CAA
KI NIEOZNACZONE
1. CAA
KA NIEOZNACZONA
1. CAA
KA NIEOZNACZONA
Poszukiwanie funkcji F(x), gdy jest jej pochodna F'(x)=f(x), czyli działanie
odwrotne do ró\
niczkowania nazywa się całkowaniem, a funkcję szukaną
F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x).
Całkowanie jest działaniem odwrotnym względem ró\
niczkowania
(wyznaczania pochodnej) i nie jest działaniem jednoznacznym, co określa
następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem podstawowym o funkcjach
pierwotnych:
TWIERDZENIE 1.1 Je\
eli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X, to funkcja F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest równie\

funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X.
Dowód. Istotnie, dla ka\
dego x " �X i ka\
dej stałej C, mamy
[F(x) + C]' = F'(x) = f(x),
zatem funkcja F(x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X. Z
drugiej strony, je\
eli funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi funkcji f(x)
w przedziale X, czyli
F'(x) = f(x) i G'(x) = f(x)
to
"x " X [F (x) - G(x)]'= 0
63
Oznacza to, \
e funkcja F(x) i G(x) w przedziale X jest wielkością stałą, czyli
G(x) = F(x)+C0.
Zatem, je\
eli funkcja F(x) jest funkcja pierwotną funkcji f(x) w przedziale X,
to suma
F(x) + C,
gdzie C jest dowolną stałą, przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji
f(x) w tym przedziale i tylko takie funkcje.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy
całką nieoznaczoną funkcji f(x) w tym przedziale i oznaczamy symbolem
f (x)dx
(1.1) .
+"
Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a literę x nazywamy zmienną
całkowania. Z podstawowego twierdzenia o funkcjach pierwotnych wynika,
\
e
(1.2) f (x)dx = F(x) + C ,
+"
gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jakąkolwiek stałą.
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, \
e funkcja pierwotna F(x) określona
jest w dziedzinie funkcji podcałkowej f(x).
64
PRZYKA
AD 1.1. Znajdziemy funkcję pierwotną funkcji f(x)=x2, której wykres
przechodzi przez punkt (-1,1).
Obliczając całkę nieoznaczoną z funkcji podcałkowej f(x)=x2, otrzymamy
zbiór
1
x2dx = x3 + C
3
+"
funkcji pierwotnych. Poniewa\
szukana funkcja pierwotna
1
F(x) = x3 + C0
3
ma przechodzić przez punkt (-1,1), zatem musi być spełniony warunek
F(-1) = 1,
czyli
1
1 = (-1)3 + C0
3
skąd
4
C0 =
3
Tak więc
1 4
F(x) = x3 +
3 3
jest szukaną funkcją pierwotną.
65
W tablicy podano całki nieoznaczone funkcji elementarnych.
Nale\
y podkreślić, \
e wzory podane w tablicy są prawdziwe w ka\
dym
przedziale ciągłości odpowiedniej funkcji podcałkowej.
Lp. Całka Uzasadnienie
1
[C]'= 0
+"0 dx = C
2
+"dx = x + C
[x + C]'= 1
1
1
x �ł
x+1
3
+"x dx = ą +1 xx+1 + C(ą `" -1)
�łą +1 x + Cłł'= xx
śł
�ł �ł
1 x
dx = ln | x | +C [ln | x | +C]'= a
4
x
+"
'
x
�ł łł
a
ax
x
x
�łln a + Cśł = a
5
+"a dx = lna + C(a > 0,a `" 1)
�ł �ł
x
[ex + C]'= ex
+"e dx = ex + C
6
[- cos x + C]'= sin x
+"sin xdx = -cosx + C
7
[sin x + C]'= cos x
+"cosxdx = sin x + C
8
1
1
[-ctgx + C]'=
dx = -ctgx+ C
2
+"sin2
sin x
x
9
1
1
[tgx + C]'=
dx = tg + C
+" cos2 x
cos2 x
10
1
dx
[arctgx + C]'=
1+ x2
+"1+ x2 = arctgx+ C
11
-1
[arcctgx + C]'=
(-1)dx
= arcctgx+ C 1+ x2
+"
1+ x2
12
1
[arcsin x + C]'=
dx
= arcsinx + C 1- x2
+"
13
1- x2
-1
[arccos x + C]'=
(-1)dx
1- x2
= arccosx + C
+"
14
1- x2
66
PRZYKA
AD 1.2. Obliczając pochodną [ ln |x| + C]' dla x>0 otrzymujemy
dx
= ln | x | +C
+"
x
natomiast dla x<0
(-1) 1
[ln | x |]'= [ln(-x)]'= = ,
- x x
czyli
1
[ln | x | +C]'=
x
PRZYKA
AD 1.3. Mamy
1
x4dx = x5 + C dla x " (-",+"),
5
+"
8x
x
+"8 dx = ln8 + C dla x " (-",+"),
2
xdx = x x + C dla x " (0,+"),
3
+"
2 2
dx 1
3 3
= x- dx = x- +1 + C = 33 x + C dla x " (-",0) *" (0,+"),
+" +"
2
3
- +1
x2
3
7 7 10
1 +1
3 3 3 3
x2 3 xdx = x dx = x + C = x + C dla x " (-",+").
10
+" +"
7
+1
3
2. PODSTAWOWE WA
ASNOŚCI CAA
KI NIEOZNACZONEJ
2. PODSTAWOWE WA
ASNOŚCI CAA
KI NIEOZNACZONEJ
Podamy obecnie podstawowe własności całki nieoznaczonej.
1. Je\
eli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcję pierwotną, a k jest
dowolną stałą liczbą od zera, to
(2.1) (x)dx = k f (x)dx (k `" 0).
+"kf +"
67
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, \
e
'
[+" f (x)dx] = f (x)
Mamy
' '
[+"kf (x)dx] = kf (x) oraz [k f (x)dx] = kf (x),
+"
zatem
f (x)dx
+"kf (x)dx = k+"
Własność 1 mo\
na wyrazić w następujący sposób: stały czynnik
występujący w funkcji podcałkowej mo\
na wyłączyć przed znak całki.
2
4
PRZYKA
AD 2.1. Obliczmy całki nieoznaczone dx i dx.
x
+"3x +"
Z podanej własności otrzymujemy
1
2
x2dx = 3 x2+1 + C = x3 + C dla x " R,
+"3x dx = 3+"
2 +1
4 dx
dx = 4 = 4ln | x | +C dla x `" 0.
3 x
+" +"
2. Je\
eli funkcje f(x) i g(x) mają funkcje pierwotne w pewnym przedziale, to
(2.2) f (x) ą g(x)]dx = f (x)dx ą g(x)dx.
+"[ +" +"
Istotnie:
'
[+"[ f (x) ą g(x)]dx] = f (x) ą g(x),
'
[+" f (x)dx ą g(x)dx] = f (x) ą g(x),
+"
68
zatem
f (x)dx ą g(x)dx.
+"[ f (x) ą g(x)]dx = +" +"
Zauwa\
amy, \
e je\
eli całkujemy sumę (ró\
nicę) kilku funkcji, to po
obliczeniu całek z poszczególnych składników dopisujemy jedną stałą
dowolną, poniewa\
suma stałych dowolnych jest równie\
stałą dowolną.
PRZYKA
AD 2.2. Obliczmy całkę
4
+"(5x - 4x3 + 3x + 2)dx.
Korzystając z własności całki nieoznaczonej mamy
4 4 3
+"(5x - 4x3 + 3x + 2)dx = +"5x dx - +"4x dx + +"3xdx + +"2dx =
3
5 x4dx - 4 x3dx + 3 xdx + 2 = x5 + x4 + x2 + 2x + C dla x " (-",+").
2
+" +" +" +"dx
3. CAA
KOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
3. CAA
KOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych pomocnym jest następujące
twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie t = h(x).
TWIERDZENIE 3.1 Je\
eli istnieje taka funkcja t = h(x) ró\
niczkowalna w
przedziale T i h(x)" T, oraz \
e funkcja podcałkowa
f (x) = g[h(x)] = g(t),
(3.1)
to w przypadku gdy funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t) i
ponadto w przedziale X zachodzi
f (x) = g[h(x)]h'(x)
(3.2)
69
to dla x " X prawdziwa jest równość

(3.3) f (x)dx = G[h(x)] + C
+"
D o w ó d. Funkcja zło\
ona G[h(x)] jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w
przedziale X, poniewa\
dla ka\
dego x " X zachodzi
d
G[h(x)] = g'[h(x)]h'(x) = g[h(x)]h'(x) = f (x)
dx
Zatem istnieje całka nieoznaczona funkcji f(x) w przedziale X.
Je\
eli zastąpimy w wyra\
eniu G[h(x)]+C symbol h(x) literą t, to otrzymamy
g(t)dt
G(t)+C, czyli całkę nieoznaczoną . Mo\
emy zatem napisać
+"
(3.4) f (x)dx = g(t)dt
+" +"
lub
(3.5) f (x)dx = g[h(x)]h'(x)dx = g(t)dt.
+" +" +"
Ostatnią równość nazywamy wzorem na całkowanie przez podstawienie t =
h(x). Metoda całkowania przez podstawienie zwana jest tak\
e metodą
całkowania przez zmianę zmiennej. Jest to jedna z najczęściej
stosowanych metod całkowania. Metodę tę stosujemy wtedy, gdy funkcja
podcałkowa jest funkcją zło\
oną. Metodę całkowania przez podstawienie
g(t)dt
nale\
y stosować wówczas, gdy całka
jest łatwiejsza do obliczenia
+"
f (x)dx
ni\
całka . Nie istnieją zasady podstawiania przy obliczaniu całek.
+"
Odpowiednich umiejętności nabywa się tylko drogą wprawy przez
obliczanie całek.
70
PRZYKA
AD 3.1. Obliczmy całkę
+"(3x +1)5 dx
Podstawiamy
t = 3x +1 , czyli h(x) = 3x +1
Mamy
h'(x) = 3, dt = 3dx.
Poniewa\

1
(3x245 = (4245 �" 3 ,
{
1 3
4+1) 3 +1) h'( x)
13x 3
f ( x)
g[h(x)]
5
1
zatem g(t) = t
3
Korzystając ze wzoru (5.7.5) otrzymujemy
1
5 5+1
1 1 1
t5dt = dt = �" t + C =
3 3 3
+"(3x +1)5 dx = +" +"t
5 +1
1 1
6
= t + C = (3x +1)6 + C.
18 18
PRZYKA
AD 3.2. Obliczmy całkę
3
2
+"3x 2x dx.
2
Podstawiamy t = x3 , czyli h(x) = x3 . Ponadto oraz dt = 3x2dx. Mamy
h'(x) = 3x
3 3
34 �" 2x = 2x �"3x2
x2 3 { {
124
g[h(x)] h'(x)
f (x)
71
zatem g(t) = 2t . Ze wzoru na całkowanie przez podstawienie otrzymujemy
3
3
2t 2x
2 t
+"3x 2x dx = +"2 dt = ln 2 + C = ln 2 + C
W dalszych przykładach zapisywać będziemy tylko niezbędne
przekształcenia. Nale\
y dodać, \
e wszystkie całki nieoznaczone są
określone tylko w dziedzinie funkcji podcałkowej.
PRZYKA
AD 3.3. Obliczmy całkę
3
+"sin x cos xdx.
Podstawiamy t = sin x. Mamy
dt = cos xdx,
3 3 4 4
1 1
4 4
+"sin x cos xdx = +"t dt = t + C = sin x + C.
PRZYKA
AD 3.4. Obliczmy całkę
x
dx.
+"
3x2 +1
Podstawiamy t = 3x2 +1. Mamy
1
dt = 6xdx, xdx = dt,
6
x
1 1 1 1
dx = dt = ln | t | +C = ln(3x2 +1) + C.
6 t 6 6
+" +"
3x2 +1
Je\
eli mamy obliczyć całkę
�'(x)
dx
(3.6)
+"
�(x)
72
tzn. całkę z funkcją podcałkową taką, \
e w liczniku jest pochodna
mianownika, to stosujemy podstawienie
(3.7) t = �(x).
Mamy więc
(3.8) dt = �'(x)dx
oraz
�'(x) dt
(3.9) dx = = ln | t | +C = ln | �(x) | +C
+" +"
�(x) t
PRZYKA
AD 3.4. Obliczmy całkę
+"ctgxdx.
Mamy
cos x
dx.
+"ctgxdx = +"
sin x
Stwierdzamy, \
e całka ta jest całką postaci (5.7.6), zatem
+"ctgxdx = ln | sin x | +C.
PRZYKA
AD 3.5. Obliczmy całkę
dx
.
+"
x(3 + ln x)
1
Podstawiamy t = 3 + ln x. Mamydt = dx , skąd
x
73
dx dt
= = ln | t | +C = ln | 3 + ln x | +C.
+" +"
x(3 + ln x) t
Przy obliczaniu niektórych całek nale\
y stosować podstawienie
x =� (t). Podamy obecnie drugie twierdzenie o całkowaniu przez
podstawienie x =� (t).
TWIERDZENIE 3.2 Je\
eli funkcja � (t) jest ró\
niczkowalna i
ró\
nowartościowa w przedziale T i wartości funkcji � (t) nale\
ą do
przedziału X oraz funkcja f(x) dla x " X ma funkcję pierwotną, to
f (x)dx = f [� (t)]� '(t)dt
(3.10)
+" +"
PRZYKA
AD 3.5. Obliczmy całkę
dx
.
+"
3
x + x
6 2
3
Stosując podstawienie x = t (t e" 0) mamy oraz dx = 6t5dt, x = t3, x = t
oraz
3
dx t5dt t
2
1
= 6 = 6 dt = 6 - t +1- )dt =
t+1
+" +" 2 +" +"(t
3
t3 + t t +1
x + x
2 2
1
= 6[1 t3 - t + t - ln(t +1)] + C = 2t3 - 3t + 6t - 6ln(t +1) + C =
3 2
= 2 x - 33 x + 66 x - 6ln(6 x +1) + C.
74
4. CAA
KOWANIE PRZEZ CZ
ŚCI
4. CAA
KOWANIE PRZEZ CZ
ŚCI
W wielu przypadkach przy obliczaniu całek nieoznaczonych korzysta się z
następującego twierdzenia o całkowaniu przez części:
TWIERDZIENIE 4.1. Je\
eli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale
ciągłe pochodne u'(x) i v'(x), to zachodzi wzór zwany wzorem całkowania
przez części
(4.1)
+"u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - +"v(x)u'(x)dx.
D o w ó d. Mamy
[u(x)v(x) -
+"v(x)u'(x)dx]'= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) - v(x)u'(x) = u(x)v'(x).
Z definicji całki nieoznaczonej wynika więc, \
e
[
+"u(x)v'(x)dx]'= u(x)v'(x).
Zatem wzór (4.1) jest prawdziwy.
Wzór (4.1) stosowany jest wówczas, gdy całka występująca po prawej
stronie tego wzoru jest łatwiejsza do obliczenia, ani\
eli całka znajdująca się
po lewej stronie wzoru. Istotę całkowania przez części wyjaśnimy na
przykładach. Stosując pojęcie ró\
niczki, wzór (4.1) mo\
na zapisać w
postaci
(4.2)
+"udv = uv - +"vdu.
75
Obliczając całkę nieoznaczoną metodą całkowania przez części,
oznaczamy odpowiednie czynniki funkcji podcałkowej przez u(x) i v'(x) (w
podanych przykładach są one zapisane po lewej stronie pionowej kreski), a
następnie obliczamy u'(x) i v(x). Obliczana funkcja v(x) jest tutaj dowolną
funkcją pierwotną funkcji v'(x).
PRZYKA
AD 4.1. Obliczmy całkę
xexdx
+"
Mamy
u = x, | u'= 1,
x
v'= ex | v = dx = ex ,
+"e
zatem
x
xexdx = xex - dx = xex - ex + C.
+" +"e
PRZYKA
AD 4.2. Obliczmy całkę
+"ln xdx.
Je\
eli daną całkę zapiszemy w postaci
+"1ln xdx
to
1
u = ln x, | u'= ,
x
v'= 1, | v = x
76
oraz
1
x dx = x ln x - x + C.
x
+"ln xdx = x ln x - +"
PRZYKA
AD 4.3. Obliczmy całkę
x sin xdx.
+"
Mamy
u = x, | u'= 1,
v'= sin x | v = xdx = - cos x
+"sin
zatem
x sin xdx = -x cos x - cos x)dx = -x cos x + sin x + C.
+" +"(-
PRZYKA
AD 4.4. Obliczmy całkę
x
+"e cos xdx.
Mamy
u = cos x, | u'= -sin x,
v'= ex , | v = ex
x x
(1)
+"e cos xdx = ex cos x + +"e sin xdx.
Obliczamy całkę
x
+"e sin xdx
77
Mamy
u = sin x, | u'= cos x,
v'= ex , | v = ex
Podstawiając tę całkę do całki (1) otrzymujemy
x x x
+"e cos xdx = ex cos x + (ex sin x - +"e cos xdx) = ex cos x + ex sin x - +"e cos xdx.
Poniewa\
po obu stronach występuje ta sama całka z ró\
nym znakiem,
zatem mo\
e napisać
x
2 cos xdx = ex cos x + ex sin x + 2C,
+"e
skąd
x
1
2
+"e cos xdx = ex (cos x + sin x) + C.
Przy obliczaniu wielu całek nieoznaczonych nale\
y jednocześnie stosować
metodę całkowania przez części i metodę podstawiania.
PRZYKA
AD 4.5. Obliczmy całkę
x cos2 xdx.
+"
Poniewa\

1+ cos 2x
cos2 x = ,
2
zatem
78
1 1 1
(1) x cos2 xdx = x(1+ cos 2x)dx = xdx + x cos 2xdx.
2 2 2
+" +" +" +"
Obliczamy całkę x cos 2xdx stosując podstawienie t = 2x. Mamy dt = 2dx,
+"
1 1
skąd dx = dt, x = t oraz
2 2
1 1 1
(2) x cos 2xdx = t cost dt = costdt.
2 2 4
+" +" +"t
Obliczamy całkę costdt. korzystając z metody całkowania przez części.
+"t
Mamy
u = t, | u'= 1,
v'= cost, | v =
+"costdt = sin t
(3)
+"t cos tdt = t sin t - +"sin tdt = t sin t + cos t
Podstawiamy całkę (3) do całki (2), wyniku otrzymujemy
1 1 1
x cos 2xdx = (t sin t + cost) = xsin 2x + cos 2x.
4 2 4
+"
Zatem wykorzystując równość (1) mamy ostatecznie
1 1 1
x cos2 xdx = x2 + x sin 2x + cos 2x + C
4 4 8
+"
5. CAA
KI FUNKCJI WYMIERNYCH
5. CAA
KI FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji
wymiernej jest więc postaci:
Wn (x) an xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
dx.
+"W (x) dx = +"
bm xm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0
m
79
Całkę tego typu mo\
na rozło\
yć na sumę całek, z których ka\
dą w wyniku
dalszych przekształceń, sprowadza się do wzorów podstawowych
rachunku całkowego. Przy obliczaniu postępujemy w następujący sposób:
1) skracamy ułamek, aby wielomiany Wn(x) i Wm(x) nie miały
wspólnych czynników,
2) je\
eli n e" m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję
podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej,
w której ju\
stopień licznika jest mniejszy ni\
stopień mianownika,
3) je\
eli nkwadratowe o wyró\
niku ujemnym, a następnie funkcję podcałkową
rozkładamy na ułamki proste, tj. na wyra\
enia postaci
A Bx + C
oraz (p, k  liczby naturalne),
p
(ax + b)k (cx2 + dx + e)
gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są liczbami stałymi.
Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczania
całek z ułamków prostych zostanie przedstawiony w podanych poni\
ej
przykładach.
PRZYKA
ADY
cdx
1. Obliczyć całkę , a `" 0.
+"
ax + b
Rozwiązanie. Zakładamy, \
e ax+b`"0. Wykonujemy podstawienie ax+b=t.
1
Ró\
niczkują otrzymujemy adx=dt, skąd dx = dt . Podstawiamy te wartości
a
do całki:
80
1
c dt
cdx c dt
a
c c
= = = ln | t | +C = ln | ax + b | +C
a a
+" +" +"
ax + b t a t
ax + b
2. Obliczyć całkę dx,m `" 0.
+"
mx + n
Rozwiązanie. Zakładamy, \
e mx+n jest ró\
ne od zera. Dzielimy licznik
przez mianownik, poniewa\
są równego stopnia.
an
b
ax + b a -
m
= + ,
mx + n m mx + n
an
b -
(ax + b)dx dx
m
a a an
= dx + dx = x + (b - ) =
m m m
+" +" +" +"
mx + n mx + n mx + n
skąd
bm - an
a
x + ln | mx + n | +C.
x
m2
W dalszym ciągu zajmiemy się całkami typu
dx
, a `" 0
+"
ax2 + bx + c
Obliczamy je ró\
nie w zale\
ności od znaku wyró\
nika trójmianu ax2 + bx + c .
Na przykładach rozpatrzymy przypadki: " > 0," = 0, " < 0 .
Przykłady
dx
1. " > 0 . Obliczyć całkę
+"
- x2 - 2x +15
Rozwiązanie. Obliczamy wyró\
nik trójmianu znajdującego się w
mianowniku " = 4 + 60 = 64 > 0 . Mianownik ma pierwiastki -5 i 3, a więc
rozkłada się na czynniki liniowe:
- x2 - 2x +15 a" -(x + 5)(x - 3) a" (x + 5)(3 - x)
81
W dalszych rozwa\
aniach przyjmujemy ograniczenia: x `" -5, x `" 3.
Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych:
1 A B
= +
- x2 - 2x +15 x + 5 3 - x
W celu wyliczenia stałych A i B mno\
ymy obie strony to\
samości przez
(x+5)(3-x) i otrzymujemy
1 a" A(3 - x) + B(x + 5),skąd 1 a" (B - A)x + (3A + 5B)
Mamy tutaj do czynienia z to\
samością, czyli związkiem, który jest
spełniony dla ka\
dego x. Z porównania współczynników przy ró\
nych
potęgach x, po obu stronach to\
samości, wynikają następujące zale\
ności:
1 1
B-A=0, 3A+5B=1, skąd A = , B = .
8 8
Wracając do funkcji podcałkowej otrzymujemy rozkład:
1 1
1
8 8
a" + .
- x2 - 2x +15 x + 5 3 - x
Całkujemy obie strony to\
samości i po prawej stronie wynosimy czynniki
stałe przed znak całki:
dx dx 1 dx x + 5
1 1 1 1
= + = ln | x + 5 | - ln | x - 3 | +C = ln + C
8 8 8 8
+" +" +"
- x2 - 2x +15 x + 5 8 3 - x x - 3
dx
2. " = 0 . Obliczyć całkę
+"
4x2 - 20x + 25
82
Rozwiązanie. Mamy" = 400 - 400 = 0, a więc mianownik jest kwadratem
5
zupełnym 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2 . Zakładamy, ze x `" i podstawiamy 2x-5=t.
2
Ró\
niczkując otrzymujemy 2dx = dt, skąd dx=1/2 dt . Obliczamy:
1
dt
dx dx -1
2
1 -2
1 -1
1
= = = dt = - t + C = - (2x - 5)-1 + C = + C
2 2 2
+" +" +" 2 +"t
4x2 - 20x + 25 (2x - 5)2 t 2(2x - 5)
dx
3. " < 0 . Obliczyć całkę
+"
2x2 -12x + 27
Rozwiązanie. Obliczamy wyró\
nik mianownika " = 144 - 216 = -72
Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej wg wzoru:
2
b -"
ax2 + bx + c = a[(x + ) + ( )]
2a
4a2
2
12 72
2x2 -12x + 27 = 2[(x - ) + ]= 2(x - 3)2 + 9.
2�"2 4�"4
A więc
dx dx
1
=
2
+" +"
9
2x2 -12x + 27 (x - 3)2 +
2
9 9
W całce tej postaci dokonujemy podstawienia x - 3 = t , skąd dx = dt .
2 2
Podstawiając powy\
sze wartości do całki, mamy:
9 9
dt
dx dt
2 2
2 2
2
= = = arctgt = arctg( (x - 3))+ C.
3 3 9
+" +" 2 +" 2
9 9
(x - 3)2 9 9 t + t +1
2 2 2 2
Ostatecznie otrzymujemy
dx
1 2 2 1 2
= arctg( (x - 3))+ C = arctg( (x - 3))+ C.
2 3 3 3
+"
3 2
2x2 -12x + 27
83
W dalszym ciągu interesować nas będą metody obliczania całek postaci:
mx + n
dx, a `" 0.
+"
ax2 + bx + c
Przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodną mianownika,
bo wówczas wynik otrzymujemy natychmiast korzystając ze wzoru:
f '(x)
dx = ln | f (x) | +C
+"
f (x)
Je\
eli licznik nie jest pochodną mianownika, ani nie jest do niej
proporcjonalny, to sposób obliczania tych całek zale\
y (podobnie jak
poprzednio) od znaku wyró\
nika trójmianu kwadratowego znajdującego się
w mianowniku funkcji podcałkowej. Na przykładach rozpatrzymy przypadki:
" > 0, " = 0," < 0.
Przykłady
x - 2
1. " > 0 . Obliczyć całkę dx
+"
x2 - 7x +12
Rozwiązanie. Obliczamy " = 49 - 48 = 1 > 0, a więc trójmian mianownika ma
pierwiastki 3 i 4 i rozkłada się na czynniki liniowe (x-3)(x-4). Zakładając, \
e
x `" 3 i x `" 4 , rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:
x - 2 A B
a" +
x2 - 7x +12 x - 3 x - 4
Mno\
ąc obie strony to\
samości przez wspólny mianownik otrzymujemy:
x - 2 a" A(x - 4) + B(x - 3)
84
W przykładzie tym obliczymy współczynniki A i B inną metodą. W miejsce x
podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika funkcji podcałkowej.
Przyjmując x=4 otrzymujemy:
4 - 2 = B(4 - 3) , skąd B=2
Podobnie przyjmując x=3 mamy:
3-2=A(3-4), skąd A=-1.
A więc
x - 2 -1 2
a" +
x2 - 7x +12 x - 3 x - 4
Obliczamy
x - 2 dx dx
dx = - + 2 = -ln | x - 3 | +2ln | x - 4 | +C.
+" +" +"
x2 - 7x +12 x - 3 x - 4
3x - 2
2." = 0 . Obliczyć całkę dx
+"
x2 + 6x + 9
Rozwiązanie. Mamy " = 36 - 4 �"9 = 0 . Mianownik jest pełnym kwadratem
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 . Zakładamy, \
e x `" -3.
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste w następujący sposób:
3x - 2 A B
a" +
x2 + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3
Mno\
ąc obie strony to\
samości przez wspólny mianownik otrzymujemy
3x - 2 a" A + B(x + 3) = Bx + (A + 3B)
85
Rozwiązujemy układ równań
3=B i A+3B=-2, skąd B=3, A=-11
Otrzymujemy to\
samość
3x - 2 -11 3
a" +
x2 + 6x + 9 (x - 3)2 x + 3
Całkujemy
3x - 2 dx dx -1
dx = -11 + 3 = -11�ł �ł + 3ln | x + 3 | +C
�ł �ł
+" +" +"
x2 + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3 x + 3
�ł łł
Ostatecznie więc
3x - 2 11
dx = + 3ln | x + 3 | +C
+"
x2 + 6x + 9 x + 3
4x - 3
3." < 0 . Obliczyć całkę dx .
+"
x2 + 3x + 4
Rozwiązanie. Wyró\
nik mianownika " = 9 -16 = -7 < 0 . Wtedy licznik
sprowadzamy do następującej postaci
C1 �" (pochodna mianownika) + C2
gdzie C1, C2 - odpowiednio dobrane stałe. W tym celu obliczamy
pochodną mianownika
(x2 + 3x + 4)'= 2x + 3
Następnie dzieląc licznik przez pochodną mianownika otrzymujemy:
86
4x - 3 9
= 2 - , skąd 4x-3=2(2x+3)-9
2x + 3 2x + 3
A więc
4x - 3 2(2x + 3) - 9
dx = dx.
+" +"
x2 + 3x + 4 x2 + 3x + 4
Daną całkę rozwijamy na sumę dwóch całek i czynniki stałe wynosimy
przed znak całki:
(4x - 3)dx (2x + 3)dx dx
= 2 - 9
+" +" +"
x2 + 3x + 4 x2 + 3x + 4 x2 + 3x + 4
Obliczamy kolejno obie całki. W pierwszej z nich licznik jest pochodną
mianownika. Wynik jest więc natychmiastowy:
2x + 3
dx = ln | x2 + 3x + 4 |
+"
x2 + 3x + 4
Drugą całkę najpierw zapisujemy następująco:
dx dx
=
+" +"
3 7
x2 + 3x + 4 (x + )2 +
2 4
A następnie wykonujemy podstawienie
7
3 7
x + = t , skąd dx = dt
2 4
2
Podstawiając otrzymujemy
7 7
3
dt 2(x + )
dx dt 2 2 2 2x + 3
2 2 2
= = = arctgt + C = arctg + C = arctg + C
+" +" 2 +" 2
7 7 7
x2 + 3x + 4 t + t +1
7 7 7 7 7
4 4 4
87
Wracając do danej całki mamy ostatecznie:
4x - 3 18 2x + 3
dx = 2ln(x2 + 3x + 4) - arctg + C
+"
x2 + 3x + 4
7 7
W ten sposób, rozpatrując wszystkie mo\
liwe przypadki, zakończyliśmy
badanie całek mających w mianowniku funkcję liniową lub funkcję
kwadratową. Teraz obliczymy całki o mianowniku stopnia wy\
szego ni\
2.
Przykłady
dx
1. Obliczyć całkę (n- liczba naturalna).
+"
(x2 +1)n
Rozwiązanie. Będziemy szukali tak zwanego wzoru redukcyjnego (lub
rekurencyjnego), na podstawie którego wyrazimy daną całkę przez całkę o
ni\
szej potędze w mianowniku. W tym celu robimy następujące
przekształcenie.
dx x2 +1- x2 dx x2dx
In = = dx = - .
+" +" +" +"
(x2 +1)n (x2 +1)n (x2 +1)n-1 (x2 +1)n
Otrzymaliśmy wzór
x2dx
In = In-1 -
+"
(x2 +1)n
Wez
my pod uwagę drugą całkę:
x2dx xdx
= x
+" +"
(x2 +1)n (x2 +1)n
i zastosujmy wzór na całkowanie przez części:
88
xdx
u = x, dv =
(x2 +1)n
skąd
xdx -1
du = dx,v = =
+"
(x2 +1)n 2(n -1)(x2 +1)n-1
Mamy więc
x2dx - x dx -1 x 1
= + = + In-1
+" +"
(x2 +1)n (2n - 2)(x2 +1)n-1 (2n - 2)(x2 +1)n-1 2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2
Podstawiając ten wynik do wzoru na In otrzymujemy:
1 x 1
In = In-1 + - In-1
2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2
Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny dla n>1:
1 x 2n - 3
In = + In-1
2n - 2 (x2 +1)n-1 2n - 2
dx
2. Obliczyć całkę
+"
x4 + 64
Rozwiązanie. W całce tej mianownik jest wielomianem stopnia 4, wobec
czego musimy go rozło\
yć na iloczyn czynników liniowych i czynników
kwadratowych o delcie ujemnej. W tym celu dodajemy i odejmujemy w
mianowniku jednomian 16x2, otrzymamy wtedy
x4 + 64 = x4 +16x2 + 64 -16x2 = (x2 + 8)2 -16x2
89
Do ostatniej ró\
nicy mo\
emy zastosować znany wzór a2 - b2 = (a - b)(a + b) ,
mamy więc
x4 + 64 = (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x)
Otrzymanych czynników kwadratowych nie mo\
emy dalej rozkładać,
poniewa\
obydwa mają wyró\
niki ujemne. Widzimy więc, \
e dany
wielomian stopnia 4 rozkłada się na iloczyn wyłącznie czynników
kwadratowych. Funkcję podcałkową mo\
emy wobec rozło\
yć na ułamki
proste postaci:
1 Ax + B Cx + D
a" +
x4 + 64 x2 + 4x + 8 x2 - 4x + 8
Mno\
ąc przez wspólny mianownik otrzymujemy
1 a" (Ax + B)(x2 - 4x + 8) + (Cx + D)(x2 + 4x + 8),
1 a" x3(A + C) + x2 (B - 4A + D + 4C) + x(8A - 4B + 8C + 4D)(8B + 8D).
Po porównaniu współczynników przy równych potęgach x, otrzymujemy
układ równań:
0 = A + C
ńł
�ł0 = B - 4A + D + 4C
�ł
�ł
�ł0 = 8A - 4B + 8C + 4D
�ł1 = 8B + 8D
ół
1 1 1 1
skąd A = , B = , C = - , D = .
64 16 64 16
Korzystając z wyliczonych stałych, daną całkę przedstawiamy jako sumę
dwu całek w sposób następujących:
90
1 1 1 1
x + - x +
dx 1 (x + 4)dx 1 (x - 4)dx 1 1
64 16 64 16
I = = dx + dx = - = I1 - I2.
+" +" +" +" +"
x4 + 64 x2 + 4x + 8 x2 - 4x + 8 64 x2 + 4x + 8 64 x2 - 4x + 8 64 64
Całki I1, I2 wyliczymy wg metod podanych poprzednio:
(x + 4)dx 2x + 4 dx dx
1 1
I1 = = dx + 2 = ln(x2 + 4x + 8) + 2
2 2
+" +" +" +"
x4 + 4x + 8 x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8 (x + 2)2 + 4
Mianownik w ostatniej całce sprawdziliśmy do postaci kanonicznej.
Podstawiając x+2=2t mamy dx=2dt, a po podstawieniu do całki
otrzymujemy:
dx 2dt dt x + 2
1 1 1
= = = arctgt = arctg
2 2 2
+" +" 2 +" 2
(x + 2)2 + 4 4t + 4 t +1 2
Wstawiając wynik do I1 mamy:
x + 2
1
I1 = ln(x2 + 4x + 8) + arctg + C1
2
2
Liczymy w podobny sposób całkę I2:
(x - 4)dx 2x - 4 dx dx
1 1
I2 = = dx - 2 = ln(x2 - 4x + 8) - 2
2 2
+" +" +" +"
x4 - 4x + 8 x2 - 4x + 8 x2 - 4x + 8 (x - 2)2 + 4
Podstawiamy w ostatniej całce x-2=2t, skąd dx=2dt oraz
dx 2dt dt x - 2
1 1 1
= = = arctgt = arctg
2 2 2
+" +" 2 +" 2
(x - 2)2 + 4 4t + 4 t +1 2
Wracając do mamy:
x - 2
1
I2 = ln(x2 - 4x + 8) + arctg + C2
2
2
91
Podstawiając C1+C2=C, ostatecznie otrzymujemy:
dx x + 2 x - 2
�ł �ł �ł �ł
1 1 1 1
I = = ln(x2 + 4x + 8) + arctg - �ł - 4x + 8) - arctg =
ln(x2
�ł �ł �ł
64 2 64 2
+"
x4 + 64 2 2
�ł łł �ł łł
�ł �ł
x2 + 4x + 8 x + 2 x - 2
1 1
�ł �ł
= ln + arctg + arctg + C.
64 2
�ł �ł
x2 - 4x + 8 2 2
�ł łł
92