RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI 1-ZMIENNEJ
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI 1-ZMIENNEJ
Def.
Def.
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x)
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x)
(określonej w pewnym przedziale skończonym lub
(określonej w pewnym przedziale skończonym lub
nieskończonym), jeżeli w każdym punkcie tego przedziału
nieskończonym), jeżeli w każdym punkcie tego przedziału
spełniona jest równość
spełniona jest równość
dF
= f (x)
dx
Tw.
Tw.
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w nim funkcję
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w nim funkcję
pierwotną, o takiej funkcji mówimy że jest całkowalna w sensie
pierwotną, o takiej funkcji mówimy że jest całkowalna w sensie
Newtona na tym przedziale
Newtona na tym przedziale
Tw.
Tw.
Dwie funkcje F1(x) i F2(x) są wtedy i tylko wtedy funkcjami
Dwie funkcje F1(x) i F2(x) są wtedy i tylko wtedy funkcjami
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy różnią się między sobą w
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy różnią się między sobą w
rozważanym przedziale X o stałą wartość C
rozważanym przedziale X o stałą wartość C
F2(x)
F2(x)
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
F1(x)
F1(x)
dF
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą
tgą =
dx
x=a
a
a
X
X
F2 (x) = F1(x) + C
1
1
Def.
Def.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
rozważanym przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną
rozważanym przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
f (x)dx
+"
Z tw. o funkcjach pierwotnych wynika że:
Z tw. o funkcjach pierwotnych wynika że:
f (x)dx = F(x) + C
+"
a stała C nosi nazwę stałej całkowania
a stała C nosi nazwę stałej całkowania
Znajdowanie funkcji pierwotnych  czyli całek
Znajdowanie funkcji pierwotnych  czyli całek
nieoznaczonych  nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
nieoznaczonych  nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
działaniem odwrotnym do różniczkowania, tzn.
działaniem odwrotnym do różniczkowania, tzn.
d
�ł
f (x)dxłł = f (x)
+"
�ł �ł
dx
Przykład 1.1
Przykład 1.1
Zbadać , czy funkcja 2x3+4 jest funkcją pierwotną funkcji 6x2
Zbadać , czy funkcja 2x3+4 jest funkcją pierwotną funkcji 6x2
d d
2x3 + 4 = 2 x3 + 2 = 2�"3�" x2 = 6x2
( ) ( )
dx dx
Funkcja 2x3+4 JEST funkcją pierwotną funkcji 6x2
Funkcja 2x3+4 JEST funkcją pierwotną funkcji 6x2
Zadanie 1.1
Zadanie 1.1
Zbadać , czy funkcja 2cos(x)+4 jest funkcją pierwotną funkcji
Zbadać , czy funkcja 2cos(x)+4 jest funkcją pierwotną funkcji
2sin(x)
2sin(x)
Zadanie 1.2
Zadanie 1.2
Zbadać , czy funkcja 2sin(x)+4 jest funkcją pierwotną funkcji
Zbadać , czy funkcja 2sin(x)+4 jest funkcją pierwotną funkcji
2cos(x)
2cos(x)
2
2
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji
+"adx = ax + C +"sinh(x)dx = cosh(x) + C
1
xndx = xn+1 + C ; n `" -1
+"
n +1 +"cosh(x)dx = sinh(x) + C
1
1
dx = - coth(x) + C
x-1dx = dx = ln x + C
+"
+" +"
sinh2 (x)
x
ax
x
dx = -tgh(x) + C
+"a dx = + C ; a > 0, a `" 1 1
+"
ln(a)
cosh2 (x)
x
+"e dx = ex + C ; e = 2.718... +"sin(x)dx = - cos(x) + C
+"ln(x)dx = x ln(x) - x + C +"cos(x)dx = sin(x) + C
1
1
dx = arcsin(x) + C
dx = - cot(x) + C
+"
+"
sin2 (x)
1- x2
1
1
dx = tg(x) + C
+"
+"1+ x2 dx = arctg(x) + C
cos2 (x)
Tw
Tw
Jeżeli funkcje f(x) oraz h(x) są całkowalne w sensie Newtona w
Jeżeli funkcje f(x) oraz h(x) są całkowalne w sensie Newtona w
pewnym przedziale, to funkcje
pewnym przedziale, to funkcje
f(x)+h(x) oraz a*f(x) (a  stała)
f(x)+h(x) oraz a*f(x) (a  stała)
Są także całkowalne w sensie Newtona w tym przedziale, oraz
Są także całkowalne w sensie Newtona w tym przedziale, oraz
+"[ f (x) + h(x)]dx = +"[ f (x)]dx + +"[h(x)]dx
f (x)dx
+"af (x)dx = a+"
Przykład 1.2
Przykład 1.2
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji : 2x+5(2x)
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji : 2x+5(2x)
1 �ł łł 5
2x
�ł
xdx + 5 2x dx = 2 x2 łł + 5 = x2 + 2x
( )łł ( ) ( )
�łln 2śł ln 2
+"�ł2x + 5 2x dx = +"2xdx + +"5 2x dx = 2+" +" �ł śł
�ł �ł
2
�ł �ł
�ł �ł
3
3
Zadanie 1.3
Zadanie 1.3
5
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
x3
Zadanie 1.4
Zadanie 1.4
2sin(x) + 3cos(x)
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Zadanie 1.5
Zadanie 1.5
1
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
3 4 - (2x)2
Zadanie 1.6
Zadanie 1.6
ln(5x)
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Zadanie 1.7
Zadanie 1.7
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
4x x x
Techniki całkowania
Techniki całkowania
Całkowanie przez podstawienie.
Całkowanie przez podstawienie.
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyjściowego wyznaczenia całki
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyjściowego wyznaczenia całki
nieoznaczonej do równoważnego zagadnienia , o znanej
nieoznaczonej do równoważnego zagadnienia , o znanej
całce nieoznaczonej
całce nieoznaczonej
Tw.
Tw.
Jeżeli f(x)=g[h(x)]*h (x), funkcja t=h(x) ma ciągłą pochodną w
Jeżeli f(x)=g[h(x)]*h (x), funkcja t=h(x) ma ciągłą pochodną w
przedziale (a,b), gdzie t"(A,B) gdy x"(a,b) , a funkcja g(t) jest
" "
" "
przedziale (a,b), gdzie t"(A,B) gdy x"(a,b) , a funkcja g(t) jest
" "
" "
" "
" "
ciągła w (A,B) to zachodzi
ciągła w (A,B) to zachodzi
f (x)dx = g h(x) h '(x)dx = g t dt
[ ] ( )
+" +" +"
4
4
Przykład 1.3
Przykład 1.3
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji cos(6x)
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji cos(6x)
1 1 1 1
=
+"cos(6x)dx = +"cos(t) 6dt = +"cos(t)dt = sin t + C = = sin 6x + C
6 6 6
t = h(x) = 6x
1
dt = h '(x)dx = 6dx dx = dt
6
Przykład 1.4
Przykład 1.4
1
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
4 + x2
1 1 1 1
dx = dx = dx =
+" +" +" 2
1 4
4 + x2 �ł1+ x2 �ł �ł �ł
x
�ł �ł
4
�ł �ł
�ł �ł
4 �ł1+ �ł 2 �ł �ł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
1 1 1 1 2 1 2 2 x
�ł �ł
dx = = 2dt = dt = arctg(t) + C = = arctg + C
�ł �ł
+" 2 +" +"
4 �ł �ł 4 4 4 4 2
1+ t2 1+ t2 �ł łł
x ( ) ( )
�ł �ł
�ł �ł
�ł1+ �ł 2 �ł �ł
�ł łł
�ł łł
x
t = h(x) =
2
1
dt = h '(x)dx = dx dx = 2dt
2
Przykład 1.5
Przykład 1.5
3
x2e-x
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
-1 -1 1 1
t
x2e- x3 dx = = x2et dt = dt = - et + C = = - e- x3 + C
+" +" +"e
3x2 3 3 3
t = h(x) = -x3
-1
dt = h'(x)dx = -3x2dx dx = dt
3x2
Przykład 1.6
Przykład 1.6
(2x + 3)6
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
1 1 1 1 1
6 6
+"(2x + 3)6 dx = = +"t dt = +"t dt = t7 + C = = (2x + 3)7 + C
2 2 2 6 +1 14
t = h(x) = 2x + 3
1
dt = h'(x)dx = 2dx dx = dt
2
5
5
Zadanie 1.8
Zadanie 1.8
ln x
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji:
x 1+ 2ln x
Podpowiedz
: zastosuj dwukrotnie podstawienie, najpierw by
Podpowiedz
: zastosuj dwukrotnie podstawienie, najpierw by
pozbyć się ln(x) a następnie by pozbyć się pierwiastka.
pozbyć się ln(x) a następnie by pozbyć się pierwiastka.
ln x t 1 t
dx = = dx = dt
+" +" +"
x
x 1+ 2ln x 1+ 2t 1+ 2t
t = ln x
1 podstawienie
1 podstawienie
1
dt = dx
x
t t 1 dt 1 1 1
�ł
2
dt = = dt = (s2 -1) = -1)ds = s3 - s�ł + C
�ł �ł
+" +" +" +"(s
2 2 2 3
1+ 2t 1+ 2t 1+ 2t �ł łł
2
2
1
s = h(t) = 1+ 2t t = s2 -1
( )
podsta
podsta
2
,
1/ 2 1 -1/ 2 dt
-wienie
-wienie
�ł łł
ds = h '(t)dt = 1+ 2t dt = 1+ 2t 2dt =
( ) ( )
�ł �ł
2
1+ 2t
3
t 1 1
dt = 1+ 2t - 1+ 2t + C
( )
+"
6 2
1+ 2t
3 3
t 1 1 1 1
dt = 1+ 2t - 1+ 2t + C = = 1+ 2ln x - 1+ 2ln x + C
( ) ( )
+"
6 2 6 2
1+ 2t
Całkowanie przez części
Całkowanie przez części
Tw.
Tw.
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe
pochodne u (x) i v (x) to obowiązuje
pochodne u (x) i v (x) to obowiązuje
+"u(x)v '(x)dx = u(x)v(x) - +"v(x)u '(x)dx
Przykład 1.7
Przykład 1.7
xex
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
x
xexdx = = xex - 1dx = xex - ex + C = ex (x -1) + C
+" +"e
u(x) = x u '(x) = 1
v '(x) = ex v(x) = ex
6
6
Przykład 1.8
Przykład 1.8
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji
Oblicz całkę nieoznaczoną funkcji x2 sin x
x2 sin xdx = = -x2 cos(x) + cos(x)dx
+" +"2x
u(x) = x2 u '(x) = 2x
v '(x) = sin x v(x) = - cos(x)
+"2x cos(x)dx = = 2 �łxsin(x) - +"1sin(x)dxłł = 2[xsin(x) + cos(x)]+ C
�ł �ł
u(x) = x u '(x) = 1
v '(x) = cos(x) v(x) = sin(x)
x2 sin xdx = -x2 cos(x) + 2 xsin(x) + cos(x) + C = -x2 cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C
[ ]
+"
x2 sin xdx = -x2 cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C
+"
Wzory rekurencyjne uzyskane dzięki zastosowaniu
Wzory rekurencyjne uzyskane dzięki zastosowaniu
całkowania przez części
całkowania przez części
xnexdx = xnex - xn-1exdx ; n = 1, 2,...
+" +"
1 n -1
n n-2
+"sin (x)dx = - cos(x)sinn-1(x) + +"sin (x)dx ; n = 2,3,...
n n
1 n -1
n n-2
+"cos (x)dx = sin(x) cosn-1(x) + +"cos (x)dx ; n = 2,3,...
n n
n n n-1
+"(ln x) dx = x(ln x) - n+"(ln x) dx ; n = 1, 2,...
xn sin(x)dx = -xn cos(x) + n xn-1 cos(x)dx ; n = 1, 2,...
+" +"
xn cos(x)dx = xn sin(x) - n xn-1 sin(x)dx ; n = 1, 2,...
+" +"
7
7
Inne użyteczne wzory całkowania
Inne użyteczne wzory całkowania
d
f (x)dx = f '(x)dx = f (x) + C
dx
+" +"
n+1
n f (x)
[ ]
+ C ; n `" -1
+"[ f (x)] f '(x)dx =
n +1
f '(x)
dx = ln f (x) + C
+"
f (x)
f '(x)g(x) - g '(x) f (x) f (x)
dx = + C
+"
g2 (x) g(x)
f '(x)g(x) - g '(x) f (x) f (x)
dx = ln + C
+"
f (x)g(x) g(x)
f '(x)
2
dx = ln f (x) + f (x) + a
+"
2
f (x) + a
f (x) dx
+"1- f (x) dx = -x ++"1- f (x)
Całkowanie funkcji wymiernych
Całkowanie funkcji wymiernych
Iloraz dwóch wielomianów FN(x) i fn(x) nazywamy funkcją
Iloraz dwóch wielomianów FN(x) i fn(x) nazywamy funkcją
wymierną ( określoną na zbiorze punktów, dla których fn(x) `" 0 )
`"
`"
wymierną ( określoną na zbiorze punktów, dla których fn(x) `" 0 )
`"
`"
`"
`"
FN (x)
W (x) =
fn (x)
Jeżeli stopień  m wielomianu gm(x) jest mniejszy od stopnia  n
Jeżeli stopień  m wielomianu gm(x) jest mniejszy od stopnia  n
wielomianu fn(x) , to funkcje wymierną
wielomianu fn(x) , to funkcje wymierną
gm (x)
W (x) = ; m < n
fn (x)
nazywamy ułamkiem właściwym
nazywamy ułamkiem właściwym
Rozkładem funkcji wymiernej nazywamy operacje wydzielenia
Rozkładem funkcji wymiernej nazywamy operacje wydzielenia
wielomianu FN(x) przez wielomian fn(x) , w wyniku czego
wielomianu FN(x) przez wielomian fn(x) , w wyniku czego
otrzymujemy część całkowitą Ek(x) (wspólną) i resztę gm(x)
otrzymujemy część całkowitą Ek(x) (wspólną) i resztę gm(x)
FN (x) gm (x)
= Ek (x) + ; m < n
fn (x) fn (x)
8
8
Przykład 1.9
Przykład 1.9
9z5 + 2z +1
Dokonać rozkładu funkcji wymiernej w(z)
Dokonać rozkładu funkcji wymiernej w(z)
w(z) =
na część całkowitą i ułamek właściwy 3z2 +1
na część całkowitą i ułamek właściwy
F(z) f (z) E(z)
9z5 + 2z +1 : 3z2 +1 = 3z3 - z
9z5 + 3z3
- 3z3 + 2z +1
-3z3 - z
3z +1 = g(z)
9z5 + 2z +1 3z +1
= 3z3 - z +
( )
3z2 +1 3z2 +1
Każdy wielomian rzeczywisty może być przedstawiony w postaci
Każdy wielomian rzeczywisty może być przedstawiony w postaci
iloczynu następujących czynników rzeczywistych
iloczynu następujących czynników rzeczywistych
1. Stałej a0 (czynnik przy najwyższej potędze)
1. Stałej a0 (czynnik przy najwyższej potędze)
2. Czynników liniowych typu (x-a)
2. Czynników liniowych typu (x-a)
3. Czynników kwadratowych typu (x2+px+q) , gdzie p2-4q<0
3. Czynników kwadratowych typu (x2+px+q) , gdzie p2-4q<0
Każdą funkcję wymierną w postaci ułamka właściwego można
Każdą funkcję wymierną w postaci ułamka właściwego można
przedstawić w postaci sumy:
przedstawić w postaci sumy:
A
1. Ułamków prostych 1 rodzaju
1. Ułamków prostych 1 rodzaju
(x - a)r
Ax + B
2. Ułamków prostych 2 rodzaju
2. Ułamków prostych 2 rodzaju
(x2 + px + q)s
gdzie A,B,p,q rzeczywiste, p2-4q<0 , zaś r,s to liczby naturalne.
gdzie A,B,p,q rzeczywiste, p2-4q<0 , zaś r,s to liczby naturalne.
g(x) A A A1 Ms x + Ks Ms-1x + Ks-1 M1x + K1
r r -1
= + + + + + + + +
f (x) (x - a)r (x - a)r -1 (x - a) (x2 + px + q)s (x2 + px + q)s-1 (x2 + px + q)
9
9
Aby scałkować dowolną funkcję wymierną postaci
Aby scałkować dowolną funkcję wymierną postaci
FN (x)
w(x) =
fn (x)
gdzie F(x) oraz f(x) są dowolnymi wielomianami nie mającymi
gdzie F(x) oraz f(x) są dowolnymi wielomianami nie mającymi
wspólnych czynników, należy najpierw wydzielić część
wspólnych czynników, należy najpierw wydzielić część
wspólną E(x), a następnie całkować osobno tę część całkowitą
wspólną E(x), a następnie całkować osobno tę część całkowitą
oraz funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym:
oraz funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym:
F(x) g(x)
dx = E(x)dx + dx
+" +" +"
f (x) f (x)
Całkowanie ułamka właściwego (stopień wielomianu g(x) licznika
Całkowanie ułamka właściwego (stopień wielomianu g(x) licznika
jest mniejszy od stopnia wielomianu f(x) mianownika),
jest mniejszy od stopnia wielomianu f(x) mianownika),
przebiega dwuetapowo:
przebiega dwuetapowo:
1. Rozkład ułamka właściwego g(x)/f(x) na ułamki proste
1. Rozkład ułamka właściwego g(x)/f(x) na ułamki proste
2. Całkowanie ułamków prostych
2. Całkowanie ułamków prostych
Całki ułamków prostych
Całki ułamków prostych
A
ńł
A
�ł(1- r) (x - a)1-r + C dla r e" 2
dx =
�ł
+"
(x - a)r �ł
Aln x - a + C dla r = 1
ół
2B- Ap 2x+ p
A
ńł
ln x2 + px + q + arctg + C ;dla r = 1
2
-" -"
�ł
Ax + B
�ł
(1-r )
dx = r -1/ 2 dt
�ł Ap
+" r A 4
;dla r = 2,3,...
( )
( ) ( )
2 -" +" r
x2 + px + q �ł2(1-r ) x2 + px + q + B -
( )
1+ t2
( )
�ł
ół
UWAGA: "=p2-4q
"
"
UWAGA: "=p2-4q
"
"
"
"
dt
+" r
Wyznaczenie całki można dokonać drogą
Wyznaczenie całki 1+ t2 można dokonać drogą
( )
zastosowania (r-1) - krotnie wzoru rekurencyjnego postaci:
zastosowania (r-1) - krotnie wzoru rekurencyjnego postaci:
dt 1 x 2r - 3 dt
= +
+" r -1 +" r -1
1+ t2 2(r -1) (x2 +1)r 2r - 2 1+ t2
( ) ( )
10
10
Przykład:
Przykład:
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
x6 - 2x5 + 5x4 -8x3 + 4x2 + x +1
x5 - x4 + 4x3 - 4x2
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Krok 1. Wydziel wielomian przez wielomian aby uzyskać część całkowitą i
Krok 1. Wydziel wielomian przez wielomian aby uzyskać część całkowitą i
ułamek właściwy
ułamek właściwy
x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1: x5 - x4 + 4x3 - 4x2 = x -1
( )
x6 - x5 + 4x4 - 4x3
- x5 + x4 - 4x3 + 4x2 + x +1
- x5 + x4 - 4x3 + 4x2
x +1
F(x) g(x)
= E(x) +
f (x) f (x)
x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1 x +1
= x -1 +
( )
x5 - x4 + 4x3 - 4x2 x5 - x4 + 4x3 - 4x2
Krok 2. Sprowadz
mianownik ułamka właściwego do postaci iloczynowej
Krok 2. Sprowadz
mianownik ułamka właściwego do postaci iloczynowej
zawierającej czynniki liniowe i kwadratowe
zawierającej czynniki liniowe i kwadratowe
x5 - x4 + 4x3 - 4x2 = x4 x -1 + 4x2 x -1 =
( ) ( )
= x -1 x4 + 4x2 = x2 x -1 x2 + 4
( ) ( )
( ) ( )
Uzyskaliśmy zatem następujące postaci części całkowitej E(x) oraz
Uzyskaliśmy zatem następujące postaci części całkowitej E(x) oraz
ułamka właściwego g(x)/f(x)
ułamka właściwego g(x)/f(x)
E(x) = x -1
( )
g(x) x +1 x +1
= =
f (x) x5 - x4 + 4x3 - 4x2 -1 x2 + 4
x2 x
( )
( )
Krok 3. Oblicz całkę nieoznaczoną części całkowitej
Krok 3. Oblicz całkę nieoznaczoną części całkowitej
1
I1 = E(x)dx = -1 dx = x2 - x + C1
2
+" +"(x )
11
11
Krok 4. Przedstaw ułamek właściwy g(x)/f(x) jako sumę ułamków prostych
Krok 4. Przedstaw ułamek właściwy g(x)/f(x) jako sumę ułamków prostych
g(x) x +1 A B C Dx + E
= = + + +
f (x) -1 x2 + 4
x x2 x -1 x2 + 4
x2 x
( )
( )
Aby wyznaczyć wartości współczynników A,B,C,D i E , sprowadzamy sumę
Aby wyznaczyć wartości współczynników A,B,C,D i E , sprowadzamy sumę
ułamków prostych do wspólnego mianownika.
ułamków prostych do wspólnego mianownika.
x +1 A B C Dx + E
= + + + =
x x2 x -1 x2 + 4
x2 x -1 x2 + 4
( )
( )
Ax(x -1) x2 + 4 + B(x -1) x2 + 4 + Cx2 x2 + 4 + Dx + E x2 (x -1)
( ) ( ) ( ) ( )
= =
x2 x -1 x2 + 4
( )
( )
= Ax4 + 4Ax2 - Ax3 - 4Ax + Bx3 + 4Bx - Bx2 - 4 + B + Cx4 + 4Cx2 + Dx4 - x3D + x3E - x2E
= -4B + 4(B - A)x + (4A + 4C - E - B)x2 + (B + E - A - D)x3 + (A + C + D)x4
Ponieważ równość obu stron musi zachodzić dla każdej wartości
Ponieważ równość obu stron musi zachodzić dla każdej wartości
argumentu x, wystarczy tożsamościowo porównać liczniki, by uzyskać
argumentu x, wystarczy tożsamościowo porównać liczniki, by uzyskać
zestaw warunków, które muszą spełniać stałe:
zestaw warunków, które muszą spełniać stałe:
x +1 a" -4B + 4(B - A)x + (4A + 4C - E - B)x2 + (B + E - A - D)x3 + (A + C + D)x4
x +1 a" -4B + 4(B - A)x + (4A + 4C - E - B)x2 + (B + E - A - D)x3 + (A + C + D)x4
x0 : - 4B = 1
x : 4(B - A) = 1
x2 : (4A + 4C - E - B) = 0
x3 : (B + E - A - D) = 0
x4 : (A + C + D) = 0
Uzyskany układ 5 równań liniowych z pięcioma niewiadomymi A,B,C,D,E
Uzyskany układ 5 równań liniowych z pięcioma niewiadomymi A,B,C,D,E
należy rozwiązać, by uzyskać:
należy rozwiązać, by uzyskać:
1 1 2 1 3
A = - ; B = - ; C = ; D = ; E = -
2 4 5 10 20
Ostatecznie, ułamek właściwy g(x)/f(x) przyjmie postać:
Ostatecznie, ułamek właściwy g(x)/f(x) przyjmie postać:
1 3
x -
x +1 1 1 2
10 20
= - - + +
2x 4x2 5 x -1 x2 + 4
x2 x -1 x2 + 4 ( )
( )
( )
12
12
Krok 5. Obliczenie całki ułamka właściwego g(x)/f(x) rozłożonego na ułamki
Krok 5. Obliczenie całki ułamka właściwego g(x)/f(x) rozłożonego na ułamki
proste
proste
1 3
�ł
x - �ł
x +1 1 1 2
10 20
I2 = dx = - - + +
+" +"�ł 2x 4x2 5(x -1) x2 + 4 �ł dx =
�ł �ł
x2 x -1 x2 + 4
( )
( )
�ł łł
1 3
�ł �ł
x
1 1 2 �ł - �ł
�ł �ł �ł �ł
10 20
= - dx - dx +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
+"�ł 2x łł +"�ł 4x2 łł +"�ł 5(x -1) �łdx + +"�ł x2 + 4 łłdx
�ł �ł
�ł łł
1
�ł �łdx 1
�ł �ł 2
+"�ł 2x łł = ln x
1 1
�ł �łdx 1
�ł �ł
+"�ł 4x2 łł = - 4
x
�ł �ł
2
2
5
+"�ł 5(x -1) �łdx = ln x -1
�ł �ł
�ł łł
1 3
x
�ł - �ł
10 20 1 3
arctg(1 x)
�ł �łdx 20
+"�ł x2 + 4 łł = ln(x2 + 4) - 40 2
Krok 6. Zebranie otrzymanych wyników etapów obliczeń w formie całki
Krok 6. Zebranie otrzymanych wyników etapów obliczeń w formie całki
nieoznaczonej zadanej funkcji wymiernej
nieoznaczonej zadanej funkcji wymiernej
x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1
dx =
+"
x5 - x4 + 4x3 - 4x2
1
1 1 1 2 1 3
= x2 - x + ln x - + ln x -1 ln(x2 + 4) - arctg(1 x) + C
2 2 4 5 20 40 2
x
Zadanie 1.9
Zadanie 1.9
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
Wyznacz całkę ogólną funkcji wymiernej
2x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1
x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x -1
13
13
Rozwiązanie zadania 1.9
Rozwiązanie zadania 1.9
�ł
2x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1 1 1 21+ 5x 1 -9 + 5x �ł
�ł �ł
= 2x + - -
�ł �ł �ł
x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x -1 4(x -1) 4 x2 +1 2 (x2 +1)2 �ł
�ł łł
�ł łł
2x6 - 2x5 + 5x4 - 8x3 + 4x2 + x +1
dx =
+"
x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x -1
-18x -10
1 5 1
= x2 + ln x -1 - ln x2 +1 3arctg(x) - + C
( )-
4 5 8
x2 +1
Całki funkcji niewymiernych
Całki funkcji niewymiernych
Def.
Def.
Funkcją algebraiczną nazywam,y taką funkcję y=f(x) która
Funkcją algebraiczną nazywam,y taką funkcję y=f(x) która
spełnia równanie postaci
spełnia równanie postaci
an(x) �" yn + an-1(x) �" yn-1 + . . . + a1(x) �" y1 + a0(x) = 0
�" �" �"
�" �" �"
an(x) �" yn + an-1(x) �" yn-1 + . . . + a1(x) �" y1 + a0(x) = 0
�" �" �"
�" �" �"
�" �" �"
�" �" �"
Gdzie a0(x),...,an(x) są wielomianami ( an(x)`"0 ), n  l. całkowita.
`"
`"
Gdzie a0(x),...,an(x) są wielomianami ( an(x)`"0 ), n  l. całkowita.
`"
`"
`"
`"
Funkcje nie będące funkcjami algebraicznymi, noszą nazwę
Funkcje nie będące funkcjami algebraicznymi, noszą nazwę
funkcji przestępnych, należą do nich np. funkcje:
funkcji przestępnych, należą do nich np. funkcje:
trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne ...
trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne ...
Def.
Def.
Funkcje algebraiczne dzielimy na wymierne (będące
Funkcje algebraiczne dzielimy na wymierne (będące
wielomianami lub ilorazami wielomianów) i funkcje
wielomianami lub ilorazami wielomianów) i funkcje
niewymierne , jakimi są np. poniższe funkcje:
niewymierne , jakimi są np. poniższe funkcje:
3
2 x -1 +1
( )
2x2 -1 ;
2x2 +1
14
14
Przykład
Przykład
3x3 - 3x2
Sprawdz
, czy funkcja jest funkcją algebraiczną.
Sprawdz
, czy funkcja jest funkcją algebraiczną.
x2 - 2x +1
3x3 - 3x2
y = f (x) =
x2 - 2x +1
a1(x) y + a0 (x) = 0
3x3 - 3x2
a1(x) + a0 (x) ? = ? 0
x2 - 2x +1
a1(x) = x2 - 2x +1 ; a0 (x) = -( - 3x2
3x3
( ) )
3x3 - 3x2
a1(x) + a0 (x) = 3x3 - 3x2 -( - 3x2 = 0
3x3
)
x2 - 2x +1
Przykład
Przykład
3x2 - 2x +1
Sprawdz
, czy funkcja jest funkcją algebraiczną.
Sprawdz
, czy funkcja jest funkcją algebraiczną.
y = f (x) = 3x2 - 2x +1
1�" y2 -( - 2x +1 = 3x2 - 2x +1-( - 2x +1 = 0
3x2 3x2
) )
Algorytm wyznaczania całek funkcji niewymiernych
Algorytm wyznaczania całek funkcji niewymiernych
sprowadza się do zastosowania odpowiedniego podstawienia,
sprowadza się do zastosowania odpowiedniego podstawienia,
transformującego funkcję niewymierną w funkcję wymierną,
transformującego funkcję niewymierną w funkcję wymierną,
dla której możemy zastosować technikę całkowania przez
dla której możemy zastosować technikę całkowania przez
rozkład na ułamki proste.
rozkład na ułamki proste.
całka podstawienie uwagi
całka podstawienie uwagi
�ł �ł
ax + b ax + b
n n
N x, dx z =
�ł �ł
+"
�ł �ł
cx + d cx + d
�ł łł
N x, x2 + a dx z = x + x2 + a
( )
+"
1+ x
N x, 1- x2 dx z =
( )
+"
1- x
b
ńł
z = x a + gdy a > 0 ; " `" 0
�ł
2 a
�ł
�ł a
b
�ł �ł
N x, ax2 + bx + c dx z = 2x + gdy a < 0
�ł
( ) �ł �ł
+"
a
" �ł łł
�ł
�ł
oraz " = b2 - 4ac > 0
�ł
ół
15
15
Przykład
Przykład
1
dz
+"
Oblicz całkę nieoznaczoną
Oblicz całkę nieoznaczoną
cz + d + z2 + a
Podstawienie: t = z + z2 + a
Podstawienie:
2
2
t )
( - z = z2 + a = z2 + a t2 - 2zt + z2 = z2 + a
( )
a + t2
1 a
z = (t - ) dz = dt
2 t
2t2
Przekształcamy 1 1
Przekształcamy
dz = dz
+" +"
f. podcałkową
f. podcałkową cz + d + z2 + a (c -1)z + d + z + z2 + a
Podstawiamy:
Podstawiamy:
1 1 a + t2
dz = dt
+" +"
1 a
(c -1) (t - ) + d + t 2t2
(c -1) z + d + z + z2 + a ę! 2 t
ę! a+t2
ę!
dt
1 a
(t - ) 2t2
2 t t
a + t2 a + t2
dt = dt
+" +"
1 a
(c -1)(t - )t2 + 2dt2 + 2t3 (c -1)(t3 - at) + 2dt2 + 2t3
2 t
a + t2
= dt
+"
2dt2 + t3(c +1) - a(c -1)t
Rozkładamy na ułamki proste, i wyznaczamy całkę ze względu
Rozkładamy na ułamki proste, i wyznaczamy całkę ze względu
na t, a następnie podstawiamy zwrotnie z
na t, a następnie podstawiamy zwrotnie z
1
dz
+"
Przykład
Przykład
3 z -1 + z2 + 3
( )
Podstawienie
Podstawienie
t = z + z2 + 3
1 t2 - 3 1 t2 + 3
t - z = z2 + 3 itd. z = dz = dt
2 t 2 t2
1 1
dz = dz =
+" +"
3 z -1 + z2 + 3 2z - 3 + z + z2 + 3
( )
�ł �ł
1 1 t2 + 3 1 t2 + 3
dt = dt
�ł �ł
+" +"
1 t2 - 3 2 t2 łł 2 2t3 - 3t2 - 3t
�ł
2 - 3 + t
2 t
Przekształcamy funkcję podcałkową:
Przekształcamy funkcję podcałkową:
t2 + 3 t2 + 3 t2 + 3
= =
t t
2t3 - 3t2 - 3t - 3t - 3 ( - t1 t - t2
t 2t2 )( )
( )
1 1
t1 = 3 + 33 ; t2 = 3 - 33
( ) ( )
4 4
Rozkładamy na ułamki proste:
Rozkładamy na ułamki proste:
t2 + 3 A B D
= + +
t t - t1 t - t2 t t - t1 t - t2
( )( ) ( ) ( )
16
16
Obliczenie całki nieoznaczonej
Obliczenie całki nieoznaczonej
dla przypomnienia  (całki ułamków prostych):
dla przypomnienia  (całki ułamków prostych):
A
ńł
A
�ł(1- r) (x - a)1-r + C dla r e" 2
dx =
�ł
+"
(x - a)r �ł
Aln x - a + C dla r = 1
ół
Całkujemy:
Całkujemy:
�ł �ł
1 t2 + 3 1 A 1 B 1 D
dt + dt + dt =
+"�ł ( )( ) �ł dt = +" +" +"
�ł
2 t t - t1 t - t2 �ł 2 t 2 t - t1 2 t - t2
( ) ( )
�ł łł
1 1 1
= Aln t + B ln t - t1 + D ln t - t2 + C
2 2 2
Podstawiamy zwrotnie:
Podstawiamy zwrotnie:
1
dz =
+"
3 z -1 + z2 + 3
( )
1 1 1
Aln z + z2 + 3 + B ln z + z2 + 3 - t1 + D ln z + z2 + 3 - t2 + C
2 2 2
1 1
gdzie : t1 = 3 + 33 ; t2 = 3 - 33
( ) ( )
4 4
Całki funkcji trygonometrycznych R(sinx,cosx)
Całki funkcji trygonometrycznych R(sinx,cosx)
sprowadzalne do całek funkcji wymiernych
sprowadzalne do całek funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sin(x), v=cos(x),
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sin(x), v=cos(x),
postaci :
postaci :
R(sin x,cos x)dx
+"
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
podstawieniu :
podstawieniu :
x
�ł �ł
t = tan
�ł �ł
2
�ł łł
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
2t x 1- cos x
sin x = tan =
co można udowodnić, bowiem
co można udowodnić, bowiem
1+ t2
2 sin x
1- cos x 1- cos x
2
x
2t 2 tan
2 sin x sin x
sin x = = = = 2 =
2
1+ t2 1+ tan2 x �ł1- cos x
1- 2cos x + cos2 x
2 �ł
1+
1+
�ł �ł
sin2 x
sin x
�ł łł
1- cos x
sin2 x
1- cos x sin x 1- cos x sin x
( ) ( )
sin x
2 = 2 = = sin x
sin2 x +1- 2cos x + cos2 x 2 - 2cos x 1- cos x
( )
17
17
x 1- cos x
1- t2
tan =
co można udowodnić, bowiem
cos x = co można udowodnić, bowiem
2 sin x
1+ t2
2
1- cos x
�ł �ł
1- 2cos x + cos2 x
1-
1- tan2 �ł �ł 1-
1- t2 x �ł sin x
łł
2 sin2 x
cos x = = = = =
2
1+ t2 1+ tan2 x �ł1- cos x
1- 2cos x + cos2 x
2 �ł
1+
1+
�ł �ł
sin2 x
sin x
�ł łł
1- cos x cos x
sin2 x -1+ 2cos x - cos2 x 2cos x - 2cos2 x 2 ( )
= = = cos x
sin2 x +1- 2cos x + cos2 x 2 - 2cos x 2 1- cos x
( )
Ponadto, w celu wyrażenia różniczki dt, obustronnie
Ponadto, w celu wyrażenia różniczki dt, obustronnie
2t
różniczkujemy wyrażenie:
różniczkujemy wyrażenie:
sin x =
1+ t2
2(1+ t2 ) - 2t(2t) 2 + 2t2 - 4t2 1- t2 1- t2 2
cos xdx = dt = dt = 2 dt = dt
2 2 2
( ) ( )
1+ t2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 1+ t2
( ) ( ) ( )
2
cos xdx = cos x dt
1+ t2
( )
2
dx = dt
1+ t2
( )
2
dx = dt
1+ t2
( )
sin2 x + 3
Przykład:
Przykład:
dx = ?
+"
3 cos x + sin x
Technika podstawienia:
Technika podstawienia:
2
ńłt = tan x ;dx = dt�ł
( )
2
�ł
1+ t2 �ł 2
( )
�ł �ł 2t
�ł �ł
+ 3
�ł
sin2 x + 3 1- t2 �ł �ł1+ �ł 2
�ł t2 łł
�ł
dx = ...�ł cos x = dt
�ł żł... =
+" +"
1+ t2 �ł 1- t2 2t
3 cos x + sin x 1+ t2
( )
�ł
3 +
�ł 2t �ł
1+ t2 1+ t2
sin x =
�ł
1+ t2 �ł
�ł �ł
ół �ł
Przekształcamy wymierną funkcję podcałkową:
Przekształcamy wymierną funkcję podcałkową:
2
4t2 + 3 1+ t2
2 ( )
2t
�ł �ł
2 2
+ 3
�ł1+ t2 �ł
1+ t2 4t2 + 3 1+ t2
( ) ( )
2
�ł łł
= 2 = 2
2
1- t2 2t 1+ t2 3 1- t2 + 2t
( ) ( ) 3 1- t2 + 2t 1+ t2
( ( ) ( )
)
3 +
1+ t2
( )
1+ t2 1+ t2
1+ t2
( )
Wyrażamy wielomian kwadratowy w formie czynnikowej:
Wyrażamy wielomian kwadratowy w formie czynnikowej:
ńł �ł
" = 16 ; " = 4
�ł
1
3 1- t2 + 2t = - 3t2 + 2t + 3 = ..�ł
( ( ) ) �ł żł.. = - 3 - 3 + 3
(t )(t )
3
1
�łt = 3 ; t2 = - 3�ł
ół 1 3 �ł
Zatem funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym, postaci:
Zatem funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym, postaci:
2
4t2 + 3 1+ t2
( )
2 3t4 +10t2 + 3
2 =
2 2
1
3 1- t2 + 2t 1+ t2 - 3 - 3 t + 3 1+ t2
t
( ( ) ( ) ( )( )
) ( )
3
18
18
Rozkładamy ułamek właściwy na ułamki proste:
Rozkładamy ułamek właściwy na ułamki proste:
3t4 +10t2 + 3 A B Ct + D Et + F
= + + +
2
1
1
1+ t2 1+ t2 2
t
t
( ) ( ) ( ) ( )
( - 3 t + 3 1+ t2 - 3 t + 3 ( )
)( ) 3
3
Rozwinięcie licznika prawej strony względem potęg t
t5 A + B + C +
( )
2
t4 1 3A - 3B - 3C + D
( )+
3 3
2
t3 + 2B - 3D + E
(2A )+
3
2 2
t2 2 3A - 2 3B - 3C - 3E + F +
( )
3 3 3
2 2
t + B - C - 3D - E - 3F
(A )+
3 3
t0 1 3A - 3B - D - F
( )
3
Układ równań liniowych algebraicznych, prowadzi do
Układ równań liniowych algebraicznych, prowadzi do
wyznaczenia stałych A, B, C, D, E, F :
wyznaczenia stałych A, B, C, D, E, F :
�ł 1 1 1 0 0 0 łł 15
�ł łł
3
A 0 A
�ł łł �ł łł �ł łł
16
�ł1 śł
�ł śł
2
�ł �ł śł �ł śł
3 - 3 - 3 1 0 0 15
�ł 3 3 śł
Bśł 3 B
�ł- 3śł
16
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
2 �ł śł
2 2 0 - 3 1 0 �ł śł �ł śł �ł śł
C 0 C
3 0
�ł śł
�ł śł
� = =
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 2 2 2 śł 3
�ł - śł
3 -2 3 - 3 0 - 3 1
3 3 3 �łDśł �ł10śł �łDśł 4
�ł śł
�ł śł
2 2 1
�ł
1 1 -1 - 3 -1 - 3śł �łE śł �ł 0 śł �łE śł - 3
�ł śł
3 3 2
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł
�ł śł
3 3
�ł śł �ł śł �ł śł
�łF �ł �ł �ł �łF �ł
�ł1 3 - 3 0 -1 0 -1 śł �ł 2 �ł
�ł 3 �ł
Obliczamy całki ułamków prostych:
Obliczamy całki ułamków prostych:
A
15
dt =Aln t - 3 + C1 = 3 ln t - 3 + C1
+" 16
(t - 3
)
B
1 15 1
dt = B ln t + 3 + C2 = - 3 ln t + 3 + C2
+" 3 16 3
1
t + 3
( )
3
Ct + D 1
3
dt = C ln 1+ t2 + D arctan(t) + C3 = - arctan(t) + C3
( )
+" 4
1+ t2 2
( )
Et + F 1 2Ft - 2E 1 1 3t + 3
3
dt = + F arctan(t) + C4 = + arctan(t) + C4
+" 2
4 1+ t2 4
1+ t2 4 1+ t2 2
( )
Całka funkcji wymiernej ze względu na  t wynosi przeto:
Całka funkcji wymiernej ze względu na  t wynosi przeto:
3t4 +10t2 + 3
dt =
+" 2
1
( )
(t - 3 + 3 1+ t2
)(t )
3
1 3t + 3
15 15 1 3 3
3 ln t - 3 - 3 ln t + 3 - arctan(t) + + arctan(t) + (C1 + C2 + C3 + C4 )
16 16 3 4
4 1+ t2 4
sin2 x + 3 2 3t4 +10t2 + 3
dx = dt =
+" +" 2
1
3 cos x + sin x - 3 - 3 + 3 1+ t2
( )
(t )(t )
3
1 3t + 3
15 15 1
3 ln t - 3 - 3 ln t + 3 + + C5
16 16 3
4 1+ t2
Powracamy do pierwotnej zmiennej  x , by uzyskać wynik:
Powracamy do pierwotnej zmiennej  x , by uzyskać wynik:
sin2 x + 3
dx =
+"
3 cos x + sin x
1
1 3 tan x + 3
15 1 15 1 1 2
3 ln tan x - 3 - 3 ln tan x + 3 + + C5
16 2 16 2 3 2
1
4
1+ tan x
( )
2
19
19
Zadanie. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
Zadanie. Obliczyć całkę nieoznaczoną:
1
dx
+"
3sin(2x + 3)
1 2x + 3
Rozwiązanie: ln tan + C
Rozwiązanie:
6 2
UWAGA:
UWAGA:
W szczególnych przypadkach całek funkcji trygonometrycznych
W szczególnych przypadkach całek funkcji trygonometrycznych
gdy funkcja podcałkowa R(sinx,cosx) ma następujące własności,
gdy funkcja podcałkowa R(sinx,cosx) ma następujące własności,
korzystniej jest użyć podstawień postaci:
korzystniej jest użyć podstawień postaci:
R(u,v) = -R(-u,v) podstawienie t = cos x
R(u,v) = -R(u, -v) podstawienie t = sin x
R(u,v) = R(-u, -v) podstawienie t = tan x
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sinh(x), v=cosh(x),
Całki funkcji wymiernych R(u,v) , gdzie u=sinh(x), v=cosh(x),
postaci :
postaci :
R(sinh x,cosh x)dx
+"
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
da się sprowadzić do całki z funkcji wymiernej dzięki
podstawieniu :
podstawieniu :
x
�ł �ł
t = tanh
�ł �ł
2
�ł łł
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
Uwagi: Sposób wykorzystania podstawienia wymaga omówienia
2
2t
1+ t2
dx = dt
sinh x =
cosh x =
1- t2
( )
1- t2
1- t2
Zadanie domowe: Udowodnij w/w relacje!
Zadanie domowe: Udowodnij w/w relacje!
sinh x
dx
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
+"
3cosh x + 2
cosh x
dx
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
Zadanie: Wyznacz całkę nieoznaczoną
+"
3cosh x + 2
20
20
Całki następujących postaci funkcji podcałkowej
Całki następujących postaci funkcji podcałkowej
da się wyrazić przez funkcje elementarne
da się wyrazić przez funkcje elementarne
R(eax )dx ; R(t) - jest funkcją wymierną t
+"
podstawienie t=ecx
podstawienie t=ecx
cx cx
+"e sin(ax + b)dx ; +"e cos(ax + b)dx
całkowanie przez części
całkowanie przez części
xnecx sin ax + b dx ; xnecx cos ax + b dx ; n = 0,1, 2...
( ) ( )
+" +"
całkowanie przez części
całkowanie przez części
xn arctan x dx ; xn arcsin x dx ; n = 0,1, 2,...
( ) ( )
+" +"
całkowanie przez części
całkowanie przez części
UWAGA: funkcje pierwotne wielu, nawet prostych funkcji
UWAGA: funkcje pierwotne wielu, nawet prostych funkcji
podcałkowych, nie są funkcjami elementarnymi ( bądz

podcałkowych, nie są funkcjami elementarnymi ( bądz

skończonymi kombinacjami funkcji elementarnych ).
skończonymi kombinacjami funkcji elementarnych ).
Z tego powodu całka nieoznaczona ( nawet gdy istnieje ) nie da
Z tego powodu całka nieoznaczona ( nawet gdy istnieje ) nie da
się wyrazić poprzez kombinację funkcji elementarnych!!!
się wyrazić poprzez kombinację funkcji elementarnych!!!
sin x cos x ex
dx ; dx ; dx
+" +" +"
x x x
21
21
Funkcja Gamma Euler a
Funkcja Gamma Euler a
"
- x
�(t) = xt -1dx
+"e
0
20
10
0
-4 -2 2 4
x
-10
-20
Funkcja błędu
Funkcja błędu
x
2
-t2
erf x = dt
( )
+"e
Ą
0
1
0.5
0
-4 -2 2 4
x
-0.5
-1
22
22
Całka wykładnicza Ei(x)
Całka wykładnicza Ei(x)
x
et
Ei(x) = dt
+"
t
-"
20
10
0
-1 1 2 3 4
x
-10
-20
Logarytm całkowy li(x)=Ei(ln(x))
Logarytm całkowy li(x)=Ei(ln(x))
4
2
x
1 2 3 4 5
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
Sinus całkowy
Sinus całkowy
x
sin t
Si(x) = dt
+"
t
0
1.5
1
0.5
0
-30 -20 -10 10 20 30
x
-0.5
-1
-1.5
23
23
Funkcja Bessel a pierwszego rodzaju Jp(x),
Funkcja Bessel a pierwszego rodzaju Jp(x),
Funkcja walcowa,
Funkcja walcowa,
jest rozwiązaniem równania różniczkowego Bessel a
jest rozwiązaniem równania różniczkowego Bessel a
2
d w(z) dw(z)
z2 + z + z2 - p2 w(z) = 0
( )
dz2 dz
1
J0(x)
J0(x)
0.8
0.6
0.4
J2(x)
J2(x)
0.2
0
-4 -2 2 4
z
-0.2
-0.4
-0.6
J1(x)
J1(x)
24
24