2 + sin x + cos x 2 + cos x 5 - 4 sin x + 3 cos x