Całka nieoznaczona
Niech będzie daną funkcją określoną na pewnym dowolnym przedziale .
Twierdzenie 1. (o funkcjach pierwotnych)
Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji na przedziale , to:
a) funkcja , gdzie oznacza dowolną stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji
na przedziale ,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji na przedziale można przedstawić w postaci sumy
, gdzie jest odpowiednio do i dobraną stałą.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji na przedziale nazywamy całką nieoznaczoną
funkcji i oznaczamy symbolem .
Zatem, jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji na przedziale to:
Stałą nazywamy stałą całkowania. Wyznaczanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem
funkcji
Funkcję, która na dowolnym przedziale ma całkę (funkcję pierwotną) nazywamy całkowalną.
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że:
Podstawowe wzory rachunku całkowego:
MB
Całka nieoznaczona
Twierdzenie 2. (o istnieniu funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale , to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Twierdzenie 3.
Jeżeli funkcję i są całkowalne na pewnym przedziale, to na tym przedziale są całkowalne
funkcje oraz , gdzie k jest dowolną stałą i zachodzą wzory:
MB
2